Numéro d’ordre : 3118

THÈSE

présentée à

L’UNIVERSITÉ DES SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LILLE I

U.F.R DE MATHÉMATIQUES pour obtenir

LE TITRE DE DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ SPÉCIALITÉ : MATHÉMATIQUES PURES

par

Olivier DEMANZE

Problème des moments multi-dimensionnel et sous-normalité jointe.

soutenue le 11 Octobre 2002 devant la commission d’examen :

Président : Pr. Jean ESTERLE Université de Bordeaux I.
Directeur :  Pr. Florian-Horia VASILESCU Université de Lille I.
Rapporteurs : Pr. Ernst ALBRECHT  Université des Saarlandes,

Saarbrücken, Allemagne.

Pr. Vladimir MÜLLER  Académie des Sciences,

Prague, République Tchéque.

Examinateurs : Pr. Gilles CASSIER  C.R. au C.N.R.S.

Université de Lyon I.

Pr. Mostafa MBEKHTA  Université de Lille I.
Pr. Hervé QUEFFELEC  Université de Lille I.

Remerciements

Je tiens, dans un premier temps, à exprimer mon extrême gratitude à monsieur Florian-Horia Vasilescu, qui m’a dirigé depuis mon mémoire de D.E.A. avec la plus grande compétence et la plus grande disponibilité. Il m’a fait découvrir ce qu’était la recherche. Son soutien et sa gentillesse m’ont énormément apporté pendant l’élaboration de cette thèse. Sa passion des mathématiques (qu’il a essayé de me faire partager) ainsi que nos nombreuses discussions m’ont beaucoup apporté.

Je tiens donc à remercier chaleureusement Monsieur Vasilescu sans qui ce travail n’aurait jamais pu voir le jour.

Je suis très touché de l’honneur que me fait le Professeur Jean Esterle d’avoir consenti à être le président de jury de cette thèse.

Je remercie également les professeurs Ernst Albrecht et Vladimir Müller d’avoir accepté d’être les rapporteurs de ce travail, d’avoir pris sur leur temps précieux pour lire cette thèse et pour m’avoir apporté des remarques judicieuses.

Ma gratitude va également à messieurs les professeurs Gilles Cassier, Mostafa Mbekhta et Hervé Queffelec qui ont accepté d’examiner cette thèse et de me faire l’honneur de faire partie du jury.

Je tiens également à remercier Mihail Putinar avec qui j’ai pu avoir plusieurs discussions mathématiques lors de sa venue à Lille en 2000. Il a fait preuve d’une grande gentillesse à mon égard et m’a dirigé vers des travaux que je ne connaissais pas.

Je remercie également tout le laboratoire de mathématiques de Lille 1, A.G.A.T., au sein duquel j’ai effectué ce travail, en particulier le groupe d’analyse fonctionnelle et les doctorants.

Enfin, je voudrais remercier ma famille pour son soutien moral et matériel tout au long de mes études, en particulier mes parents, mon frère et Virginie.

Index :

\underline{Introduction} 7

\underline{Chapitre I :} Problème multi-dimensionnel des moments 15 1. Problème sur un compact arbitraire 15 2. Problème sur un ensemble semi-algébrique non borné 25 Appendice : Remarques sur la détermination de suites doublement infinies 44

\underline{Chapitre II :} Représentation polynômiale 53 1. Représentation sur un compact 53 2. Représentation sur un fermé non borné 62 3. Une application au problème tronqué 87

\underline{Chapitre III :} Sous-normalité jointe pour des multi-opérateurs 95 1. Sous-normalité (jointe) pour des multi-opérateurs bornés 95 2. Opérateurs formellement normaux 99 3. Sous-normalité jointe 113 4. Sous-normalité et multi-shifts à poids 141 5. Notions de minimalité d’extension normale et relations spectrales 161

\underline{Références bibliographiques} 179

Introduction

Le terme � Problème des moments � apparait à la fin du XIXième siècle dans deux articles de T. Stieltjes (1894 et 1895)^{1} : � We shall give the name moment problem to the following problem : it is required to find the distribution of positive mass on the interval [0, ∞), given the moments of order k (k = 0, 1, 2, ⋯) of distribution �^{2}. Quelques années plus tard, H. Hamburger^{3} résolut le problème qui porte maintenant son nom : trouver une condition nécessaire et suffisante pour l’existence d’une mesure positive telle que l’on ait la représentation intégrale

s_{k} = ∫_{−∞}^{+∞} u^{k}dσ(u), k ≥ 0,

où (s_{k})_{k} est une suite de réels (ou de complexes) donnée. A cette époque, de nombreuses avancées sur le problème des moments furent obtenues par différentes méthodes grâce notemment à P. Nevanlinna, M. Riesz, E. Hellinger et T. Carleman.

A ce problème général se sont gréffées des questions annexes, en imposant des contraintes supplémentaires sur le support de la mesure positive σ (l’un des problèmes les plus célébres est peut-être celui de Hausdorff où l’on demande que le support de la mesure soit inclus dans le compact [0,1]).

Autant le problème sur ℝ est bien connu (tout au moins le problème de l’existence, pas forcément celui de l’unicité de la mesure de représentation), autant le passage en plusieurs variables pose de nombreuses interrogations. Le problème majeur est que tout polynôme positif sur ℝ^{n} (n ≥ 2) ne peut pas s’écrire comme la somme de carrés de polynômes (fait connu dès la fin du XIXième siècle et prouvé par Hilbert). Il faut quand même attendre la seconde moitié du XXième siècle pour avoir des exemples concrets de ce phénomène (voir [BCR], [Rob], etc.). Pour trouver des informations sur le problème des moments, on peut se plonger dans plusieurs ouvrages faisant référence en la matière : [S-T], [Ak-Kr], [Ak], etc. ou par exemple un article de B. Simon : [Si].

Le but de ce travail est d’apporter quelques réponses au problème des moments multi-dimensionnel ainsi qu’à quelques problèmes connexes comme la représentation de polynômes positifs sur des fermés ou la sous-normalité (jointe) pour des familles d’opérateurs. Ces trois problèmes seront traités, dans cet ordre, dans les chapitres I, II et III.

Dans un premier temps, dans le chapitre I, nous nous intéresserons au problème des moments sur un compact, c’est à dire que l’on imposera que le support de la mesure soit inclus dans un compact choisi K. Ce problème est souvent appelé K-problème des moments. Le premier à résoudre cette question est G. Cassier pour des compacts d’intérieur non-vide : l’idée est basée sur l’introduction de polynômes de la forme p^{α}(1 − p)^{β} comme dans la résolution du problème de Hausdorff (voir [Cas2]). En 1998 dans [Vas2], F.-H. Vasilescu donne une condition plus explicite pour le cas des compacts semi-algébriques :

1. Recherches sur les fractions continues, Ann. Fac. Sci. Toulouse 8 pp.J1-J122, 1894, Recherches sur les fractions continues, Ann. Fac. Sci. Toulouse 9 pp.A5-A47, 1895.

2. Distribution de masse positive sur [0, ∞) signifie fonction non décroissante σ (définie sur l’ensemble des u ≥ 0) telle que pour tout α ≥ 0 et β > α, σ(β) − σ(α) représente la masse de l’intervalle [α, β).

3. Über eine Erweiterung des Stieltjesschen Momentenproblems, Math. Ann., 81, 235-319 (1920)

Théorème [Vas2] : Soit (p_{1}, ⋯, p_{m}) un m-uplet de polynômes de tel que ∩_{i=1}^{m}p_{i}^{−1}(ℝ^{+}) soit un compact K de ℝ^{n}. Sans perte de généralité, on peut supposer que sup_{K}(p_{i}) ≤ 1. On demande également que les (p_{i})_{i} engendrent ℝ[X] en tant qu’algèbre. Alors, γ = (γ_{α})_{α∈ℤ_{+}^{n}} (γ_{0} > 0) est une suite de moments sur K si et seulement si la forme linéaire associée (donnée par t^{α} → γ_{α}) est positive sur l’ensemble :

p_{1}^{k_{1}} ⋯ p_{m}^{k_{m}}(1 − p_{1})^{l_{1}} ⋯ (1 − p_{m})^{l_{m}}, k_{i}, l_{j} ≥ 0.

Grâce à une remarque liant la géométrie du compact K à la positivité des polynômes, nous généralisons les résultats de [Cas2] et [Vas2] au cas des compacts arbitraires et on obtient une caractérisation explicite des suites de moments sur un compact arbitraire K. Cette caractérisation est obtenue au théorème 1.1.7 (et nous généralisons des résultats connus auparavant uniquement pour les compacts convexes, non vide ou semi-algébriques). Les résultats ainsi énoncés dans le cas réel s’appliquent au cas complexe grâce à des méthodes de complexification (voir par exemple [Pu], [St-Sz5]). Cette partie a fait l’objet d’une note parue aux Comptes Rendus de l’Académie des Sciences de Paris en 2000 (voir [De2]).

Dans la seconde partie de ce chapitre, nous immergeons l’algèbre des polynômes dans des algèbres de fractions rationnelles pour donner des réponses aux problèmes des moments non bornés (comme celui de Stieltjes et de Hamburger, dans le cas multi-dimensionnel) en utilisant des méthodes parues en 1999 dans un article de M. Putinar et F.-H. Vasilescu ([Pu-Vas2]), méthodes basées sur la construction d’une famille normale d’opérateurs. L’idée de plonger l’algèbre des polynômes dans une algèbre plus grande est récente. Elle apparaît ainsi dans une note au C.R.A.S. en 1991 (voir [Gi-Se]). La différence majeure, dans notre cas, est que nous n’obtenons pas directement la famille normale. Le fait de généraliser les résultats de [Pu-Vas2] nous permettra de donner, dans la suite, des résultats de sous-normalité pour des multiopérateurs non nécessairement bornés. La méthode est basée sur une construction classique de I.M. Gelfand et M.A. Naimark. Si nous notons par S^{2} le cône positif engendré par les carrés des polynômes, nous obtenons le résultat suivant (voir aussi le théorème 2.5 de [Pu-Vas2], qui se retrouve avec I_{1} = [1, n] ∩ ℤ_{+}) :

1.2.5 Théorème : Soit (p_{1}, ⋯, p_{m}) un m-uplet de polynômes de S^{2} ⊂ ℝ_{n}[X], sans aucun zéro dans ℝ^{n}, de la forme :

p_{j}(t) = 1 + ∑_{k∈I_{j}} t_{k}^{2} + ∑_{l∈L_{j}} r_{j,l}(t)^{2},

avec I_{1} ∪ ⋯ ∪ I_{m} = [1, n] ∩ ℤ_{+}. Soit ϕ une forme linéaire positive semi-définie sur R_{θ} telle que les formes {ϕ(r_{j,l}∗)}_{(j,l)∈{1,···,m}×L_{j}} le soient également. Alors ϕ admet une unique mesure de représentation μ, dont le support est inclus dans ∩_{(j,l)∈{1,···,m}×L_{j}}r_{j,l}^{−1}(ℝ^{+}). La réciproque est également vraie.

De ce théorème, nous en déduisons une caractérisation des suites de moments grâce à la forme linéaire associée sur les polynômes. On donne ensuite une version opératorielle du problème des moments sur des ensembles semi-algébriques non nécessairement bornés. Ceci nous permet également de donner des conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une multi-suite d’opérateurs auto-adjoints admette une mesure de représentation positive opératorielle. Nous pouvons noter que cela donne, en particulier, des résultats au problème (multi-dimensionnel et opératoriel) de Hamburger, de Stieltjes, de Hausdorff, etc.

Pour achever ce chapitre, nous donnons quelques éléments sur la détermination de suites doubles (x_{α,β})_{α,β} de moments par rapport à la famille de fonctions t^{α}(1 + t^{2})^{−β}. Nous obtenons en particulier des transpositions de résultats de B. Fuglede (voir [Fu2], en 1983) ainsi qu’un pendant à la fonction majorante de Hall-Mergelyan pour notre famille (voir [Be], [Koo], etc.).

Dans le deuxième chapitre de ce travail, nous essayerons de donner des représentations de polynômes positifs sur des fermés non nécessairement bornés. Comme dans le chapitre précédent, nous nous intéresserons, dans un premier temps, au cas des compacts arbitraires. Nous commençons par généraliser des résultats de [Cas2] et [Vas2] au cas des compacts arbitraires grâce à une suite dénombrable de polynômes comme dans le cas du théorème 1.1.7. Puis, nous cherchons une représentation en termes de carrés de polynômes comme dans un article de M. Putinar paru en 1993 (voir [Pu2]), où le cas des compacts semi-algébriques a été traité :

Théorème [Pu2] : Soit K un compact semi-algébrique de ℝ^{n}. Soit (p_{1}, ⋯, p_{m}) une famille de polynômes telle que K = ∩_{i}p_{i}^{−1}(ℝ^{+}). Tout polynôme strictement positif sur K est dans le cône positif S_{K}^{2} + p_{∞}S^{2}.

(où on a S_{K}^{2} = S^{2} + p_{1}S^{2} + ⋯ + p_{m}S^{2} et p_{∞} est un polynôme du type de ceux qui apparaissent dans [Cas2] et qui est en particulier strictement positif sur K.)

Nous prouvons, en fait, que ce théorème peut s’étendre au cas des compacts arbitraires quitte à choisir une famille infinie de polynômes.

Enfin dans la section II-2, nous nous intéresserons au cas de polynômes positifs sur des fermés quelconques de ℝ^{n}. En accord avec un théorème de E. Artin répondant au 17ième problème de Hilbert (tout polynôme positif sur ℝ^{n} s’écrit comme somme de carrés de fractions rationnelles), nous utilisons une algèbre de fractions rationnelles A_{θ} avec des dénominateurs particuliers de la forme θ^{−β}(t) avec β ∈ ℤ_{+}^{n} et θ_{i}(t) = (1+t_{i}^{2})^{−1}. Alors, en utilisant des résultats de [Pu-Vas2], on obtient le théorème suivant (ainsi que quelques résultats annexes, voir par exemple le théorème 2.2.13 ou la proposition 2.2.15 ; voir aussi le théorème 4.2 de [Pu-Vas2]) pour des polynômes de multi-degrés pairs :

2.2.11 Théorème : Soit (P_{1}, ⋯, P_{k}) un k-uplet de polynômes de multi-degrés pairs 2D_{1}, ⋯, 2D_{k} respectivement. Supposons que P soit un polynôme strictement positif sur ∩_{i=1}^{k}P_{i}^{−1}(ℝ_{+}) \ {0}, de multi-degré 2D. Si P̃_{1}, ⋯, P̃_{k}, P̃ sont les polynômes associés à P_{1}, ⋯, P_{k} et P, et si ce dernier vérifie P̃(t) > 0 pour tout t dans H ∩∩_{i=1}^{k}P̃_{i}^{−1}(ℝ_{+}) (où H est défini au théorème 2.2.7) alors il existe un multi-indice positif M et un nombre fini de polynômes à coefficients réels notés {q_{l}}_{l∈L} et {q_{i,l}}_{i∈{1,···,k},l∈L′} tel que :

P (t) = θ(t)^{2M}(∑_{l∈L} q_{l}^{2}(t) + ∑_{i=1}^{k} ∑_{l∈L′} P_{i}(t)q_{i,l}^{2}(t)), t ∈ ℝ^{n}, M ∈ ℤ_{+}^{n}.

(ici les P̃ sont des polynômes associés au P qui se calculent de façon simple et explicite)

Pour le cas général (des polynômes de multi-degrés quelconques), nous sommes obligé d’introduire des fractions irrationnelles avec des dénominateurs de la forme δ^{−β}(t) = θ^{−β/2}(t). nous obtenons alors une représentation un peu plus compliquée de la forme (où les P̂ sont à nouveau des polynômes associés aux polynômes P, en fait ce sont leurs homogénéisations en chacune de leurs variables ; voir aussi le théorème 4.5 de [Pu-Vas2]) :

2.2.22 Théorème : Soit (P_{1}, ⋯, P_{k}) un k-uplet de polynômes de degrés arbitraires et soit P un polynôme strictement positif sur ∩_{i=1}^{k}P_{i}^{−1}(ℝ_{+}) \ {0}. Soient P̂_{1}, ⋯, P̂_{k}, P̂ leurs polynômes homogènes (en chaque variable) associés respectivement. On suppose que l’on a P̂(x) > 0 pour tout x non nul dans G ∩ ∩_{i=1}^{k}P̂_{i}^{−1}(ℝ_{+}) (où G est défini dans le théorème 2.2.19). Alors, il existe un multi-indice positif M = (m_{1}, ⋯, m_{n}) et un nombre fini de polynômes à coefficients réels {q_{l}, q_{j,l}, r_{i,l}, r_{i,j,l}}, l ∈ L, i ∈ {1, ⋯, k}, j ∈ {1, ⋯, n} tels

que l’on ait \sqrt{1 + t_{1}^{2}}^{m_{1}} ⋯ \sqrt{1 + t_{n}^{2}}^{m_{n}}P (t) qui s’écrive :

\begin{matrix}∑_{l∈L} q_{l}^{2}(t, Δ(t)) + ∑_{(ε_{1},···,ε_{n})∈\{0,1\}^{n}} ∏_{j=1}^{n}(1 + t_{j}^{2})^{ε_{j}/2} ∑_{l∈L} q_{j,l}^{2}(t, Δ(t)) \\ + ∑_{i=1}^{k} P_{i}(t) ∑_{l∈L} r_{i,l}^{2}(t, Δ(t)) + ∑_{i=1}^{k} P_{i}(t) ∑_{(ε_{1},···,ε_{n})∈\{0,1\}^{n}} ∏_{j=1}^{n}(1 + t_{j}^{2})^{ε_{j}/2} ∑_{l∈L} r_{i,j,l}^{2}(t, Δ(t)), \end{matrix}

pour tout t ∈ ℝ^{n}.

Les deux premières sections de ce chapitre ont fait l’objet de deux articles, l’un paru en 2000 dans Journal of mathematical analysis and applications (voir [De]) et l’autre à paraître dans la revue Positivity (voir [De3]).

Pour achever ce chapitre, nous décrivons complétement les formes linéaires semidéfinies positives sur l’algèbre A_{θ} en termes de � moments avec limite � (voir le théorème 2.3.3). De cette décomposition, nous en déduisons une réponse au problème tronqué multi-dimensionnel et nous généralisons un résultat de M. Riesz.

Dans la troisième partie de cette thèse, nous nous occuperons de la sous-normalité pour des multi-opérateurs. Dans un bref premier paragraphe, nous nous intéresserons au cas de multi-opérateurs bornés. Dans le cas borné, plusieurs critères de sousnormalité existent déjà. Pour un seul opérateur, on peut citer ceux de Halmos-Bram (1950-1955, voir [Hal] et [Br]) ou de M. Embry (1973, voir [Emb]). Ces résultats ont été généralisés par T. Itô (1958, voir [It]) et A. Lubin (1979, voir [Lub3]) dans le cas de familles d’opérateurs. Notre but sera de généraliser des résultats de A. Lubin (voir [Lub3]) et de F.-H. Vasilescu (voir [Vas2]). De plus, nous obtenons également une version multi-opératorielle de la caractérisation de sous-normalité de A. Athavale parue en 1988 dans [At] (voir Théorème 3.1.4) :

Théorème [At] : Soit S un opérateur borné sur un espace de Hilbert séparable H. La famille (I, S, S^{2}, ⋯, S^{p}) est mutuellement hyponormale pour tout indice vérifiant p ≥ 1 si et seulement si S est sous-normal.

Mais le coeur de ce chapitre (et pour moitié dans cette thèse) est l’étude de la sous-normalité (jointe) dans le cas des multi-opérateurs non nécessairement bornés.

Nous commençons par donner une notion de sous-normalité formelle pour des multi-opérateurs commutatifs. Puis nous caractérisons les opérateurs à domaine dense commun et invariant ayant cette propriété grâce en particulier au critère de positivité de Itô : voir la proposition 3.2.2. Cette caractérisation est une généralisation du critère de A. Athavale cité plus haut au cas des multi-opérateurs non-bornés. Ensuite, nous prouvons quelques résultats sur des extensions d’opérateurs commutants avec des opérateurs sous-normaux non bornés en utilisant des méthodes classiques.

Enfin, dans la section 3 de ce chapitre, nous donnons plusieurs critères de sousnormalité pour des multi-opérateurs ayant un sous-espace dense invariant. Le premier utilise des idées de F.-H. Vasilescu ainsi que les généralisations sur le problème des moments que nous avons prouvées dans le premier chapitre :

3.3.2 Théorème : Soit T = (T_{1}, ⋯, T_{n}) un multi-opérateur non nécessairement borné et soit D ⊂ D(T_{1}) ∩ ⋯ ∩ D(T_{n}) un sous-espace vectoriel, dense dans H et invariant par T_{1}, ⋯, T_{n}. Il existe un espace de Hilbert K contenant H et un multiopérateur normal N = (N_{1}, ⋯, N_{n}) défini dans K tels que l’on ait D ⊂ D(N_{1}) ∩ ⋯ ∩ D(N_{n}) et T_{j}x = N_{j}x pour tout élément x dans D et pour tout j dans {1, ⋯, n} si et seulement si il existe une 3n-suite Θ = (Θ_{α,β,δ})_{α,β,δ∈ℤ_{+}^{n}} de formes sesquilinéaires définies sur D × D vérifiant les cinq propriétés suivantes :

(1) Θ_{0,0,0}(∗, ∗) = ⟨∗, ∗⟩|_{D×D}.
(2) Θ_{0,e_{j},0}(x, y) = ⟨T^{e_{j}}x, y⟩ pour tout (x, y) ∈ D × D et pour tout j ∈ {1, ⋯, n}.
(3) Θ_{e_{j},e_{j},0}(x, x) = Θ_{e_{j},0,0}(T^{e_{j}}x, x) = ||T^{e_{j}}x||^{2}, j ∈ {1, ⋯, n}, x ∈ D.
(4) Θ_{α,β,δ} = Θ_{α,β,δ+e_{j}} + Θ_{α+e_{j},β+e_{j},δ+e_{j}} pour tout α, β, δ ∈ ℤ_{+}^{n} et pour tout

j ∈ {1, ⋯, n}.

(5) Θ est de type positive.

Parmi les autres critères, on peut citer une généralisation d’un résultat de J. Stochel et F.H. Szafraniec (voir [St-Sz2] en 1989) au cas de plusieurs variables (en utilisant leurs méthodes) :

Théorème [St-Sz2] : Soit S un multi-opérateur à domaine dense inclus dans un espace de Hilbert H tel que S(D(S)) ⊂ D(S). Alors, l’opérateur S est sous-normal si et seulement si on a l’implication suivante :

Si {a_{i,j}^{p,q}} est une famille finie de nombres complexes,

(i)  ∑_{i,j≥0} ∑_{p,q≥0} a_{i,j}^{p,q} \overline{λ_{i}} λ_{j} \overline{z}^{q} z^{p} ≥ 0, ∀λ_{i} ∈ ℂ, ∀z ∈ ℂ,

implique l’inégalité

(ii)  ∑_{i,j≥0} ∑_{p,q≥0} ∑_{k,l≥0} a_{i,j}^{p,q}⟨S^{k+p}f_{j,l}, S^{l+q}f_{i,k}⟩ ≥ 0,

où {f_{i,k}} est une famille finie d’éléments dans D(S).

De ces critères théoriques, nous pouvons obtenir plusieurs résultats qui étaient déjà connus pour un seul opérateur. Par exemple, si chaque composante est une bijection sur un sous-espace dense et si le multi-opérateur est sous-normal, la famille formée par les inverses de ces opérateurs est encore sous-normale (voir le corollaire 3.3.5). Pour un seul opérateur, ce résultat a été prouvé par J. Stochel et F.H. Szafraniec en 1989 dans [St-Sz2]. Pour terminer cette section, nous donnons plusieurs résultats sur la juxtaposition de familles d’opérateurs sous-normaux ainsi que sur des opérateurs ayant des domaines formés par des vecteurs analytiques (dans ce dernier cas, on essaie de retrouver des résultats de [St-Sz2] pour le cas de familles d’opérateurs.).

Toute la section 4 de ce chapitre sera dédiée aux multi-shifts (unilatéraux ou bilatéraux) à poids non nécessairement bornés. Nous utilisons les critères précédents pour obtenir des conditions de sous-normalité pour ces opérateurs. C. Berger énonce le résultat suivant (voir [Lam]) :

Théorème (C. Berger) : Soit S un shift à poids avec comme suite de poids (α_{n})_{n}. Alors, l’opérateur S est sous-normal si et seulement si il existe une mesure de probabilité sur un intervalle [0, a] tel que, pour tout n :

||S^{n}e_{0}||^{2} = ∫_{0}^{√\overline{a}} t^{n}dμ(t),

où a = ||S||.

Ce résultat est généralisé en 1977 par A. Lubin, dans [Lub], au cas des multishifts continus et commutatifs. En 1989, J. Stochel et F.H. Szafraniec prouvent le même résultat pour un multi-shift à poids non borné (en intégrant sur [0, +∞[). Le théorème 3.4.3, nous montre (par des méthodes complétement différentes) que ce résultat est encore valable pour des multi-shifts à poids non nécessairement bornés et commutatifs. On obtient en particulier la sous-normalité de l’opérateur de création en plusieurs variables. On obtient également des résultats similaires pour des shifts bilatéraux dans le théorème 3.4.9. Et comme corollaire plus compréhensif de prime abord, on a :

3.4.10 Corollaire : Soit H un espace de Hilbert séparable et soit (ξ_{i_{1},···,i_{m}})_{i_{1},···,i_{m}∈ℤ} une base orthonormale de H. Soit aussi S un multi-shift à poids bilatéral permutable non nécessairement borné défini sur V ect(ξ_{i_{1},···,i_{m}}). Alors S est (jointement) sousnormal si et seulement si il existe une multi-suite de mesures positives à support dans ℝ_{+}^{m} avec des moments à tous les ordres telles que les deux conditions suivantes soient vérifiées :

(i) ||S^{−2K+P} ξ_{0}||^{2} = ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{P} dμ_{K}(t), ∀P ≥ 0.

(ii) ∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{P +2(K′−K)}}{(1 + t)^{β}} dμ_{K′}(t) = ∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{P}}{(1 + t)^{β}} dμ_{K}(t), pour chaque K et K′ vérifiant

P + 2(K′ − K) ≥ 0 et P ≥ 0.

Ensuite, nous utilisons nos critères de sous-normalité jointe ainsi que des méthodes de [St-Sz4] (basées sur les produits de Schur de multi-suites de moments de Stieltjes) pour donner des méthodes afin de construire un grand nombre d’exemples de multiopérateurs non bornés sous-normaux (voi aussi [St-Sz4]) :

3.4.18 Théorème : Soient R et S deux multi-shifts à poids sous-normaux vérifiant la condition (⋄). Soit T un multi-shift à poids commutatif et sous-normal. Alors pour tout multi-indice β ≥ 0, les multi-opérateurs R^{(∗β)}S^{(β)}T et T R^{(∗β)}S^{(β)} sont sous-normaux.

Enfin, nous terminons ce travail par quelques discussions sur la notion de minimalité pour ces multi-opérateurs non bornés. On donne la notion de minimalité de type spectral et de type cyclique, en accord avec les définitions données dans [St-Sz3] pour un seul opérateur. Ensuite, nous cherchons à relier le spectre de ces extensions minimales avec le spectre du multi-opérateur sous-normal. Pour ce faire, on utilise le spectre de Dash (noté Sp_{D}) pour prouver (voir aussi [D], [C-T]) :

3.5.14 Théorème : Soit S un multi-opérateur sous-normal tel que ∩_{i=1}^{m}D(S_{i}) soit dense dans H. Soit N une extension normale de S. Si N_{S} est l’extension (S, N)- minimale, nous avons :

Sp_{D}(N_{S}) ⊂ Sp_{D}(S).

Nous démontrons également que, pour un couple normal formé d’opérateurs non nécessairement bornés, le spectre joint de Taylor et de Dash coïncident :

3.5.20 Corollaire : Soit N = (N_{1}, N_{2}) un bi-opérateur normal tel que ∩_{i=1}^{2}D(N_{i}) soit dense dans H et invariant par les N_{i}. Alors, on a les égalités suivantes :

σ′_{π}(N) = σ_{π}(N) = Sp_{D}(N) = σ_{ℂ}(N).

Ce corollaire est une extension du théorème 2 de M. Cho et M. Takaguchi (voir [C-T], voir également [S-Z]) où l’on montre dans le cas de multi-opérateurs normaux bornés que le spectre joint de Dash et le spectre joint de Taylor sont les mêmes. Nous utilisons des méthodes différentes puisqu’ici nous traitons le cas non-borné.

Chapitre I

Problème multi-dimensionnel des moments

La difficulté essentielle que l’on rencontre en essayant de résoudre le problème des moments dans le cas de plusieurs variables vient, en particulier, du fait que l’on ne peut pas représenter tout polynôme positif comme une somme de carrés de polynômes (voir le lemme 3.1 page 190 dans [BCR], voir également le chapitre II de [BoCoRo] pour des exemples classiques). On peut pourtant donner une solution dans le cas où l’on impose que le support de la mesure à déterminer soit inclus dans un compact K. Plusieurs contributions donnent des résultats pour des compacts particuliers : G. Cassier, dans [Cas2] résout le problème dans le cas où le compact est d’intérieur non vide (il s’est également occupé des compacts convexes dans [Cas]), puis K. Schmüdgen et F.-H. Vasilescu, dans respectivement [Sch2] et [Vas2], donnent une solution dans le cas de compacts semi-algébriques (voir aussi [Pu-Vas] pour une approche différente).

Partie I.1 Problème sur un compact arbitraire

Notre but, ici, est d’adapter des méthodes utilisées par Gilles Cassier (dans [Cas2]) et Florian-Horia Vasilescu (dans [Vas2]) afin de donner une condition explicite, en termes de positivité, pour qu’une suite soit ou non une suite de moments sur un compact arbitraire K. Cette partie a fait l’objet d’une note parue aux Comptes Rendus de l’Académie des Sciences de Paris en 2000 (voir [De2]). Par commodité pour les lecteurs, nous donnerons tous les détails des démonstrations même lorsqu’elles ne sont que des généralisations simples des résultats des deux auteurs cités précédemment.

1.1.1 Préliminaires : Soit K un compact arbitraire de ℝ^{n}. On notera pour toute fonction f continue sur cet ensemble K :

(1.1.1)  ||f||_{K,∞} = sup_{t∈K} |f(t)|.

Soit P(K) l’ensemble des restrictions des polynômes au compact K. Enfin, soit P_{+}(K) l’ensemble des éléments de P(K) qui sont positifs ou nuls sur K. Nous commencerons par un lemme qui caractérise tous les compacts de ℝ^{n}, idée dont parle G. Cassier dans [Cas2]. Ce lemme nous permet de relier la géométrie des compacts à la positivité de polynômes et donc, en particulier, au problème des moments. C’est ce qui explique, d’ailleurs, pourquoi les quatre auteurs précédemment cités utilisaient des compacts semi-algébriques ou convexes (car tout compact convexe peut s’écrire comme une intersection dénombrable d’images réciproques de polynômes de degré un).

1.1.2 Lemme : Soit K un compact arbitraire de ℝ^{n}. Il existe alors une suite de polynômes (P_{i})_{i≥0} (que l’on peut choisir de telle sorte que chacun de leur degré global soit inférieur ou égal à 2) telle que l’on puisse écrire K sous la forme :

K = ⋂_{i≥0} P_{i}^{−1}(ℝ^{+}).

Démonstration. Soit ℚ^{n} l’ensemble des multi-points à coefficients dans ℚ. Comme ℚ^{n} est dénombrable, on écrit sous forme d’une suite (a_{i})_{i≥0} l’ensemble des éléments de ℚ^{n} ∩ K^{c} (où K^{c} représente le complémentaire de K dans ℝ^{n}). On notera les coordonnées de chaque a_{i} par (a_{i,1}, ⋯, a_{i,n}) ; cette famille est évidemment dense dans K^{c} qui est ouvert. Soit δ_{i} la distance (usuelle) du point a_{i} à K, on a trivialement l’inégalité δ_{i} > 0 car K est, en particulier, un ensemble fermé. On note alors par B_{i} = B(a_{i}, δ_{i}) la boule de centre a_{i} et de rayon δ_{i}. On définit alors les polynômes P_{i} par l’égalité suivante :

(1.1.2)  P_{i}(X) = −δ_{i}^{2} + ∑_{k=1}^{n}(X_{k} − a_{i,k})^{2}.

Bien entendu, pour tout entier i positif et pour tout t ∈ K, on a :

P_{i}(t) = dist(a_{i}, t)^{2} − dist(a_{i}, K)^{2} ≥ 0.

Ceci implique que l’on ait l’inclusion K ⊂ ∩_{i≥0}P_{i}^{−1}(ℝ^{+}).

Inversement, supposons que t ∉ K. Si t appartient à ℚ^{n}, on peut écrire t = x_{i_{0}} pour un i_{0} donné positif, et dans ce cas, on obtient que P_{i_{0}}(t) = −δ_{i_{0}}^{2} < 0. Si t ∈ K^{c} ∩ (ℚ^{n})^{c}, on pose ε = dist(t, K) > 0, comme ℚ^{n} est dense dans ℝ^{n}, il existe a_{i} tel que ||a_{i} − t|| ≤ ε/3 (où || ∗ || est la norme euclidienne sur ℝ^{n}). Donc, pour tout z ∈ K, on a ||z − t|| ≤ ||a_{i} − z|| + ||a_{i} − t|| et donc on obtient l’inégalité :

||a_{i} − z|| ≥ ||z − t|| − ||a_{i} − t|| ≥ 2ε/3.

Par conséquent, on en déduit que la distance dist(a_{i}, K) vérifie dist(a_{i}, K) ≥ 2ε/3. Comme ||a_{i} − t|| ≤ ε/3, il s’ensuit que t ∈ B_{i} et P_{i}(t) < 0. Et finalement, on a K = ⋂_{i≥0} P_{i}^{−1}(ℝ^{+}), ce qui achève la démonstration.

De plus, on peut noter que la famille (P_{i})_{i≥1} engendre, en tant qu’algèbre, l’ensemble des polynômes, ℝ[X], tout entier (quitte à rajouter le polynôme constant et égal à 1) : en effet, fixons un entier i_{0}, alors P_{i_{0}} − P_{j} s’écrit :

(1.1.3)  (P_{i_{0}} − P_{j})(X) = 2 ∑_{1≤k≤n}(a_{j,k} − a_{i_{0},k})X_{k} + δ_{j}^{2} − δ_{i_{0}}^{2} + ∑_{1≤k≤n} a_{i_{0},k}^{2} − a_{j,k}^{2}.

On peut alors, grâce à la densité des (a_{j})_{j≥0}, trouver des (a_{j})_{j} � proches � des droites passant par a_{i_{0}} et parallèles aux axes. Ceci nous permet de conclure sur le fait que le déterminant de la matrice [a_{j,k} − a_{i_{0},k}]_{1≤j,k≤n} est non nul et donc sur le fait que les (P_{i})_{i≥1} sont bien des générateurs de ℝ[X]. Maintenant, on normalise les polynômes P_{i} sur K en posant :

\{ \begin{matrix}P̂_{i} = P_{i}/||P_{i}||_{K,∞} & si & ||P_{i}||_{K,∞} > 0 \\ P̂_{i} = P_{i} & si non. \end{matrix}

Il faut enfin remarquer que l’égalité suivante est satisfaite :

(1.1.4)  K = ⋂_{i≥1} P̂_{i}^{−1}(ℝ^{+}).

Soit γ = (γ_{α})_{α≥0} une multi-suite de nombres réels. De manière classique, on peut associer à γ = (γ_{α})_{α≥0} une forme linéaire L_{γ} sur l’espace des polynômes en posant :

(1.1.5)  L_{γ}(t^{α}) = γ_{α}, ∀α ∈ ℤ_{+}^{n}.

Une première remarque triviale est que si γ est une multi-suite de moments sur K, on aura L_{γ}(p) ≥ 0 pour tout p dans P_{+}(K) et L_{γ}(1) > 0. En effet, dans ce cas, il existe une mesure positive μ à support inclus dans K telle que l’on ait :

(1.1.6)  L_{γ}(p) = ∫_{K} p(t)dμ(t) ≥ 0, ∀p ∈ P_{+}(K).

Etant donné un compact arbitraire K, par le lemme précédent, il existe une suite de polynômes (P_{i})_{i≥0} de ℝ[X] telle que l’on puisse écrire K sous la forme ∩_{i≥0}P̂_{i}^{−1}(ℝ^{+}). Ces polynômes sont déterminés par K. On définit alors � l’ensemble test � T suivant :

(1.1.7)  T = { ∏_{i∈I,I fini} P̂_{i}^{α_{i}}(t)[1 − P̂_{i}(t)]^{β_{i}}, α_{i} ≥ 0, β_{i} ≥ 0} ⊂ P_{+}(K).

Il est clair que si une suite admet une mesure de représentation μ, sa forme linéaire associée sera positive sur T (voir (1.1.6)). Le but de cette partie est de montrer que cette condition est également suffisante pour l’existence d’une mesure de représentation à support dans le compact K donné.

1.1.3 Définition : Soit π(P) l’ensemble des formes linéaires définies sur l’espace des polynômes, qui valent 1 en 1 et qui sont positives sur l’ensemble test T . De manière évidente, l’ensemble π(P) est convexe. Nous commencerons par un équivalent au lemme 2.5 de [Vas2] (voir également le lemme 2 de [Cas2]).

1.1.4 Lemme : Pour toute forme linéaire L ∈ π(P) et pour tout polynôme p dans l’ensemble test T , on a la double inégalité suivante :

0 ≤ L(p) ≤ 1.

Démonstration. Soit p un polynôme dans l’ensemble test T . On peut écrire p = p_{1} ⋯ p_{l} (l ∈ ℤ^{+}) où chaque p_{i} est de la forme P̂_{i} ou 1 − P̂_{i}. On peut alors utiliser la formule suivante :

(1.1.8)  1 − p = (1 − p_{1}) + p_{1}(1 − p_{2}) + ⋯ + p_{1} ⋯ p_{l−1}(1 − p_{l}).

Donc, le polynôme 1 − p est dans le cône positif engendré par T . Nous obtenons alors que L(1 − p) ≥ 0, ce qui implique que L(p) ≤ 1. Comme l’autre inégalité est évidente, ceci achève la démonstration.

Soit C_{+} le cône positif engendré par les éléments de T . Du lemme précédent, on peut déduire plusieurs propriétés. Premièrement, si p est dans l’ensemble test, 1 − p appartient à C_{+} et donc aussi (1 − p)q pour tout q ∈ T . En particulier, toute forme ϕ, positive sur l’ensemble test T , est positive sur le cône C_{+} également et donc :

(1.1.9)  ϕ((1 − p)q) ≥ 0, ∀(p, q) ∈ T^{2}.

Enfin, si on a ϕ(1) = 0, la forme est identiquement nulle. En effet si p ∈ T , on a ϕ(p) ≥ 0 mais aussi ϕ(1 − p) = ϕ(1) − ϕ(p) ≥ 0 ; ceci entraîne l’égalité :

(1.1.10)  ϕ(p) = 0, ∀p ∈ T .

Puis on conclut sur la nullité de ϕ grâce au fait que T engendre ℝ[X] en tant qu’espace vectoriel.

De plus, grâce au précédent lemme 1.1.4, on peut identifier π(P) avec un sousensemble de [0; 1]^{T} qui est compact d’après un théorème classique de Tychonoff. Ceci est possible car l’algèbre engendrée par les éléments de (P̂_{i})_{i≥0} dans ℝ[X] est ℝ[X] tout entier. De plus, ce sous-ensemble de [0; 1]^{T} est fermé : soit L_{0} un point de la fermeture de π(P), par passage à la limite, on a L_{0}(p) ≥ 0 pour tout p ∈ T et L_{0}(1) = 1. De plus, L_{0} peut s’étendre par linéarité à ℝ[X] tout entier. Donc π(P) est un compact convexe. De la même manière que dans le lemme 3 de [Cas2] et dans le lemme 2.7 de [Vas2], on peut également montrer que toute forme extrémale de π(P) est une forme linéaire multiplicative.

Je tiens, ici, à remercier le Professeur V. Müller dont les remarques m’ont permis de donner une démonstration plus limpides du corollaire 1.1.5 suivant.

1.1.5 Corollaire : Soit L une forme linéaire extrémale de π(P). Alors L est multiplicative sur ℝ[X].

Démonstration. Soit p un polynôme fixé dans l’ensemble test T . Il suffit de prouver que l’égalité L(pq) = L(p)L(q) est valable pour tout élément q ∈ T . En effet, l’algèbre des polynômes est engendrée par les éléments de T . On pose ε = L(p). On sait par le lemme 1.1.4 que ε est dans [0; 1]. On découpe la démonstration en trois parties suivant les valeurs possibles de ε.

\underline{ε = 0} : on définit la forme linéaire L_{0} par L_{0}(q) = L(pq) pour tout q ∈ T ; puis on la prolonge par linéarité sur ℝ[X] tout entier. Bien évidemment, cette forme est positive sur T et elle vérifie L_{0}(1) = 0. Par la remarque précédente (voir (1.1.10)), on en déduit que L_{0} est la forme identiquement nulle. Donc, on a :

(1.1.11)  L(pq) = 0 = L(p)L(q), ∀q ∈ T .

\underline{ε = 1} : on utilise le cas précédent. En effet, on définit une forme L_{0} par L_{0}(q) = L((1 − p)q), pour tout élément q ∈ T . Puis on prolonge par continuité L_{0} à ℝ[X] tout entier. On a alors L_{0}(1) = L(1) − L(p) = 1 − 1 = 0 et L_{0} est positive sur l’ensemble T (grâce à (1.1.9)). Donc par la même remarque que pour le cas d’avant, on obtient que la forme L_{0} est identiquement nulle. Ceci entraîne que L((1 − p)q) = 0 ou ce qui revient à dire que :

(1.1.12)  L(pq) = L(q) = L(p)L(q), ∀q ∈ T .

\underline{0 < ε < 1} : on définit deux formes linéaires L_{1} et L_{2} sur l’espace des polynômes en posant :

(1.1.13)  L_{1}(q) = \frac{1}{ε}L(pq) et L_{2}(q) = \frac{1}{1 − ε}L((1 − p)q), ∀q ∈ T .

Il est très rapide de voir (via (1.1.9)) que ces deux formes sont dans π(P) (et ne sont donc pas identiquement nulles puisque L_{1}(1) = L_{2}(1) = 1). De plus, on peut remarquer que l’on a l’égalité :

L = εL_{1} + (1 − ε)L_{2}.

De plus, par notre hypothèse d’extrémalité, on en déduit que L_{1} = L_{2}. Il suffit à présent de traduire cette égalité :

L_{1}(q) = \frac{1}{L(p)}L(pq) = L_{2}(q) = \frac{1}{1 − L(p)}L((1 − p)q), ∀q ∈ T .

En mettant tout au même dénominateur, on obtient :

L(pq) − L(p)L(pq) = L(p)L(q) − L(p)L(pq), ∀q ∈ T ,

ce qui est bien l’égalité :

L(pq) = L(p)L(q), ∀q ∈ T .

Comme ceci est vrai pour tout p dans l’ensemble test, la multiplicativité est vraie pour tout couple dans T × T . Puis on obtient la même propriété sur ℝ[X] puisque tout polynôme est une combinaison linéaire d’éléments de T .

Ce corollaire 1.1.5 nous permet de donner une représentation intégrale pour les formes linéaires de π(P). Il suffit de suivre les démonstrations données dans [Cas2] et [Vas2].

1.1.6 Proposition : Soit L une forme linéaire incluse dans π(P). Alors, il existe une unique mesure positive μ à support dans K telle que l’on ait :

(1.1.14)  L(q) = ∫_{K} q(t)dμ(t), pour tout q ∈ P(K).

Démonstration. Soit L_{0} ∈ π(P) une forme extrémale ; L_{0} est multiplicative sur P(K) par le corollaire 1.1.5 et si l’on pose c_{j} = L_{0}(t_{j}), on obtient l’égalité L_{0}(q) = q(c), où c = (c_{1}, ⋯, c_{n}) ∈ ℝ^{n}. Comme L_{0}(q) ∈ [0, 1] pour tout q ∈ T , on a, en particulier, L_{0}(P̂_{i}) = P̂_{i}(c) ≥ 0 (en utilisant la multiplicativité de la forme L_{0}). On peut donc affirmer que c ∈ ∩_{i≥0}P̂_{i}^{−1}(ℝ^{+}) = K. Donc, nous obtenons l’inégalité suivante :

(1.1.15)  |L_{0}(q)| = |q(c)| ≤ ||q||_{∞,K}, ∀q ∈ P(K).

Si L ∈ π(P) est de la forme ∑_{j∈J} λ_{j}L_{j} où les L_{j} sont des formes extrémales de π(P),

où l’ensemble J est fini et où les nombres (λ_{j})_{j∈J} vérifient 0 ≤ λ_{j} ≤ 1 et ∑_{j∈J} λ_{j} = 1, on a la majoration suivante :

(1.1.16)  |L(q)| ≤ ∑_{j∈J} λ_{j}|L_{j}(q)| ≤ ∑_{j∈J} λ_{j}||q||_{∞,K} = ||q||_{∞,K}, ∀q ∈ P(K).

Comme π(P) est un ensemble compact convexe, on peut donc lui appliquer le théorème de Krein-Milman. Par conséquent, toute forme linéaire L ∈ π(P) est dans l’adhérence de l’ensemble convexe engendré par les points extrémaux. Dans notre cas, cela entraîne :

(1.1.17)  |L(q)| ≤ ||q||_{∞,K}, ∀L ∈ π(P), ∀q ∈ P(K).

Grâce au fait que T engendre P(K) qui lui même est dense dans l’ensemble des fonctions continues par le théorème de Weierstrass, l’inégalité est en fait vraie pour toute fonction continue sur K. Enfin, par le théorème de représentation de Riesz, nous obtenons l’existence et l’unicité de la mesure μ positive telle que l’on ait :

(1.1.18)  L(q) = ∫_{K} q(t)dμ(t), ∀q ∈ P(K).

1.1.7 Théorème : Soit γ = (γ_{α})_{α≥0} (γ_{0} > 0) une multi-suite de nombres réels et soit K un compact arbitraire. Alors γ est une multi-suite de moments pour une mesure positive μ, unique et à support dans K, si et seulement si la forme linéaire associée L_{γ} est positive sur l’ensemble T .

Démonstration. Le fait que la condition de positivité soit nécessaire est évident. Inversement, on pose L = \frac{1}{γ_{0}} L_{γ} qui est dans π(P) et on applique la proposition précédente.

Dans le théorème précédent, on ne donne comme condition sur le support de la mesure μ que le fait d’être inclus dans le compact K. Pourtant il est quelquefois plus pratique de pouvoir restreindre le support de cette mesure à un ensemble encore plus petit. Comme il est précisé dans [Vas2] pour le cas des compacts semi-algébriques, on peut, par des conditions de positivité supplémentaires, contrôler le support de la mesure de représentation μ.

1.1.8 Corollaire : Soient K et T comme dans le théorème 1.1.7 et soit γ = (γ_{α})_{α≥0} (γ_{0} > 0) une multi-suite de moments sur K de mesure de représentation μ. S’il existe des polynômes (r_{j})_{j∈J} tels que les formes L_{γ}(r_{j}∗) soient positives pour tout q ∈ T et pour tout j ∈ J, alors le support de la mesure μ vérifie :

(1.1.19)  supp(μ) ⊂ {t ∈ K; r_{j}(t) ≥ 0, ∀j ∈ J}.

Démonstration. C’est la méthode utilisée dans la démonstration de [Vas2] qui s’applique : on suppose premièrement que L_{γ}(r_{j}) > 0. On pose alors γ_{α,j} = L_{γ}(t^{α}r_{j}), pour tout α ≥ 0. On a γ_{0,j} = L_{γ}(r_{j}) > 0 et L_{γ_{j}}(p) = L_{γ}(r_{j}p) ≥ 0 pour tout p ∈ T . On applique à cette nouvelle suite le théorème 1.1.7, pour obtenir une mesure μ_{j} vérifiant :

(1.1.20)  L_{γ_{j}}(p) = ∫_{K} p(t)dμ_{j}(t) = L_{γ}(r_{j}p) = ∫_{K} r_{j}(t)p(t)dμ(t),

pour tout polynôme p. Par densité de ces derniers, pour toute fonction continue f sur K, on obtient :

(1.1.21)  ∫_{K} f(t)dμ_{j}(t) = ∫_{K} f(t)r_{j}(t)dμ(t).

Par unicité de la mesure dans le théorème 1.1.7, on en déduit l’égalité μ_{j} = r_{j}μ. Si on pose A_{j} = {t ∈ K; r_{j}(t) < 0}, si μ(A_{j}) était strictement positif, on obtiendrait :

(1.1.22)  μ_{j}(A_{j}) = ∫_{K} χ_{A_{j}}(t)dμ_{j}(t) = ∫_{K} χ_{A_{j}}(t)r_{j}(t)dμ(t) < 0,

(où χ_{A_{j}} est la fonction caractéristique associée à l’ensemble borélien A_{j}) ce qui est impossible puisque la mesure μ_{j} est positive.

Maintenant si L_{γ}(r_{j}) = 0, on distingue deux cas : on suppose qu’il existe un q_{j} ∈ T tel que L_{γ}(r_{j}q_{j}) > 0. Dans ce cas, quite à rajouter une constante C à q_{j}, on peut supposer que q_{j}(t) > 0, pour tout t ∈ K. En effet, le fait de rajouter une constante C implique :

L_{γ}(r_{j}(C + q_{j})) = C L_{γ}(r_{j}) + L_{γ}(r_{j}q_{j}) = L_{γ}(r_{j}q_{j}) > 0,

ce qui ne change pas l’hypothèse faite. On applique alors ce qui vient d’être fait avec q_{j} en remarquant que q_{j}(t)r_{j}(t) ≥ 0 est équivalent à r_{j}(t) ≥ 0. Enfin, si L_{γ}(r_{j}q) = 0 pour tout q ∈ T , on obtient pour toute fonction f continue sur K :

(1.1.23)  ∫_{K} f(t)r_{j}(t)dμ(t) = 0.

Ceci revient à dire que r_{j}μ est nulle et donc le support de μ est dans l’ensemble des zéros de r_{j}, ce qui prouve en particulier notre inclusion.

En fait, on peut donner un second corollaire direct du théorème 1.1.7 où l’on peut situer le support de μ dans l’image réciproque des zéros de polynômes en utilisant le dernier cas de la démonstration précédente :

1.1.9 Corollaire : Soient K et T comme dans le théorème 1.1.7 et soit γ = (γ_{α})_{α≥0} (γ_{0} > 0) une multi-suite de moments sur K de mesure de représentation μ. S’il existe des polynômes (r_{j})_{j∈J} tels que les formes linéaires L_{γ}(r_{j}∗) soient nulles pour tout q ∈ T et pour tout j ∈ J, alors le support de la mesure μ vérifie :

(1.1.24)  supp(μ) ⊂ {t ∈ K; r_{j}(t) = 0, ∀j ∈ J}.

1.1.10 Remarques :

(1) Évidemment, la construction polynômiale nous donne la solution pour tout compact, mais sur des cas particuliers simples, il est sans doute plus pratique d’utiliser d’autres polynômes, par exemple pour les compacts semi-algébriques. Pour de tels exemples, on peut se référer au travail de F.-H. Vasilescu ([Vas2]) où les cas de la sphère de ℝ^{n} et de [0, 1]^{n}, en particulier, ont été traités. Le fait d’utiliser des polynômes plus appropriés rend la condition de positivité beaucoup plus simple. Mais dans ce cas, si la famille de polynômes n’engendre pas en tant qu’algèbre ℝ[X], on peut (et on doit) rajouter des polynômes de degré 1 qui restent positifs sur notre compact K. En effet dans ce cas là, on rajoute à notre famille les éléments suivants :

Soient a_{i}(K) = a_{i} = inf{t_{i}, t ∈ K} et b_{i}(K) = b_{i} = sup{t_{i}, t ∈ K} pour tout i = 1, ⋯, n. On rajoute les fonctions linéaires :

(1.1.25)  \{ \begin{matrix}P̂_{0,i}(t) & = \frac{t_{i} − a_{i}}{b_{i} − a_{i}} si b_{i} ≠ a_{i} \\ & = 0 si non. \end{matrix}

(2) En fait, on peut remarquer que la méthode s’applique pour toute famille dénombrable de polynômes (Q_{i})_{i≥0} à partir du moment où elle engendre, en tant qu’algèbre, l’espace des polynômes. Il suffit de construire un ensemble test de la même manière que dans (1.1.7). Pour chaque compact, il est alors préférable d’utiliser une famille adéquate, dès que cela est possible. C’est d’ailleurs ce que l’on fait dans l’exemple qui suit.

1.1.11 Etude d’un exemple :

Pour le cas des compacts semi-algébriques, plusieurs exemples sont cités dans [Vas2]. En particulier, l’auteur traite le cas du problème de Hausdorff en dimension n. Afin de ne pas trop compliquer les calculs, nous étudierons un exemple de compact non semi-algébrique dans ℝ. Mais, nous donnerons une méthode pour en obtenir en dimension quelconque. Soit K l’ensemble défini par :

(1.1.26)  K = \{0\} ∪ ⋃_{i≥1} [\frac{1}{2i}, \frac{1}{2i − 1}].

Il est évident que K est bien compact. On commence par montrer qu’il n’est pas semialgébrique. Pour cela, on raisonne par l’absurde et on écrit K = ∩_{i=1}^{N}U_{i}^{−1}(ℝ^{+}), où les (U_{i})_{1≤i≤N} sont des polynômes. Alors pour tout (j, ε) dans ℤ^{+} ×{0; 1}, il existe un i_{0} tel que U_{i_{0}}((2j + ε)^{−1}) = 0. En effet si ce n’était pas le cas, pour tout i dans {1, ⋯, N}, U_{i}((2j + ε)^{−1}) > 0. En utilisant la continuité des (U_{i})_{i}, il existerait un η > 0 tel que

(1.1.27)  ∀i ∈ {1, ⋯, N}, ∀t ∈ [(2j + ε)^{−1} − η, (2j + ε)^{−1} + η], U_{i}(t) ≥ 0.

On aurait donc B((2j +ε)^{−1}, η) ⊂ K, ce qui contredit le fait que (2j +ε)^{−1} est un point de la frontière de K. Donc tous les nombres du type 1/j sont racines d’un nombre fini de polynômes. Il y a donc forcément l’un d’entre eux qui est nul. En le supprimant et en réitérant le procédé, on prouve que tous les polynômes (U_{i})_{i} sont nuls ; ce qui signifierait que K = ℝ. Ceci nous donne bien la contradiction. On pourrait prendre la construction des (P_{i})_{i≥0} comme dans le lemme 1.1.2, mais il est plus facile de prendre les polynômes suivants pour définir le compact K (voir la remarque précédente 1.1.10) :

(1.1.28)  \{ \begin{matrix}P_{0}(t) = t(1 − t) \\ P_{j}(t) = (t − \frac{1}{2j + 1})(t − \frac{1}{2j}), ∀j ≥ 1. \end{matrix}

Alors, pour définir l’ensemble � test �, on a besoin des polynômes suivants (qui s’obtiennent par un simple calcul) :

(1.1.29)  \{ \begin{matrix}P̂_{0}(t) = 4t(1 − t) \\ 1 − P̂_{0}(t) = (1 − 2t)^{2} \\ P̂_{j}(t) = \frac{2j + 1}{2j − 1}(t − \frac{1}{2j + 1})(t − \frac{1}{2j}), ∀j ≥ 1 \\ 1 − P̂_{j}(t) = \frac{2j + 1}{2j − 1}(1 − t)(t + \frac{4j^{2} − 2j − 1}{2j(2j + 1)}), ∀j ≥ 1 \end{matrix}

On peut vérifier, par exemple, qu’il n’existe pas de mesure positive de représentation à support dans K pour toute suite commençant par (1, 1, 2, ⋯) puisque l’on a :

L_{(1,1,2,···)}(1 − P̂_{2}) = \frac{−10}{3} < 0.

Enfin, ce qui a été fait dans le cas d’une seule variable peut être généralisé : il suffirait de prendre l’origine et des boules fermées de rayons de plus en plus petits telles qu’il existe une droite passant par l’origine qui coupe une infinité de ces boules (afin d’être sûr d’avoir un compact qui ne soit pas semi-algébrique).

1.1.12 Remarque : Nous nous sommes occupés ici du problème des moments sur un compact de ℝ^{n}. On aurait pu résoudre le même problème dans ℂ^{n}. Pour voir les liens qui existent entre les deux problèmes des moments, on peut se référer à une note de Mihail Putinar (voir [Pu]) ainsi qu’à un appendice de J. Stochel et F.H. Szafraniec (voir [St-Sz5] de la page 485 à la fin) sur la complexification du problème des moments.

Partie I.2 Problème sur un ensemble semi-algébrique non-borné

Une réponse au problème des moments en plusieurs variables sur des ensembles non bornés a été donnée récemment par Mihail Putinar et Florian-H. Vasilescu, dans un article paru dans Annals of Mathematics en 1999. L’idée utilisée (qui apparaît déjà dans une publication du second auteur cité où les problèmes de Hamburger et de Stieltjes en plusieurs variables sont traités, voir [Vas3]) est de plonger l’algèbre des polynômes dans une algèbre de fractions rationnelles. Les fractions utilisées sont celles incluses dans l’ensemble des fonctions du type :

\frac{x^{α}}{(1 + ||x||^{2})^{m}} , x ∈ ℝ^{n}, α ∈ ℤ_{+}^{n}, m ∈ ℤ_{+},

où ||∗|| est la norme euclidienne classique de ℝ^{n}. On peut remarquer que l’idée d’utiliser des fractions pour l’étude du problème des moments multi-dimensionnels apparaît déjà dans une note parue en 1991 pour donner une réponse au problème tronqué (voir [Gi-Se]).

Dans cette section, nous transcrirons les résultats obtenus par M. Putinar et F.-H. Vasilescu pour le cas d’autres algèbres de fractions rationnelles. L’intérêt de ce type de généralisation sera de pouvoir utiliser les résultats ainsi obtenus pour donner des critères de sous-normalité pour des multi-opérateurs non bornés (voir en particulier la troisième partie de cette thèse).

Soit (p_{1}, ⋯, p_{m}) ∈ ℝ[X]^{m} un m-uplet de polynômes en n variables tel que chacun d’entre eux reste strictement positif sur ℝ^{n}. On notera par (θ_{1}, ⋯, θ_{m}) les fonctions inverses des p_{j} pour tout j = 1, ⋯, m. Enfin, soit R_{θ} l’algèbre engendrée par les (θ_{j})_{j} et les éléments de ℝ[X]. Dans cette section, à chaque fois que l’on aura des (n + m)- uplets α dans ℝ^{n+m}, on les écrira (α′, α′′) avec α′ dans ℝ^{n} et α′′ dans ℝ^{m}. Dans tout ce qui suit, on notera par S^{2} l’ensemble des polynômes qui peuvent s’écrire comme une somme de carrés de polynômes. Comme on travaillera sur des polynômes avec des nombres différents de variables, afin de simplifier la lecture, nous noterons par ℝ_{p}[X] l’ensemble des polynômes en p variables. Enfin, on note par θ la fonction de ℝ^{n} dans ℝ^{m} donnée par :

θ(t) = (θ_{1}(t), ⋯, θ_{m}(t)), ∀t ∈ ℝ^{n}.

1.2.1 Lemme : Soit Ψ l’application de ℝ_{n+m}[t, s] dans R_{θ} définie par Ψ(q(t, s)) = q(t, θ(t)) pour tout polynôme q ∈ ℝ_{n+m}[t, s]. Alors, Ψ est surjective et son noyau est un idéal I_{ω} engendré par les fonctions suivantes :

(1.2.1)  ω_{j}(t, s) = s_{j}p_{j}(t) − 1, j = 1, ⋯, m.

Démonstration. Soit r(t, s) un élément du noyau Ker(Ψ) de Ψ. Alors, on a :

\begin{aligned}r(t, s) & = r(t, s) − r(t, θ(t)) = ∑_{β∈ℤ_{+}^{m}\\{0\}}p_{β}(t)(s^{β} − θ(t)^{β}) \\ & = ∑_{j=1}^{m}(s_{j} − θ_{j}(t))r_{j}(t, s, θ(t)), \end{aligned}

où les r_{j} sont des polynômes de ℝ_{2m+n}[X]. On pose alors par α_{k} le maximum de l’ensemble {β_{k}/p_{β} ≠ 0} et on définit le polynôme τ par :

τ(t) = ∏_{j=1}^{n} p_{j}(t)^{α_{j}}.

Dans ce cas, on a de manière claire :

(1.2.2)  τ(t)r(t, s) = ∑_{j=1}^{m}(s_{j}p_{j}(t) − 1)r_{j}^{(1)}(t, s).

Si pour tout j, α_{j} est nul, r(t, s) ne dépend plus que de la variable t et comme r(t, θ(t)) = 0, il s’ensuit que r est le polynôme identiquement nul. Sinon, il existe un entier k_{0} tel que α_{k_{0}} ≠ 0. Alors, τ et ω_{k_{0}} n’ont pas de zéro en commun, on peut donc trouver des polynômes τ̃ et ω̃_{k_{0}} tels que :

ττ̃ + ω_{k_{0}} ω̃_{k_{0}} = 1.

Ceci revient à écrire que, dans tous les cas, on peut trouver des polynômes (ω̃_{j})_{j=1,···,m} tels que l’on ait :

(1.2.3)  ττ̃ + ∑_{j=1}^{m} ω_{j}ω̃_{j} = 1.

Et donc, nous obtenons que r admet la représentaion rττ̃ + ∑_{j=1,···,m} rω_{j}ω̃_{j}; ceci est équivalent à écrire, en utilisant (1.2.2) :

(1.2.4)  r = ∑_{j=1}^{m} ω_{j}[rω̃_{j} + r_{j}^{(1)}τ̃].

Inversement si r ∈ I_{ω}, r s’écrit sous la forme ∑_{j=1}^{m} r_{j}ω_{j} et on obtient :

(1.2.5)  r(t, θ(t)) = ∑_{j=1}^{m} r_{j}(t, θ(t))[p_{j}(t)θ_{j}(t) − 1] = 0.

Donc, on a bien l’égalité Ker(Ψ) = I_{ω}. Comme la surjectivité est évidente, on obtient bien l’égalité voulue.

1.2.2 Notation : Dans tout ce qui suit, nous utiliserons un m-uplet (p_{1}, ⋯, p_{m}) de polynômes de S^{2} ⊂ ℝ_{n}[X] de la forme :

(1.2.6)  p_{j}(t) = 1 + ∑_{k∈I_{j}} t_{k}^{2} + ∑_{l∈L_{j}} r_{j,l}(t)^{2},

où l’ensemble I_{j} est inclus dans {1, ⋯, n}, ceci pour tout j = 1, ⋯, m et où les (r_{j,l})_{j,l} sont dans ℝ_{n}[X]. Jusqu’à la fin de cette partie, on notera les p_{j} (j = 1, ⋯, m) sous la forme :

p_{j}(t) = ∑_{K∈ℤ_{+}^{n}} a_{j,K}t^{K},

où les familles (a_{j,K})_{K} sont finies. Enfin, on notera par (θ_{j})_{j} les fonctions inverses des (p_{j})_{j} pour j = 1, ⋯, m. Soit R_{θ} l’algèbre engendrée par les fonctions (θ_{j})_{j} et les éléments de ℝ_{n}[X]. On dira que les ensembles (I_{j}) (j = 1, ⋯, m) vérifient la condition (1.2.7) si on a l’égalité :

(1.2.7)  ⋃_{j=1}^{m} I_{j} = {1, ⋯, n}.

Nous commencerons par rappeler deux lemmes clés, dont nous aurons besoin, sur des opérateurs symétriques qui possèdent des fermetures canoniques auto-adjointes (cf.

[Nel] et [Pu-Vas2]). Le lemme suivant correspond au lemme 2.2 de [Pu-Vas2].

1.2.3 Lemme (Putinar-Vasilescu 1999) : Soit H un espace de Hilbert séparable. Soit A un opérateur positif dont le domaine D(A) est dense dans H et tel que l’on ait A(D(A)) ⊂ D(A). Supposons, de plus, que I + A soit une bijection sur D(A). Alors la fermeture canonique Ā de A est un opérateur auto-adjoint.

Le lemme suivant correspond à la proposition 2.1 de [Pu-Vas2] (lemme qui généralise des résultats de [Nel]).

1.2.4 Lemme (Putinar-Vasilescu 1999) : Soient T_{1}, ⋯, T_{m} des opérateurs symétriques définis sur un espace de Hilbert séparable H. Supposons qu’il existe un sous-espace vectoriel D dense contenu dans ∩_{j,k=1}^{m}D(T_{j}T_{k}) tel que les restrictions des opérateurs T_{1}, ⋯, T_{m} à cet espace commutent. Supposons de plus que l’opérateur (T_{1}^{2}+⋯+T_{m}^{2})|D soit essentiellement auto-adjoint, alors il en est de même de chaque T_{j} et leurs fermetures canoniques respectives \overline{T_{1}}, ⋯, \overline{T_{m}} commutent.

Avant de poursuivre, on va rappeler une transformation due à Gelfand et Naimark sur des formes semi-définies positives (voir [Ge-Na], [Fu2], [Vas3], [Pu-Vas2], etc).

Soit A une algèbre, sur ℂ, de fonctions à valeurs complexes définies sur l’espace euclidien ℝ^{n}, vérifiant les propriétés suivantes :

(1.2.8)  \{ \begin{matrix}1 ∈ A, \\ Si f ∈ A, alors f̄ ∈ A. \end{matrix}

Soit λ une forme linéaire semi-définie positive sur A dans ℂ, c’est à dire qu’elle vérifie :

(1.2.9)  λ(ff̄) ≥ 0, ∀f ∈ A.

Si la forme λ n’est pas identiquement nulle, on a nécessairement λ(1) > 0 et on peut associer à la paire (A, λ) un espace préhilbertien. Pour ce faire, il suffit de poser :

(1.2.10)  N = {f ∈ A / λ(ff̄) = 0}.

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, N est un idéal bilatère. Par conséquent, on peut définir le quotient A/N qui est un A-module. En fait, on peut attacher à ce quotient A/N un produit scalaire en posant :

(1.2.11)  ⟨f + N , g + N ⟩_{λ} = λ(fḡ), ∀(f, g) ∈ A^{2}.

Pour plus de détails, on peut se référer [Du-Schw], [Fu2], etc.

1.2.5 Théorème : Soit (p_{1}, ⋯, p_{m}) un m-uplet de polynômes de S^{2} ⊂ ℝ_{n}[X] sans aucun zéro dans ℝ^{n} de la forme

p_{j}(t) = 1 + ∑_{k∈I_{j}} t_{k}^{2} + ∑_{l∈L_{j}} r_{j,l}(t)^{2},

où les ensembles (I_{j})_{j=1,···,m} vérifient la condition (1.2.7). Soit ϕ une forme linéaire positive semi-définie sur R_{θ} telle que les formes {ϕ(r_{j,l}∗)}_{(j,l)∈{1,···,m}×L_{j}} le soient également. Alors ϕ admet une unique mesure positive de représentation μ, dont le support est inclus dans ∩_{(j,l)∈{1,···,m}×L_{j}}r_{j,l}^{−1}(ℝ^{+}). Bien évidemment, la réciproque est également vraie.

Nous suivons la méthode du théorème 2.5 de [Pu-Vas2]. Nous répétons tous les détails de la preuve car les variantes utilisées ici par rapport à la démonstration du théorème de M. Putinar et F.-H. Vasilescu seront utilisées à plusieurs reprises dans les chapitres suivants. Dans la remarque qui suit, on donne une preuve beaucoup plus courte et astucieuse qui a été donnée par E. Albrecht.

Démonstration. On va utiliser la transformation de Gelfand et Naimark. On définit une forme sesquilinéaire sur l’algèbre R_{θ} en posant :

(1.2.12)  ⟨r_{1}, r_{2}⟩_{ϕ} = ϕ(r_{1}r̄_{2}).

On pose ensuite N = {r ∈ R_{θ} / ϕ(rr̄) = 0}. On obtient un produit scalaire sur R_{θ}/N et on complète ce dernier ensemble pour obtenir un espace de Hilbert H_{ϕ} qui dépend de notre forme linéaire ϕ. On définit alors les opérateurs (A_{j,l})_{j,l} et T_{j} sur R_{θ}/N correspondant à la multiplication par les polynômes r_{j,l} et t_{j} respectivement, c’est à dire que :

(1.2.13)  \{ \begin{matrix}A_{j,l}(q + N) = r_{j,l}q + N , & ∀q + N ∈ R_{θ}/N = D(A_{j,l}) \\ T_{j}(q + N) = t_{j}q + N , & ∀q + N ∈ R_{θ}/N = D(T_{j}). \end{matrix}

Les opérateurs sont bien définis car N est un R_{θ}-module. Le domaine commun D(A_{j,l}) = R_{θ}/N des opérateurs A_{j,l} est donc dense dans H_{ϕ} par construction (de même pour les T_{j}). De plus, les opérateurs (A_{j,l}, T_{k})_{j,k,l} forment une famille commutative d’opérateurs symétriques du fait que les variables utilisées soient réelles :

(1.2.14)  ⟨A_{j,l}(g + N), q + N ⟩_{ϕ} = ϕ(r_{j,l}g\overline{q}) = ⟨g + N , A_{j,l}(q + N)⟩_{ϕ},

pour tout couple (g + N , q + N) dans (R_{θ}/N)^{2} (c’est exactement la même égalité qui s’applique pour les opérateurs T_{j}). On définit maintenant les opérateurs (U_{j})_{j=1,···,m} en posant :

(1.2.15)  U_{j} = ∑_{l∈L_{j}} A_{j,l}^{2} + ∑_{k∈I_{j}} T_{j}^{2} avec D(U_{j}) = R_{θ}/N , j = 1, ⋯, m.

Ces opérateurs sont positifs à domaine commun dense. On peut observer que chaque opérateur I + U_{j} est bijectif sur D(U_{j}) = R_{θ}/N (vu les dénominateurs que l’on a pris pour nos fractions rationnelles). En effet, pour tout élément p de R_{θ}, il existe un p′(t) = θ_{j}(t)p(t) de R_{θ} tel que l’on ait :

(1.2.16)  [I + U_{j}](p′) = [1 + ∑_{k∈I_{j}} t_{k}^{2} + ∑_{l∈L_{j}} r_{j,l}^{2}]p′(t) = p_{j}(t)θ_{j}(t)p(t) = p(t).

On ne peut pas alors appliquer directement les résultats de M. Putinar et F.-H. Vasilescu car nous n’obtiendrions pas la commutativité des fermetures canoniques. Mais, on peut appliquer le lemme 1.2.3 à chaque [I + U_{j}][I + U_{i}] − I. On en déduit que chaque opérateur [I + U_{j}][I + U_{i}] − I est essentiellement auto-adjoint pour toutes les valeurs de i et j dans {1, ⋯, m}^{2} où la composition des opérateurs peut s’écrire sous la somme : (1.2.17)

\begin{aligned}[I + U_{j}][I + U_{i}] − I = & ∑_{k∈I_{i}∪I_{j}} T_{k}^{2} + ∑_{l∈L_{i}} A_{i,l}^{2} + ∑_{l∈L_{j}} A_{j,l}^{2} + ∑_{k∈I_{i},l∈I_{j}} T_{k}^{2}T_{l}^{2} \\ & + ∑_{k∈L_{i},l∈L_{j}} A_{i,l}^{2}A_{j,k}^{2} + ∑_{k∈I_{i},l∈L_{j}} T_{k}^{2}A_{j,l}^{2} + ∑_{k∈I_{j},l∈L_{i}} T_{k}^{2}A_{i,l}^{2}. \end{aligned}

On peut alors appliquer le lemme 1.2.4 à chaque [I + U_{j}][I + U_{i}] − I. En appliquant le procédé à chaque couple (i, j) dans {1, ⋯, m}^{2}, on en déduit que les opérateurs (A_{j,l})_{j,l} et (T_{k})_{k} ont des fermetures canoniques auto-adjointes respectives (\overline{A_{j,l}})_{j,l} et (\overline{T_{k}})_{k}, et que ces fermetures canoniques commutent. Soit E la mesure spectrale jointe de cette famille commutative d’opérateurs auto-adjoints (\overline{A_{j,l}}, \overline{T_{k}})_{j,k,l}. On définit alors la mesure positive μ en posant :

μ(∗) = ⟨E(∗)(1 + N), (1 + N)⟩_{ϕ}.

Comme les ensembles (I_{1}, ⋯, I_{m}) vérifient la condition (1.2.7), on peut trouver j_{1}, ⋯, j_{n} vérifiant i ∈ I_{j_{i}}. Alors, on obtient maintenant :

\begin{aligned}ϕ(t^{α}) & = ϕ(t_{1}^{α_{1}} ⋯ t_{n}^{α_{n}}) = ⟨T_{1}^{α_{1}} ⋯ T_{n}^{α_{n}}1, 1⟩_{ϕ} = ⟨\overline{T_{1}}^{α_{1}} ⋯ \overline{T_{n}}^{α_{n}}1, 1⟩_{ϕ} \\ & = ∫_{ℝ^{n}} t_{1}^{α_{1}} ⋯ t_{n}^{α_{n}}d⟨E(t)(1 + N), (1 + N)⟩_{ϕ} = ∫_{ℝ^{n}} t^{α}dμ(t). \end{aligned}

Cette égalité est en fait valable sur l’algèbre R_{θ} tout entière. En effet, quel que soit l’élément r ∈ R_{θ}/N, on a r(A_{j,l}, T_{k}) ⊂ r(\overline{A_{j,l}}, \overline{T_{k}}) où les opérateurs r(\overline{A_{j,l}}, \overline{T_{k}}) sont donnés par le calcul fonctionnel du multi-opérateur auto-adjoint commutatif (\overline{A_{j,l}}, \overline{T_{k}})_{j,k,l} : si r est un polynôme, cela est évident. Sinon, soit β ∈ ℤ_{+}^{m}, on a l’inclusion θ^{−β}(A_{j,l}, T_{k}) ⊂ θ^{−β}(\overline{A_{j,l}}, \overline{T_{k}}) ; ce qui nous donne :

(1.2.18)  θ^{β}(\overline{A_{j,l}}, \overline{T_{k}})[θ^{−β}(A_{j,l}, T_{k}) − θ^{−β}(\overline{A_{j,l}}, \overline{T_{k}})] = 0 sur R_{θ}/N .

Ceci entraîne bien que θ^{β}(A_{j,l}, T_{k}) ⊂ θ^{β}(\overline{A_{j,l}}, \overline{T_{k}}).

Pour l’unicité de la mesure, on utilise la même démonstration que celle utilisée dans le théorème 2.5 de [Pu-Vas2]. Soit ρ une quelconque mesure de représentation de ϕ. Comme pour tout couple (p, q) ∈ R_{θ}^{2}, on a :

(1.2.19)  ϕ(pq̄) = ∫_{ℝ^{n}} p(t)q̄(t)dρ(t).

On peut identifier H_{ϕ} avec un sous-espace fermé de L^{2}(ρ). Dans ce cas, toute fonction de l’idéal N est nulle ρ-presque partout et on obtient les inclusions suivantes :

(1.2.20)  R_{θ} ⊂ \overline{R}_{θ} = H_{ϕ} ⊂ L^{2}(ρ).

Soient R_{j,l} et S_{j} les opérateurs multiplications par r_{j,l} et t_{j} respectivement dans l’espace L^{2}(ρ). Leurs domaines D(R_{j,l}) et D(S_{j}) sont denses car ils contiennent en particulier l’espace C_{c}^{∞}(ℝ^{n}) (ensemble des fonctions de classe C^{∞} sur ℝ^{n} et à support compact) qui est dense dans L^{2}(ρ). De plus, puisque les polynômes r_{j,l} sont à coefficients réels tout comme les variables t_{1}, ⋯, t_{n}, on obtient que ces opérateurs sont auto-adjoints dans L^{2}(ρ). En particulier, on connaît les inclusions A_{j,l} ⊂ \overline{A_{j,l}} ⊂ R_{j,l} et T_{j} ⊂ \overline{T_{j}} ⊂ S_{j}. Pour tout v ∈ ℝ^{∗}, les opérateurs [\overline{A_{j,l}} + ivI], [R_{j,l} + ivI], [\overline{T_{j}} + ivI] et [S_{j} + ivI] sont inversibles car \overline{A_{j,l}}, \overline{T_{j}}, S_{j} et R_{j,l} sont auto-adjoints. Sur le domaine D(\overline{A_{j,l}}), on a :

(R_{j,l} + ivI)^{−1}[(R_{j,l} + ivI) − (\overline{A_{j,l}} + ivI)] = 0.

Ceci entraîne que (R_{j,l} + ivI)^{−1} envoie D(\overline{A_{j,l}}) dans lui-même (et H_{ϕ} dans H_{ϕ} par continuité, bien sûr on a la même relation entre \overline{T_{j}} et S_{j}). De plus, on sait :

\{ \begin{matrix}((R_{j,l} + ivI)^{−1})^{∗} = ((R_{j,l} + ivI)^{∗})^{−1} = (R_{j,l} − ivI)^{−1}. \\ ((S_{j} + ivI)^{−1})^{∗} = ((S_{j} + ivI)^{∗})^{−1} = (S_{j} − ivI)^{−1}. \end{matrix}

Si le couple (f, g) est dans H_{ϕ} × H_{ϕ}^{⊥}, on obtient :

(1.2.21)  \{ \begin{matrix}⟨[R_{j,l} − ivI]^{−1}g, f⟩_{L^{2}(ρ)} = ⟨g, [R_{j,l} + ivI]^{−1}f⟩_{L^{2}(ρ)} = 0, \\ ⟨[S_{j} − ivI]^{−1}g, f⟩_{L^{2}(ρ)} = ⟨g, [S_{j} + ivI]^{−1}f⟩_{L^{2}(ρ)} = 0, \end{matrix}

car H_{ϕ} est stable par les opérateurs (R_{j,l} +ivI)^{−1} et (S_{j} +ivI)^{−1}. On en déduit que H_{ϕ}^{⊥} est stable par (R_{j,l} −ivI)^{−1} et (S_{j} −ivI)^{−1}, ce qui revient à dire que [R_{j,l} +ivI]^{−1}|_{H_{ϕ}} = [\overline{A_{j,l}} + ivI]^{−1} et [S_{j} + ivI]^{−1}|_{H_{ϕ}} = [\overline{T_{j}} + ivI]^{−1}. Or ceci nous permet d’affirmer que l’espace H_{ϕ} est stable par les mesures spectrales E_{j,l} et E_{j} des opérateurs R_{j,l} et S_{j} respectivement (voir [Du-Schw], théorème XII.2.10). Soit E_{S} la mesure spectrale de la famille (S_{j}). Alors pour tout borélien B de ℝ^{n} de la forme B_{1} × ⋯ × B_{n}, nous avons :

(1.2.22)  E_{S}(B) = E_{1}(B_{1}) × ⋯ × E_{n}(B_{n}),

ceci nous prouve que H_{ϕ} est invariant par E_{S}. Comme en particulier 1 ∈ H_{ϕ}, nous avons χ_{B} = E_{S}(B)1 qui est dans cet espace, ceci pour tout ensemble borélien de la forme précédente. Mais ces fonctions indicatrices engendrent l’espace L^{2}(ρ), on en déduit l’égalité des deux espaces de Hilbert L^{2}(ρ) et H_{ϕ}. Et donc, on peut conclure sur l’égalité des opérateurs \overline{T_{j}} = S_{j}. De plus, pour tout borélien B, nous avons :

(1.2.23)  μ(B) = ⟨E(1), 1⟩_{H_{ϕ}} = ⟨E_{S}(1), 1⟩_{L^{2}(ρ)} = ∫ χ_{B}(t)dρ(t) = ρ(B).

Ceci prouve bien l’unicité de la mesure.

Nous avons déjà prouvé que les opérateurs (A_{j,l})_{j,l} sont essentiellement auto-adjoints avec la condition de positivité supplémentaire, cela nous permet de conclure sur le lieu du support de la mesure : en effet, pour tout couple (j, l), on a prouvé :

\overline{A_{j,l}} = R_{j,l} = r_{j,l}(S_{1}, ⋯, S_{n}) = r_{j,l}(\overline{T_{1}}, ⋯, \overline{T_{n}}).

Donc l’opérateur \overline{A_{j,l}} = r_{j,l}(\overline{T_{1}}, ⋯, \overline{T_{n}}) est un opérateur positif. Soit F_{j,l} la mesure spectrale de r_{j,l}(\overline{R_{1}}, ⋯, \overline{R_{n}}), son support est inclus dans ℝ^{+}. Mais comme nous avons l’égalité suivante :

(1.2.24)  ∀B borélien de ℝ, F_{j,l}(B) = E(r_{j,l}^{−1}(B)),

le support de la mesure spectrale jointe E est inclus dans r_{j,l}^{−1}(ℝ^{+}), ceci pour tout couple (j, l) dans {1, ⋯, n} × L_{j}.

Bien entendu, l’implication inverse est évidente, il suffit d’utiliser la mesure positive de représentation pour avoir la positivité des différentes formes linéaires.

\underline{Remarque : Preuve rapide donnée par E. Albrecht ;} Nous allons ici utiliser directement le théorème 2.5 de [Pu-Vas2]. On a noté R_{θ} l’algèbre engendrée par les fonctions (θ_{j})_{j=1,···,m} et les polynômes ℝ_{n}[X], soit B l’algèbre engendrée par la fraction rationnelle θ_{1} × ⋯ × θ_{m} et ℝ_{n}[X]. On a bien évidemment l’inclusion B ⊂ R_{θ}. Mais l’inclusion inverse est également vérifiée. En effet, si q est un élément de R_{θ}, on peut toujours multiplier les numérateurs et les dénominateurs des fractions qui interviennent dans la décomposition de q par des p_{j} de telle sorte que chacune des fractions soit dans B. Donc, on a l’égalité :

B = R_{θ}.

Comme ϕ est semi-définie positive sur R_{θ}, elle l’est sur B. On peut donc appliquer le théorème 2.5 de [Pu-Vas2] à B où le polynôme P est joué par :

P (t) = p_{1}(t) × ⋯ × p_{m}(t).

On peut bien lui appliquer ce théorème car P est de la forme :

P (t) = 1 + ∑_{k=1}^{n} t_{k}^{2} + ∑_{l∈L_{j},j=1,···,m} r_{j,l}(t)^{2} + S(t),

où S est une somme de carrés de polynômes.

Afin de situer au mieux le support de la mesure associée à une suite de moments, nous aurons besoin des polynômes (r_{j,l})_{j,l}. Notons les

(1.2.25)  r_{j,l}(t) = ∑_{K∈ℤ_{+}^{n}} r_{j,l,K} t^{K}, l ∈ L_{j}, j = 1, ⋯, m.

Nous pouvons utiliser le résultat précédent pour donner une solution au problème des moments multi-dimensionnels sur des ensembles non nécessairement bornés.

On rappelle qu’une suite de nombres réels γ = (γ_{α})_{α∈ℤ_{+}^{n}} (γ_{0} > 0) est dite semidéfinie positive si la forme linéaire associée est semi-définie positive sur l’algèbre des polynômes à n variables.

1.2.6 Corollaire : Soit (p_{1}, ⋯, p_{m}) un m-uplet de polynômes dans S^{2} ⊂ ℝ_{n}[X] de la forme :

p_{j}(t) = 1 + ∑_{k∈I_{j}} t_{k}^{2} + ∑_{l∈L_{j}} r_{j,l}(t)^{2},

où les ensembles (I_{j})_{j=1,···,m} vérifient la condition (1.2.7).

Soit γ = (γ_{α})_{α∈ℤ_{+}^{n}} (γ_{0} > 0) une multi-suite de nombres réels. Alors γ est une multisuite de moments, avec une mesure positive de représentation μ à support inclus dans ∩_{(j,l)∈{1,···,m}×L_{j}}r_{j,l}^{−1}(ℝ^{+}), si et seulement si il existe une multi-suite γ̃ = (γ̃_{α,β})_{α∈ℤ_{+}^{n},β∈ℤ_{+}^{m}} semi-définie positive sur R_{θ} vérifiant les trois propositions suivantes :

(i) γ̃_{α,0} = γ_{α}, ∀α ∈ ℤ_{+}^{n}.

(ii) ∑_{K∈ℤ_{+}^{n}} a_{j,K} γ̃_{α+K,β+e_{j}} = γ̃_{α,β}, ∀α ∈ ℤ_{+}^{n}, β ∈ ℤ_{+}^{m} ; j = 1, ⋯, n.

(iii) les multi-suites ( ∑_{K∈ℤ_{+}^{n}} r_{j,l,K} γ̃_{α+K,β})_{α∈ℤ_{+}^{n},β∈ℤ_{+}^{m}} sont semi-définies positives pour

tout couple (j, l) ∈ {1, ⋯, m} × L_{j}.

De plus cette mesure positive est unique si et seulement si il n’existe qu’une seule extension de γ = (γ_{α})_{α∈ℤ_{+}^{n}} vérifiant les conditions précédentes.

Démonstration. Commençons par supposer que la multi-suite γ = (γ_{α})_{α∈ℤ_{+}^{n}} admette une mesure positive de représentation μ. On pose alors :

(1.2.26)  γ̃_{α,β} = ∫_{ℝ^{n}} t^{α}θ(t)^{β}dμ(t).

Bien évidemment, ceci implique que la condition (i) est vérifiée. On définit ensuite une forme linéaire Lγ̃ associée à la mesure μ sur ℝ_{n+m}[t, s] en posant :

(1.2.27)  Lγ̃ \{ \begin{matrix}ℝ_{n+m}[t, s] & → & ℂ \\ t^{α}s^{β} & → & γ̃_{α,β} \end{matrix}

Soit q(t, s) = ∑_{α,β} b_{α,β}t^{α}s^{β} un élément de ℝ_{n+m}[t, s], alors on a :

(1.2.28) \begin{aligned}Lγ̃(qq̄) & = Lγ̃(∑_{α,β} b_{α,β}t^{α}s^{β} ∑_{α,β} \overline{b_{α,β}}t^{α}s^{β}) = ∑_{α,β,δ,ε} b_{α,β}\overline{b_{δ,ε}}Lγ̃(t^{α+δ}s^{β+ε}) \\ & = ∑_{α,β,δ,ε} b_{α,β}\overline{b_{δ,ε}} ∫_{ℝ^{n}} t^{α+δ}θ(t)^{β+ε}dμ(t) = ∫_{ℝ^{n}} |q(t, θ(t))|^{2}dμ(t) ≥ 0. \end{aligned}

Ceci revient à dire que la forme linéaire Lγ̃ est semi-définie positive sur R_{θ}. Il ne reste donc plus qu’à montrer les conditions (ii) et (iii). Pour ce qui est de (ii), on sait que les fonctions [θ_{j}(t)p_{j}(t) − 1]t^{α}θ(t)^{β} sont identiquement nulles. Il en est, donc, de même pour leurs intégrales quels que soient α et β multi-indices positifs :

(1.2.29)  ∫_{ℝ^{n}}[θ_{j}(t)p_{j}(t) − 1]t^{α}θ(t)^{β}dμ(t) = 0.

Ceci se traduit directement par l’égalité suivante :

(1.2.30)  ∑_{K∈ℤ_{+}^{n}} a_{j,K} ∫_{ℝ^{n}} t^{α+K}θ(t)^{β+e_{j}}dμ(t) = ∫_{ℝ^{n}} t^{α}θ(t)^{β}dμ(t).

En conclusion, nous obtenons que la relation suivante est vérifiée :

(1.2.31)  ∑_{K∈ℤ_{+}^{n}} a_{j,K} γ̃_{α+K,β+e_{j}} = γ̃_{α,β}, ∀α ∈ ℤ_{+}^{n}, β ∈ ℤ_{+}^{m} ; j = 1, ⋯, n.

Pour la dernière propriété à vérifier, on utilise le fait que l’on contrôle le support de la mesure. En effet, puisque le support de la mesure positive est inclus dans l’ensemble ∩_{(j,l)∈{1,···,m}×L_{j}}r_{j,l}^{−1}(ℝ^{+}), les formes associées aux suites (∑_{K∈ℤ_{+}^{n}} r_{j,l,K} γ̃_{α+K,β})_{α∈ℤ_{+}^{n},β∈ℤ_{+}^{m}} sont également semi-définies positives pour tout couple (j, l) ∈ {1, ⋯, m} × L_{j}. Cela revient à prouver que L_{j,l}(qq̄) ≥ 0 où L_{j,l} est la forme linéaire associée à la multi-suite (∑_{K∈ℤ_{+}^{n}} r_{j,l,K} γ̃_{α+K,β})_{α∈ℤ_{+}^{n},β∈ℤ_{+}^{m}}. Or, avec les mêmes notations que précédemment, on a pour tout polynôme q de ℝ_{n+m}[t, s] :

(1.2.32) \begin{aligned}L_{j,l}(qq̄) & = L_{j,l}(∑_{α,β} b_{α,β}t^{α}s^{β} ∑_{α,β} b̄_{α,β}t^{α}s^{β}) = ∑_{α,β,δ,ε} b_{α,β} b̄_{δ,ε} L_{j,l}(t^{α+δ}s^{β+ε}) \\ & = ∑_{α,β,δ,ε} b_{α,β} b̄_{δ,ε} ∫_{ℝ^{n}} ∑_{K∈ℤ_{+}^{n}} r_{j,l,K} t^{α+δ+K} θ(t)^{β+ε}dμ(t) \\ & = ∫_{ℝ^{n}} ∑_{K∈ℤ_{+}^{n}} r_{j,l,K} t^{K} ∑_{α,β,δ,ε} b_{α,β} b̄_{δ,ε} t^{α+δ}θ(t)^{β+ε} \\ & = ∫_{ℝ^{n}} r_{j,l}(t) |r(t, θ(t))|^{2}dμ(t) ≥ 0. \end{aligned}

Ceci entraîne la première implication de notre corollaire.

Pour l’implication inverse, on suppose maintenant qu’il existe une multi-suite γ̃ = (γ̃_{α,β})_{α∈ℤ_{+}^{n},β∈ℤ_{+}^{m}} qui vérifie les conditions (i), (ii), (iii) et qui est semi-définie positive sur R_{θ}. On définit alors une forme linéaire λ sur R_{θ}, qui à un élément r ∈ R_{θ} associe Lγ̃(q), où r et q (q ∈ ℝ_{n+m}[t, s]) sont reliés par la relation q(t, θ(t)) = r(t). Par le lemme 1.2.1, on sait qu’il existe un isomorphisme :

(1.2.33)  R_{θ} ⋍ ℝ_{n+m}[t, s]/I_{ω}.

Commençons par vérifier que la forme linéaire λ est bien définie. Si q_{1} et q_{2} sont deux éléments de ℝ_{n+m}[t, s] qui satisfont à l’égalité :

(1.2.34)  r(t) = q_{1}(t, θ(t)) = q_{2}(t, θ(t)),

alors q_{1} − q_{2} est dans l’idéal I_{ω}. Or par le lemme 1.2.1, on connaît des générateurs de cet idéal : si f est dans I_{ω} on peut écrire Lγ̃(f) = ∑_{j=1}^{m} Lγ̃(f_{j}ω_{j}), où les (f_{j})_{j} sont des polynômes de ℝ_{n+m}[t, s]. De plus, on peut calculer la valeur de Lγ̃(f_{j}ω_{j}) pour tout j = 1, ⋯, m : (1.2.35)

Lγ̃(f_{j}ω_{j}) = Lγ̃[f_{j}(t, s)s_{j}p_{j}(t) − f_{j}(t, s)] = −Lγ̃(f_{j}) + ∑_{K∈ℤ_{+}^{n}} a_{j,K}Lγ̃[f_{j}(t, s)s_{j}t^{K}]

= ∑_{K∈ℤ_{+}^{n}} a_{j,K}Lγ̃( ∑_{h=(h′,h′′)≥0} c_{h}t^{h′+K}s^{h′′+e_{j}}) − Lγ̃( ∑_{h=(h′,h′′)≥0} c_{h}t^{h′}s^{h′′})

= ∑_{h=(h′,h′′)≥0} c_{h}[ ∑_{K∈ℤ_{+}^{n}} a_{j,K}γ̃_{h′+K,h′′+e_{j}} − γ̃_{h′,h′′}] = 0,

où bien évidemment, f_{j} = ∑_{h=(h′,h′′)≥0} c_{h}t^{h′}s^{h′′}. On obtient donc que la forme Lγ̃ est nulle sur l’idéal I_{ω}. Ceci nous permet d’affirmer que la forme linéaire λ est bien définie. A partir de cette forme, on en définit une seconde L1 ; γ̃ par la relation suivante :

L1 ; γ̃ \{ \begin{matrix}ℝ_{n+m}[t, s]/I_{ω} & → & ℂ \\ r + I_{ω} & ↦ & Lγ̃(r), \end{matrix}

En utilisant l’isomorphisme (1.2.33), on obtient le diagramme suivant :

[figure: R_{θ}; ℂ; ℝ_{n+m}[t, s]/I_{ω}; isomorphisme; L1 ; γ̃; λ; ⟳]

On peut donc identifier λ et L1 ; γ̃. Ceci implique que λ est une forme linéaire semi-définie positive puisque L1 ; γ̃ l’est.

De plus, la condition (iii) implique que les formes de l’énoncé du théorème 1.2.5 sont bien semi-définies positives aussi. On applique donc le théorème 1.2.5.

Reste à prouver l’équivalence entre l’unicité du prolongement et celui de la mesure de représentation. Supposons que γ̃ soit l’unique prolongement de la multi-suite γ. On suppose, de plus, que l’on ait deux mesures positives μ′ et μ′′ de représentation, alors on obtiendrait les égalités :

(1.2.36)  γ̃_{α,β} = ∫ t^{α}θ(t)^{β}dμ′(t) = ∫ t^{α}θ(t)^{β}dμ′′(t).

Ceci entraîne bien évidemment :

(1.2.37)  ∫ p(t)dμ′(t) = ∫ p(t)dμ′′(t), ∀p ∈ R_{θ}.

Mais comme nous l’a déjà remarqué dans le théorème 1.2.5, R_{θ} est dense dans L^{2}(μ′) et L^{2}(μ′′). Ceci entraîne l’égalité entre les deux mesures.

Inversement, supposons que γ n’admette qu’une seule mesure de représentation. On suppose qu’il existe un second prolongement (δ_{α,β})_{α,β} de la multi-suite γ. Alors, par la première partie de la démonstration de ce corollaire, il existerait deux mesures positives telles que l’on ait :

(1.2.38)  δ_{α,β} = ∫ t^{α}θ̂(t)^{β}dμ′(t) et γ̃_{α,β} = ∫ t^{α}θ̂(t)^{β}dμ′′(t).

Comme il a été supposé que la mesure de représentation de γ était unique, on a forcément μ′ = μ′′. Ceci nous donne directement δ_{α,β} = γ̃_{α,β} pour tout couple (α, β) dans ℤ_{+}^{n} × ℤ_{+}^{m}. On obtient donc bien l’unicité du prolongement de la multi-suite γ.

1.2.7 Remarques : (1) Si l’on fait m = n et si l’on pose p_{j}(t) = 1 + t_{j}^{2} pour tout j ∈ {1, ⋯, n}, on retrouve le théorème 2.3 de [Vas3]. Ceci nous permet de répondre au problème des moments de Hamburger et de Stieltjes en plusieurs variables.

(2) Et si on se place dans le cas m = 1 et p_{1}(t) = 1+t_{1}^{2}+⋯+t_{n}^{2}+q_{1}^{2}(t)+⋯+q_{m}^{2}(t), on obtient le théorème 2.5 de [Pu-Vas2].

(3) On peut donner un cas particulier plus compréhensible (avec des indexations moins lourdes !) au corollaire 1.2.6. Supposons que (A_{1}, ⋯, A_{m}) soit une partition de {1, ⋯, n}. On notera par B_{A_{1},···,A_{m}} l’algèbre engendrée par les éléments de la forme :

t^{α} ∏_{l=1}^{m}(1 + ∑_{j∈A_{l}} t_{j}^{2})^{−κ_{l}}; α ∈ ℤ_{+}^{n}, κ ∈ ℤ_{+}^{m}.

Alors le corollaire précédent se traduit par : Soient A_{1}, ⋯, A_{m} une partition de {1, ⋯, n}. Soit (x_{α})_{α≥0} une multi-suite. Alors, (x_{α})_{α≥0} est une multi-suite de moments sur ℝ^{n} si et seulement si il existe une (m+n)- suite (x̃_{α,κ})_{α∈ℤ_{+}^{n},κ∈ℤ_{+}^{m}} qui vérifie les deux propriétés suivantes :

\begin{matrix}(i) & x̃_{α,0} = x_{α}, α ∈ ℤ_{+}^{n}, \\ (ii) & x̃_{α,κ} = x̃_{α,κ+e_{l}} + ∑_{j∈A_{l}} x̃_{α+2e_{j},κ+e_{l}}, α ∈ ℤ_{+}^{n}, κ ∈ ℤ_{+}^{m}, l = 1, ⋯, m, \end{matrix}

et telle que la forme associée à (x̃_{α,κ})_{α∈ℤ_{+}^{n},κ∈ℤ_{+}^{m}} soit semi-définie positive sur l’algèbre B_{A_{1},···,A_{k}}. En particulier, pour l’étude de la sous-normalité, c’est cette version dont on aura besion car on travaillera sur une algèbre de fractions en 2m variables avec des dénominateurs de la forme 1 + x_{j}^{2} + y_{j}^{2} = 1 + ||z_{j}||^{2} pour tout j ∈ {1, ⋯, n}.

Dans tout ce qui précède, nous nous sommes occupé du problème classique des moments multi-dimensionnel, c’est-à-dire du problème scalaire. Dans la suite de cette section, nous nous intéresserons au problème opératoriel (voir [Vas2] pour le cas borné et [Vas4] pour le cas non borné, voir également [Fr2]).

Soit H un espace de Hilbert séparable. Soit D un sous-espace dense de H. On fixe, comme dans le théorème précédent 1.2.5, un m-uplet de polynômes (p_{1}, ⋯, p_{m}) de S^{2} ⊂ ℝ_{n}[X]. Alors, on peut donner l’énoncé d’un théorème des moments pour des formes hermitiennes définies sur cet espace vectoriel D. Nous obtenons ainsi un résultat généralisant les théorèmes 2.4 et 2.9 de [Vas4]. Mais avant cela, on rappellera quelques définitions.

1.2.8 Définitions : Soit M un espace de fonctions définies dans ℝ^{n} inclus dans les fonctions mesurables. On dit que F : Bor(ℝ^{n}) → L(H) est une mesure opératorielle positive si F est une fonction fortement additive dont les valeurs sont des opérateurs positifs et si F (ℝ^{n}) est l’identité sur H, notée I_{H}. Soit Λ une forme hermitienne définie sur M⊗D. Alors F est une mesure de représentation de Λ si on a f ∈ L^{2}(F_{x,x}) pour tout f ∈ M et pour tout x ∈ D et si :

(1.2.39)  Λ(X, Y) = ∑_{j,k} ∫ f_{j}g_{k}dF_{x_{j},y_{k}},

ceci pour tout couple (X, Y) ∈ M ⊗ D de la forme ∑_{j} f_{j} ⊗ x_{j} et ∑_{k} g_{k} ⊗ y_{k} respectivement. Dans ce cas, la forme Λ sera appelée forme de moments.

Supposons que l’espace M admette une base algébrique B = (b_{α})_{α∈ℤ_{+}^{n}} (b_{0} = 1). Soit L = (L_{α,β})_{α,β∈ℤ_{+}^{n}} une 2n-suite de formes sesquilinéaires définies sur D (où L_{0,0} est la restriction du produit scalaire de H à D × D) vérifiant :

(1.2.40)  L_{α,β}(x, y) = \overline{L_{β,α}(y, x)}.

Alors on peut associer à la multi-suite L une forme hermitienne Λ_{L,B} sur M⊗D définie par : pour tout (X, Y) ∈ M ⊗ D de la forme ∑_{j} b_{j} ⊗ x_{j} et ∑_{k} b_{k} ⊗ y_{k} respectivement,

Λ_{L,B}(X, Y) = ∑_{α,β} L_{α,β}(x_{α}, y_{β}).

On peut remarquer qu’une telle forme est nécessairement unitale, c’est à dire que l’on a l’égalité suivante :

(1.2.41)  Λ_{L,B}(1 ⊗ x, 1 ⊗ x) = L_{0,0}(x, x) = ⟨x, x⟩ = ||x||^{2}.

Cela permet de définir une isométrie de D sur 1 ⊗ D qui se prolonge par continuité à H tout entier. Enfin, si M′ est une sous-algèbre de l’algèbre de fonctions M telle que M soit un M′-module (par rapport aux opérations classiques), M ⊗ D est également un M′-module. Soit λ une forme sesquilinéaire sur M ⊗ D, on dira que λ est M′- symétrique si l’égalité suivante est vérifiée :

(1.2.42)  λ(g.X, Y) = λ(X, \overline{g}.Y), ∀X, Y ∈ M ⊗ D, ∀g ∈ M′.

1.2.9 Définitions : On dira que la multi-suite L est de type positif par rapport à la base B si la forme hermitienne associée Λ_{L,B} est semi-définie positive.

Maintenant que l’on a rappelé ces quelques définitions, on peut donner une généralisation des théorèmes 2.2 et 2.8 de [Vas4] qui correspond à la � traduction � en termes de problème de moments opératoriels du théorème 1.2.5. Pour ce faire, nous utiliserons toujours les notations définies précédemment.

1.2.10 Théorème : Soit (p_{1}, ⋯, p_{m}) un m-uplet de polynômes de S^{2} ⊂ ℝ_{n}[X] sans aucun zéro dans ℝ^{n} de la forme :

p_{j}(t) = 1 + ∑_{k∈I_{j}} t_{k}^{2} + ∑_{l∈L_{j}} r_{j,l}(t)^{2},

où les ensembles (I_{j})_{j=1,···,m} vérifient la condition (1.2.7) et où les (r_{j,l})_{j,l} sont des polynômes.

Soit ϕ une forme hermitienne positive semi-définie sur R_{θ}⊗D qui est unitale et R_{θ}- symétrique. Alors, ϕ est une forme de moments ayant une unique mesure opératorielle de représentation.

Si, de plus, les formes sequilinéaires {ϕ(r_{j,l}∗, ∗)}_{(j,l)∈C} (C ⊂ {(j, l) / l ∈ L_{j}, j = 1, ⋯, m}) vérifient ϕ(r_{j,l}X, X) ≥ 0 pour tout X ∈ R_{θ}⊗D, la mesure de représentation a son support inclus dans ∩_{(j,l)∈C} r_{j,l}^{−1}(ℝ^{+}).

Démonstration. On suit la démonstration du théorème 1.2.5. On définit l’ensemble N_{ϕ} = {X ∈ R_{θ} ⊗ D / ϕ(X, X) = 0}. Puis, on complète le quotient R_{θ}⊗D/N_{ϕ} pour obtenir un espace de Hilbert H_{ϕ}. On définit alors les opérateurs (A_{j,l})_{j,l} et (T_{k})_{k} dans H_{ϕ} en posant D(A_{j,l}) = D(T_{k}) = R_{θ}⊗D/N_{ϕ} et où chaque A_{j,l} et T_{k} correspondent à la multiplication par les polynômes r_{j,l} et t_{k} respectivement. Leur domaine commun R_{θ}⊗D/N_{ϕ} est donc un sous-espace dense dans H_{ϕ}, par construction, et on a : (1.2.43)

\{ \begin{matrix}A_{j,l}(X + N_{ϕ}) = r_{j,l}X + N_{ϕ}, X ∈ R_{θ} ⊗ D, ∀(j, l) ∈ \{1, ⋯, m\} × L_{j}. \\ T_{k}(X + N_{ϕ}) = t_{k}X + N_{ϕ}, X ∈ R_{θ} ⊗ D, ∀k ∈ I_{1} ∪ ⋯ ∪ I_{m}. \end{matrix}

De plus, les opérateurs (A_{j,l}, T_{k})_{j,k,l} forment une famille commutative d’opérateurs symétriques du fait que les variables utilisées sont réelles. De la même manière, les opérateurs (U_{j})_{j=1,···,m}, définis par ∑_{k∈I_{j}} T_{k}^{2} + ∑_{l∈L_{j}} A_{j,l}^{2} sur l’espace R_{θ} ⊗ D/N_{ϕ}, sont positifs à domaines denses. On peut observer que chaque U_{j} (j = 1, ⋯, m) est bijectif sur D(U_{j}) = R_{θ} ⊗ D/N_{ϕ} (vu la stabilité de ce dernier par des multiplications polynômiales). En effet, pour tout élément X de R_{θ} ⊗ D, on obtient :

(1.2.44) \begin{matrix}⟨U_{j}(X + N_{ϕ}), X + N_{ϕ}⟩_{H_{ϕ}} = & ∑_{k∈I_{j}} ϕ(t_{k}^{2}.X, X) + ∑_{l∈L_{j}} ϕ(r_{j,l}^{2}.X, X) \\ = & ∑_{k∈I_{j}} ϕ(t_{k}.X, t_{k}.X) + ∑_{l∈L_{j}} ϕ(r_{j,l}.X, r_{j,l}.X) ≥ 0, \end{matrix}

puisque ϕ est R_{θ}-symétrique. De plus, pour tout X ∈ R_{θ} ⊗ D, il existe un élément X′ = θ_{j}(t).X de R_{θ} ⊗ D tel que l’on ait :

(1.2.45)  [I + U_{j}](X′) = [1 + ∑_{k∈I_{j}} t_{k}^{2} + ∑_{l∈L_{j}} r_{j,l}^{2}].X′ = p_{j}θ_{j}.X = X.

Puis, on utilise la même astuce que dans le théorème 1.2.5. Comme chaque I + U_{j} est un opérateur positif et bijectif à domaine dense et que ce domaine est invariant par U_{j}, ceci implique que les opérateurs [I + U_{i}][I + U_{j}] − I sont essentiellement autoadjoints (pour tout couple (i, j) ∈ {1, ⋯, m}^{2}). En appliquant maintenant le lemme 1.2.4 à chacun de ces opérateurs, nous en déduisons que les opérateurs A_{j,l} et T_{k} sont de fermetures canoniques \overline{A_{j,l}} et \overline{T_{k}} auto-adjointes et que ces fermetures commutent pour tout j = 1, ⋯, m, pour tout l ∈ L_{j} et pour tout k ∈ I_{1} ∪ ⋯ ∪ I_{m}. De plus, par la condition (1.2.7), les monômes t_{1}, ⋯, t_{n} sont dans l’ensemble {t_{k} / k ∈ I_{1}∪⋯∪I_{m}}. Soit E la mesure spectrale jointe de la famille commutative d’opérateurs auto-adjoints associée à ces polynômes. Puisque ϕ est unitale, H peut être vu comme un sous-espace fermé de H_{ϕ} : en effet, on a :

∀x ∈ D, ϕ(1 ⊗ x, 1 ⊗ x) = ||x||^{2}.

Donc l’application suivante :

\{ \begin{matrix}D & → & H_{ϕ} \\ x & ↦ & 1 ⊗ x \end{matrix}

est une isométrie que l’on peut prolonger par continuité à H tout entier. Soit P_{H} la projection orthogonale de H_{ϕ} sur H (voir (1.2.41)). On pose alors :

(1.2.46)  F (∗) = P_{H}E(∗)|_{H}.

Soit r ∈ R_{θ} et soit X ∈ R_{θ} ⊗ D, on définit l’opérateur R par R(X + N_{ϕ}) = rX + N_{ϕ}. Si r(\overline{T_{1}}, ⋯, \overline{T_{n}}) est donné par le calcul fonctionnel de la famille commutative des opérateurs auto-adjoints \overline{T_{1}}, ⋯, \overline{T_{n}}, nous avons R ⊂ r(\overline{T_{1}}, ⋯, \overline{T_{n}}) (comme dans le théorème 1.2.5). En utilisant l’isométrie déjà citée, pour tout couple (x, r) ∈ D × R_{θ}, on obtient : (1.2.47)

ϕ(r ⊗ x, r ⊗ x) = ⟨R(1 ⊗ x), R(1 ⊗ x)⟩_{H_{ϕ}} ≈ ⟨Rx, Rx⟩_{H_{ϕ}}
= ⟨r(\overline{T_{1}}, ⋯, \overline{T_{n}})x, r(\overline{T_{1}}, ⋯, \overline{T_{n}})x⟩_{H_{ϕ}} = ∫_{ℝ^{n}} |r(t_{1}, ⋯, t_{n})|^{2}dF_{x,x}(t)

= ∫_{ℝ^{n}} r(t)^{2}dF_{x,x}(t).

Maintenant, supposons que X = ∑_{m} h_{m} ⊗ x_{m} et Y = ∑_{k} g_{k} ⊗ y_{k} soient dans R_{θ} ⊗ D. Dans ces conditions, avec les mêmes notations que précédemment, on obtient (si l’on note par (H_{m})_{m} et (G_{k})_{k} les opérateurs multiplications par les fractions (h_{m})_{m} et (g_{k})_{k} respectivement sur R_{θ} ⊗ D) :

\begin{aligned}ϕ(X, Y) & = ∑_{k,m} ϕ(h_{m} ⊗ x_{m}, g_{k} ⊗ y_{k}) ≈ ∑_{k,m} ϕ(H_{m}x_{m}, G_{k}y_{k}) \\ & = ∑_{k,m} ϕ(h_{m}(t)x_{m}, g_{k}(t)y_{k}) = ∑_{k,m} ∫_{ℝ^{n}} h_{m}(t)\overline{g_{k}(t)}dF_{x_{j},y_{k}}(t). \end{aligned}

Ceci prouve bien que F est une mesure de représentation de ϕ.

Pour l’unicité de la mesure de représentation, si F^{(1)} et F^{(2)} sont deux mesures de représentation de ϕ, pour tout r ∈ R_{θ} et pour tout x ∈ D, on a :

(1.2.48)  ϕ_{x}(r) = ϕ(r ⊗ x, 1 ⊗ x) = ∫ r(t)dF_{x,x}^{(j)}(t),  j = 1, 2.

Or ϕ_{x} est une forme linéaire positive qui vérifie les hypothèses du théorème 1.2.5. Donc, les mesures scalaires F_{x,x}^{(1)} et F_{x,x}^{(2)} sont égales. Ceci est vrai pour tout x ∈ D, donc par densité nous avons F^{(1)} = F^{(2)}. Soit (j, l) ∈ {1, ⋯, m} × L_{j}, ϕ(r_{j,l}X, X) ≥ 0 pour tout X ∈ R_{θ} ⊗ D. Ceci implique que les opérateurs auto-adjoints (\overline{A_{j,l}})_{j,l} sont positifs et donc la mesure spectrale est incluse dans r_{j,l}^{−1}(ℝ^{+}). Par conséquent, le support de la mesure de représentation est dans l’ensemble ∩_{{(j,l) / l∈L_{j}, j=1,···,m}} r_{j,l}^{−1}(ℝ^{+}).

1.2.11 Théorème : Soit (p_{1}, ⋯, p_{m}) un m-uplet de polynômes avec les mêmes propriétés que dans le théorème 1.2.5. Soit ϕ = (ϕ_{α})_{α∈ℤ_{+}^{n}} une suite de formes hermitiennes sur D × D telle que ϕ_{0} soit la restriction du produit scalaire sur H à D × D. Alors ϕ est une suite de moments si et seulement si il existe une suite ϕ̃ = (ϕ̃_{α,β})_{α∈ℤ_{+}^{n},β∈ℤ_{+}^{m}} de formes hermitiennes de type positif vérifiant :

\begin{matrix}(i) & ϕ̃_{α,0} = ϕ_{α}, ∀α ∈ ℤ_{+}^{n}. \\ (ii) & ∑_{K∈ℤ_{+}^{n}} a_{j,K} ϕ̃_{α+K,β+e_{j}} = ϕ̃_{α,β}, ∀α ∈ ℤ_{+}^{n}, ∀β ∈ ℤ_{+}^{m} ; j = 1, ⋯, n. \end{matrix}

De plus, la suite ϕ admet une mesure de représentation unique sur ℝ^{n} si et seulement si la suite ϕ̃ est unique.

Enfin, avec les notations (1.2.25), si les suites (∑_{ℤ_{+}^{n}} r_{j,l,K} γ̃_{α+K,β})_{α∈ℤ_{+}^{n},β∈ℤ_{+}^{m}} sont semi-définies positives pour tout couple (j, l) tel que l ∈ L_{j}, j = 1, ⋯, m, le support de cette mesure est inclus dans ∩_{{(j,l) / l∈L_{j}, j=1,···,m}} r_{j,l}^{−1}(ℝ^{+}).

Démonstration. Commençons par supposer que la n-suite de formes hermitiennes ϕ = (ϕ_{α})_{α∈ℤ_{+}^{n}} admette une mesure de représentation F. Si on prend x ∈ D et r ∈ R_{θ}, on a r ∈ L^{2}(F_{x,x}), on peut donc définir :

(1.2.49) ϕ̃_{α,β}(x, y) = ∫ t^{α}θ(t)^{β}dF_{x,y}(t), ∀α ∈ ℤ_{+}^{n}, ∀β ∈ ℤ_{+}^{m}, ∀(x, y) ∈ D^{2}.

On définit la fonction g de ℝ^{n} dans ℝ^{n+m} par g(t) = (t, θ(t)) ∈ ℝ^{n+m}, alors on a l’égalité suivante :

(1.2.50)  ϕ̃_{α,β}(x, y) = ∫ g(t)^{(α,β)}dF_{x,y}(t), ∀α ∈ ℤ_{+}^{n}, β ∈ ℤ_{+}^{m}, x, y ∈ D.

Et nous obtenons que F (g^{−1}(∗)) est une mesure de représentation pour la multi-suite (ϕ̃_{α,β})_{α∈ℤ_{+}^{n},β∈ℤ_{+}^{m}}. Par le lemme 1.4 de [Vas4], la multi-suite de formes ϕ̃ est de type positif. De plus, ϕ̃ vérifie bien la condition (i). Et comme on a la fonction [θ_{j}(t)p_{j}(t) − 1]t^{α}θ^{β}(t) qui est nulle pour tout couple (α, β) dans ℤ_{+}^{n} × ℤ_{+}^{m}, l’intégrale suivante devient :

∫_{ℝ^{n}}[θ_{j}(t)p_{j}(t) − 1]t^{α}θ^{β}(t)dF_{x,y}(t) = 0, ∀(x, y) ∈ D^{2}.

Ceci se traduit par l’égalité :

∑_{K∈ℤ_{+}^{n}} a_{j,K} ∫_{ℝ^{n}} t^{α+K}θ^{β+e_{j}}(t)dF_{x,y}(t) = ∫_{ℝ^{n}} t^{α}θ^{β}(t)dF_{x,y}(t), ∀α ∈ ℤ_{+}^{n}, ∀β ∈ ℤ_{+}^{m},

ceci pour tout entier j = 1, ⋯, n. Et donc, cela nous donne pour la famille de formes hermitiennes :

(1.2.51)  ∑_{K∈ℤ_{+}^{n}} a_{j,K} ϕ̃_{α+K,β+e_{j}} = ϕ̃_{α,β}, ∀α ∈ ℤ_{+}^{n}, β ∈ ℤ_{+}^{m}; j = 1, ⋯, n.

Inversement, supposons qu’une multi-suite ϕ̃ = (ϕ̃_{α,β})_{α∈ℤ_{+}^{n},β∈ℤ_{+}^{m}} existe. A partir de cette (n+m)−suite, on définit une forme hermitienne λ positive sur R_{θ} ⊗D en posant :

(1.2.52)  λ(r_{1} ⊗ x_{1}, r_{2} ⊗ x_{2}) = λϕ̃(q_{1} ⊗ x_{1}, q_{2} ⊗ x_{2}),

où r_{1} et r_{2} appartiennent à R_{θ}, où le couple (x_{1}, x_{2}) est dans D^{2} et où on a (pour i = 1, 2) q_{i} ∈ ℝ_{n+m}[t, s] tel que r_{i}(t) = q_{i}(t, θ(t)).

On rappelle la définition de λϕ̃ : ℝ_{n+m}[t, s] admet une base algébrique (e_{α,β})_{α,β}, on définit alors pour X = ∑_{α,β} e_{α,β} ⊗ x_{α,β} et Y = ∑_{δ,ε} e_{δ,ε} ⊗ y_{δ,ε} dans ℝ_{n+m}[t, s] ⊗ D :

(1.2.53)  λϕ̃(X, Y) = ∑_{α,β,δ,ε} ϕ̃_{α+δ,β+ε}(x_{α,β}, y_{δ,ε}).

Il faut vérifier que la forme λ est bien définie. Pour ce faire, on utilise le lemme 1.2.1 et on fait les mêmes démarches que dans le théorème 1.2.5 pour montrer que λ|_{I_{ω}⊗D} = 0. La positivité de λ provient de celle de ϕ̃. On a donc construit une forme hermitienne de type positif sur R_{θ} ⊗ D. Or par le théorème 1.2.10, on sait qu’une telle forme hermitienne sur R_{θ} ⊗ D qui est en plus unitale et R_{θ}-symétrique est une forme de moments (c’est une méthode où l’on définit des opérateurs auto-adjoints). Pour montrer que λ est bien unitale, on prend x ∈ D, et on a :

λ(1 ⊗ x, 1 ⊗ x) = ϕ̃_{0,0}(x, x) = ϕ_{0}(x, x) = ||x||^{2}.

Donc λ est bien unitale. Montrons maintenant que λ est R_{θ}-symétrique. Soient X et Y dans R_{θ} ⊗D et soit p un élément de R_{θ} (grâce à la linéarité, on peut toujours supposer que p(t) = t^{a}θ^{b}(t), a ∈ ℤ_{+}^{n} et b ∈ ℤ_{+}^{m}), alors les égalités suivantes sont vérifiées :

(1.2.54)  \begin{aligned}λ(p.X, Y) & = λϕ̃(∑_{α,β} t^{a}s^{b}.e_{α,β} ⊗ x_{α,β}, ∑_{δ,ε} e_{δ,ε} ⊗ y_{δ,ε}) \\ & = ∑_{α,β,δ,ε} ϕ̃_{α+a+δ,β+b+ε}(x_{α,β}, y_{δ,ε}) \\ & = λϕ̃(∑_{α,β} e_{α,β} ⊗ x_{α,β}, ∑_{δ,ε} e_{δ+a,ε+b} ⊗ y_{δ,ε}) \\ & = λϕ̃(∑_{α,β} e_{α,β} ⊗ x_{α,β}, ∑_{δ,ε} t^{a}s^{b}.e_{δ,ε} ⊗ y_{δ,ε}) = λ(X, p.Y). \end{aligned}

Donc λ est également R_{θ}-symétrique. Ceci nous permet donc d’affirmer qu’il existe une mesure de représentation F pour λ. Alors, pour tout couple (x, y) dans D^{2} et pour tout α ∈ ℤ_{+}^{n}, on a :

ϕ_{α}(x, y) = ϕ̃_{α,0}(x, y) = λϕ̃(t^{α} ⊗ x, 1 ⊗ y) = ∫ t^{α}dF_{x,y}(t).

Pour la dernière partie de la démonstration, supposons que F^{(1)} et F^{(2)} soient deux mesures de représentation de ϕ, si on a unicité du prolongement, alors pour tout couple (x, y) ∈ D × D on a :

(1.2.55)  ∫ t^{α}θ^{β}(t)dF_{x,y}^{(1)}(t) = ∫ t^{α}θ^{β}(t)dF_{x,y}^{(2)}(t).

Donc cette égalité est également vraie pour tout r ∈ R_{θ}. Ceci implique que F^{(1)} = F^{(2)} (voir théorème 1.2.10). Supposons maintenant que ϕ admette une unique mesure de représentation F. Alors forcément tout prolongement de ϕ sera de la forme

∫_{ℝ^{n}} t^{α}θ^{β}(t)dF_{x,y}(t),

pour tout (x, y) ∈ D × D, d’où l’unicité du prolongement.

Comme conséquences directes de ce théorème 1.2.11, nous obtenons les théorèmes 2.4 et 2.9 de [Vas4] (voir remarque 1.2.6). De plus, comme corollaire de ce théorème, on peut donner une caractérisation pour qu’une multi-suite d’opérateurs auto-adjoints admette une représentation intégrale.

1.2.12 Corollaire : Soit A = (A_{α})_{α∈ℤ_{+}^{n}} (A_{0} = Id_{D}) une n-suite d’opérateurs autoadjoints définis sur l’espace D. Soit (p_{1}, ⋯, p_{m}) un m-uplet de polynômes avec les mêmes propriétés que dans le théorème 1.2.5. La n-suite A est une multi-suite de moments opératoriels, avec une mesure positive opératorielle à support dans ∩_{(j,l)∈C} r_{j,l}^{−1}(ℝ^{+}), (C = {1, ⋯, m} × L_{j}) si et seulement si il existe une (n + m)-suite, d’opérateurs sur D, Ã = (Ã_{α,β})_{α∈ℤ_{+}^{n},β∈ℤ_{+}^{m}} de type défini positif sur D vérifiant les trois conditions suivantes :

(i) Ã_{α,0} = A_{α}, ∀α ∈ ℤ_{+}^{n}.
(ii) ∑_{K∈ℤ_{+}^{n}} a_{j,K} Ã_{α+K,β+e_{j}} = Ã_{α,β}, ∀α ∈ ℤ_{+}^{n}, β ∈ ℤ_{+}^{m}; j = 1, ⋯, n.

(iii) en utilisant les notations (1.2.25), les suites (∑_{K∈ℤ_{+}^{n}} r_{j,l,K} Ã_{α+K,β})_{α∈ℤ_{+}^{n},β∈ℤ_{+}^{m}}

sont semi-définies positives, pour tout couple(j, l) ∈ C.

De plus cette mesure est unique si et seulement si il n’existe qu’une seule extension de A = (A_{α})_{α∈ℤ_{+}^{n}}.

Démonstration. On pose, pour tout couple (x, y) ∈ D × D :

(1.2.56)  ϕ_{α}(x, y) = ⟨A_{α}x, y⟩.

Puisque les opérateurs (A_{α})_{α} sont auto-adjoints, les formes linéaires ϕ_{α} sont hermitiennes et le fait que A_{0} soit l’identité restreinte à D, implique que ϕ_{0} est bien la restriction du produit scalaire de H à D × D. Les hypothèses (i), (ii) et (iii) de ce corollaire 1.2.12 impliquent celles du théorème 1.2.11. De manière classique, on peut associer à toute forme hermitienne ϕ̃_{α,β} un opérateur auto-adjoint Ã_{α,β} en posant :

(1.2.57)  ∀(x, y) ∈ D × D, ϕ̃_{α,β}(x, y) = ⟨Ã_{α,β}x, y⟩.

Donc la famille A admet un prolongement (Ã_{α,β})_{α,β} si et seulement si la multi-suite des formes hermitiennes (ϕ_{α})_{α} sur D × D est une multi-suite de moments. Mais dans ce cas, pour tout couple (x, y) ∈ D × D, on obtient :

(1.2.58)  ⟨Ã_{α,0}x, y⟩ = ϕ̃_{α,0}(x, y) = ∫ t^{α}dF_{x,y}(t).

Et finalement, on obtient la représentation intégrale suivante, pour tout multi-indice positif α :

(1.2.59)  A_{α} = ∫ t^{α}dF (t),

où F est une mesure positive opératorielle.

Pour l’unicité de la mesure de représentation F et pour le lieu de son support, cela provient directement des propriétés de l’extension des formes linéaires (ϕ_{α})_{α}. En effet, l’unicité de l’extension de la famille d’opérateurs auto-adjoints (A_{α})_{α} implique l’unicité de la famille de formes hermitiennes (ϕ̃_{α,β})_{α,β} qui prolonge (ϕ_{α})_{α} (et vice-versa).

1.2.13 Remarques :

(1) Ce dernier corollaire 1.2.12 est à rapprocher du corollaire 2.10 de [Vas4], où un cas particulier de fractions rationnelles est étudié.

(2) Ce dernier résultat nous permet également de donner une solution au problème opératoriel de Hamburger et Stieltjes dans le cas de plusieurs variables.

(3) Ce sera ce type de méthodes que l’on va utiliser pour donner, dans le troisième chapitre, deux critères de sous-normalité jointe pour des familles d’opérateurs non nécessairement bornés ayant un sous-espace dense stable par chacun des � opérateurs coordonnées � (voir le théorème 3.3.2 et le corollaire 3.3.4).

Appendice : Remarques sur la détermination de suites doublement infinies

Soient μ_{1} et μ_{2} deux mesures admettant des moments à tous les ordres, on dira que μ_{1} est équivalente à μ_{2}, (et on notera μ_{1} ∼ μ_{2}) si pour tout multi-indice α ≥ 0 on a :

∫_{ℝ^{n}} t^{α}dμ_{1}(t) = ∫_{ℝ^{n}} t^{α}dμ_{2}(t).

De plus dans toute cette section, lorsque l’on parlera de multi-suites doubles, on supposera toujours qu’elles vérifient la condition (∗) définie par :

(∗)  x_{α,β} = x_{α+2e_{j},β+e_{j}} + x_{α,β+e_{j}}, pour tout j ∈ {1, ⋯, n}.

1.A.1 Définition : Soient μ_{1} et μ_{2} deux mesures admettant des moments à tous les ordres. Soit δ = (δ_{1}, ⋯, δ_{n}) avec δ_{j} ∈ ℤ_{+} ∪ {∞} (j = 1, ⋯, n) ; on dira que μ_{1} est δ-équivalente à μ_{2}, (et on notera μ_{1} ∼_{δ} μ_{2}) si pour tout α ≥ 0 et pour tout β vérifiant δ ≥ β ≥ 0 on a :

(1.A.1)  ∫_{ℝ^{n}} t^{α}θ(t)^{β}dμ_{1}(t) = ∫_{ℝ^{n}} t^{α}θ(t)^{β}dμ_{2}(t).

1.A.2 Remarques :

(1) Pour tout δ positif, μ_{1} ∼_{δ} μ_{2} implique évidemment μ_{1} ∼ μ_{2}. Si μ_{1} et μ_{2} sont à supports compacts, l’implication inverse est vraie également. En effet, ∀p ∈ ℝ[t], on a :

| ∫_{ℝ^{n}} t^{α}θ(t)^{β}dμ_{1}(t) − ∫_{ℝ^{n}} t^{α}θ(t)^{β}dμ_{2}(t)| ≤ μ_{1}(ℝ^{n})||t^{α}θ(t)^{β} − p(t)||_{K_{1}}
+| ∫_{ℝ^{n}} p(t)dμ_{1}(t) − ∫_{ℝ^{n}} p(t)dμ_{2}(t)|
+μ_{2}(ℝ^{n})||t^{α}θ(t)^{β} − p(t)||_{K_{2}}
≤ [μ_{1}(ℝ^{n}) + μ_{2}(ℝ^{n})].||t^{α}θ(t)^{β} − p||_{K_{1}∪K_{2}}.

Puis, on conclut en utilisant la densité des polynômes dans C^{0}(K_{1} ∪ K_{2}) (ensemble des fonctions continues sur le compact K_{1} ∪ K_{2}) :

∫_{ℝ^{n}} t^{α}θ(t)^{β}dμ_{1}(t) = ∫_{ℝ^{n}} t^{α}θ(t)^{β}dμ_{2}(t).

(2) En utilisant la méthode des théorèmes 2.5 et 2.8 de [Pu-Vas2], on montre que toute forme linéaire semi-définie positive sur A_{θ} admet une unique mesure de représentation. Cela signifie que pour δ = (∞, ⋯, ∞), nous avons ∼_{δ} qui n’est rien d’autre que l’égalité.

(3) Ce dernier point est une différence majeure avec le � Two-sided moment problem � traité dans [BCR] (on pourra regarder aussi [JTW] et [JTN]) ; le problème est : étant donnée une application ϕ,

\{ \begin{matrix}ϕ : & ℤ & → & ℝ \\ & k & → & ϕ(k) \end{matrix}

peut-on trouver une mesure de représentation positive μ telle que ϕ(k) = ∫ x^{k}dμ(t) pour tout k ∈ ℤ? (l’avantage ici est que la base est multiplicative.) Contrairement à notre problème, la mesure de représentation n’est pas forcément unique comme le prouve l’exemple suivant (voir [BCR]) : si dμ(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}}x^{−1}e^{− \frac{(lnx)^{2}}{2}} dx,

\begin{aligned}∫_{0}^{∞} x^{k}sin(2πlnx)dμ(x) & = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} e^{− \frac{t^{2}−kt}{2}} sin(2πt)dt \\ & = e^{\frac{k^{2}}{2}} \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} e^{− \frac{y^{2}}{2}} sin(2πy)dy = 0, \end{aligned}

puisque la dernière fonction intégrée est impaire. On obtient donc l’égalité suivante pour tout triplet (A, B_{1}, B_{2}) de ℝ^{3} :

∫_{0}^{∞} x^{k}[A − B_{1}sin(2πlnx)]dμ(x) = ∫_{0}^{∞} x^{k}[A − B_{2}sin(2πlnx)]dμ(x).

La mesure μ est positive et comme la fonction sinus est bornée, si l’on prend A positif tel que A soit plus grand que les valeurs absolues de B_{1} et B_{2} (avec B_{1} ≠ B_{2}), on obtient deux mesures positives dμ_{1}(x) = [A − B_{1}sin(2πlnx)]dμ(x) et dμ_{2}(x) = [A − B_{2}sin(2πlnx)]dμ(x) ayant les mêmes moments. Ceci prouve bien que l’on n’a pas forcément l’unicité de la mesure de représentation dans le cadre du � Two-sided moment problem. �

1.A.3 Définition : Une suite double (x_{α,β})_{α,β≥0}, semi-définie positive sur A_{θ}, admet toujours une mesure de représentation unique μ (voir [Pu-Vas2]). Cette mesure μ (ou la suite (x_{α,β})_{α,β≥0}) sera dite unilatéralement déterminée si μ est l’unique mesure de représentation de la suite (x_{α,0})_{α≥0}. Et la mesure μ (ou la suite) sera dite δ-déterminée s’il n’existe pas d’autre mesure δ-équivalente.

On peut noter qu’une suite unilatéralement déterminée est δ-déterminée quel que soit δ ∈ ℤ_{+}^{n}. Une suite unilatéralement déterminée sera aussi dite (plus simplement) déterminée en rapport avec la définition dans le cas des multi-suites simples.

1.A.4 Proposition : Soit (x_{α})_{α≥0} une multi-suite, (x_{α})_{α≥0} est une suite de moments déterminée si et seulement si (x_{α})_{α≥0} admet un unique prolongement bilatéral positif. Ce prolongement est en particulier unilatéralement déterminé.

Démonstration. Si (x_{α})_{α≥0} est déterminée. On pose pour tout couple (α, β) de multi-indices positifs :

x_{α,β} = ∫ t^{α}θ(t)^{β}dμ(t),

où μ est la mesure de représentation de la suite (x_{α})_{α≥0}. La multi-suite (x_{α,β})_{α,β≥0} est unilatéralement déterminée car s’il existait une mesure ρ telle que x_{α,β} = ∫ t^{α}θ(t)^{β}dρ(t), en particulier on aurait x_{α,0} = ∫ t^{α}dρ(t). Et par détermination, on obtiendrait μ = ρ. Si (y_{α,β})_{α,β≥0} est un autre prolongement de la suite x, il existerait une mesure σ telle que y_{α,β} = ∫ t^{α}θ(t)^{β}dσ(t). A nouveau, par détermination, on obtient σ = μ et donc y_{α,β} = x_{α,β} pour tout multi-indice positif.

Inversement, si (x_{α,β})_{α,β} est un prolongement bilatéral positif, on peut écrire x_{α,β} = ∫ t^{α}θ(t)^{β}dμ(t), et donc (x_{α})_{α} est une multi-suite de moments. S’il existait une seconde mesure de représentation ρ, on pourrait construire la suite y_{α,β} = ∫ t^{α}θ(t)^{β}dρ(t), qui serait un prolongement bilatéral positif de (x_{α})_{α}. Mais on a supposé que celui-ci était unique donc x_{α,β} = y_{α,β} pour tout multi-indice positif, c’est à dire que ρ ∼_{(∞,···,∞)} μ. Et par la remarque précédente, nous obtenons ρ = μ.

Dans la suite (et quand on se limitera au cas d’une seule variable), si u est un nombre réel strictement positif, nous noterons par B_{u,μ}^{δ}(0, 1) l’ensemble des éléments de A_{θ}(δ) qui vérifient l’inégalité suivante :

(1.A.2)  ||f||_{u} = ( ∫_{ℝ} |f(t)|^{u}dμ(t))^{1/u} ≤ 1.

Pour la proposition 1.A.6 et le corollaire 1.A.7, on se place dans le cas d’une seule variable.

1.A.5 Définition : On peut définir une fonction semblable à la fonction majorante de Hall-Mergelyan dans le cadre de nos fractions rationnelles : pour tout couple (α, β) ∈ ℝ^{2}, on peut définir la fonction M_{α,β} sur ℂ par (voir [Be] et [Koo]) :

(1.A.3)  M_{α,β}(z) = sup_{p∈ℂ[t]}\{|p(z)| tel que ∫_{ℝ} \frac{|p(t)|^{α}}{(1 + t^{2})^{β}} dμ(t) ≤ 1\}.

1.A.6 Proposition : Soit μ une mesure positive sur ℝ et soit α ∈]1, +∞[. S’il existe un nombre z_{0} dans ℂ \ supp(μ) et un second β_{0} ≥ α/2 tels que M_{α,β_{0}}(z_{0}) < +∞ alors ℂ[t] n’est pas dense dans L^{α}(μ) (et dans ce cas M_{α,β}(z_{0}) < ∞ pour tout β ≥ α/2). Par contre, si M_{α,α/2}(z) = +∞ pour tout z ∈ ℂ \ supp(μ), ℂ[t] est dense dans L^{α}(μ).

Démonstration. Soient α, β dans ℝ, vérifiant 1 < α ≤ 2β < +∞. S’il existe un nombre z_{0} ∈ ℂ\supp(μ) tel que M_{α,β_{0}}(z_{0}) < +∞, on pose :

(1.A.4)  dμ_{β}(t) = \frac{dμ(t)}{(1 + t^{2})^{β}} et ||f||_{α,β} = [ ∫_{ℝ} |f(t)|^{α}dμ_{β}(t)]^{1/α}.

Pour tout polynôme P ∈ ℂ[t], on a :

|P (z_{0})| ≤ M_{α,β_{0}}(z_{0})[ ∫_{ℝ} |P (t)|^{α}dμ_{β}(t)]^{1/α} = M_{α,β_{0}}(z_{0}) ||P ||_{α,β}.

On a donc une forme linéaire continue, ceci entraîne qu’il existe une fonction f ∈ L^{ε}(μ_{β}) (f ≠ 0), si \frac{1}{ε} + \frac{1}{α} = 1 :

(1.A.5)  P (z_{0}) = ∫_{ℝ} P (t)f(t)dμ_{β}(t), où f ∈ L^{ε}(μ_{β}), f ≠ 0_{L^{ε}(μ_{β})}.

De ce fait, pour tout polynôme P ∈ ℂ[t] de la forme (t − z_{0})q(t), on a :

0 = P (z_{0}) = ∫_{ℝ} P (t)f(t)dμ_{β}(t).

Il est clair que :

\begin{aligned}∫_{ℝ} |\frac{t − z_{0}}{(1 + t^{2})^{β}} f(t)|^{ε}dμ(t) & = ∫_{ℝ} \frac{|t − z_{0}|^{ε}}{(1 + t^{2})^{βε}} |f(t)|^{ε}dμ(t) \\ & = ∫_{ℝ} \frac{|t − z_{0}|^{ε}}{(1 + t^{2})^{βε−β}} \frac{|f(t)|^{ε}}{(1 + t^{2})^{β}} dμ(t). \end{aligned}

Si 2βε ≥ ε + 2β, ce qui revient à 2β ≥ α, on a dans ces conditions :

(1.A.6)  ∫_{ℝ} |\frac{|t − z_{0}|^{ε}}{(1 + t^{2})^{βε−β}} \frac{|f(t)|^{ε}}{(1 + t^{2})^{β}} |dμ(t) ≤ A||f||_{ε,β}^{ε}.

Donc la fonction g(t) = (t − z_{0})f(t)(1 + t^{2})^{−β} est dans L^{ε}(μ). De plus, pour tout polynôme P ∈ ℂ[t], nous savons que l’intégrale ∫_{ℝ} P (t)g(t)dμ(t) est nulle. Donc ℂ[t] n’est pas dense dans l’espace L^{α}(μ) puisque g ≠ 0_{L^{ε}(μ)}. En effet, f a cette propriété et z_{0} n’est pas dans le support de la mesure μ.

Supposons maintenant que ℂ[t] ne soit pas dense dans L^{α}(μ). Il existe donc une fonction g ≠ 0_{L^{ε}(μ)} dans L^{ε}(μ) telle que, pour tout polynôme P, on ait ∫_{ℝ} P (t)g(t)dμ(t) = 0. Soit ϕ(z) = ∫_{ℝ} g(t)(t − z)^{−1}dμ(t), ϕ est une fonction holomorphe sur l’ensemble ℂ \ supp(μ) (voir les propriétés sur les transformations de Cauchy). Soit z_{0} ∈ ℂ \ supp(μ), et soit P ∈ ℂ[t]. On écrit alors P (t) = P (z_{0}) + (t − z_{0})q(t), avec q ∈ ℂ[t]. Alors, on obtient :

(1.A.7)  \begin{aligned}∫_{ℝ} \frac{g(t)P (t)}{t − z_{0}}dμ(t) & = ∫_{ℝ} \frac{g(t)P (z_{0})}{t − z_{0}}dμ(t) + ∫_{ℝ} g(t)q(t)dμ(t) \\ & = P (z_{0}) ∫_{ℝ} \frac{g(t)}{t − z_{0}} dμ(t) = P (z_{0})ϕ(z_{0}). \end{aligned}

Donc si ϕ(z_{0}) ≠ 0, on en déduit l’inégalité :

|P (z_{0})| ≤ \frac{1}{|ϕ(z_{0})|}( ∫_{ℝ} |g(t)|^{ε}dμ(t))^{1/ε}( ∫_{ℝ} \frac{|P (t)|^{α}}{|t − z_{0}|^{α}} dμ(t))^{1/α}

≤ \frac{||g||_{ε}}{|ϕ(z_{0})|}( ∫_{ℝ} \frac{|P (t)|^{α}}{(1 + t^{2})^{β}} \frac{(1 + t^{2})^{β}}{|t − z_{0}|^{α}} dμ(t))^{1/α}

≤ \frac{||g||_{ε}}{|ϕ(z_{0})|}||P ||_{α,β} sup_{t∈supp(μ)} \frac{(1 + t^{2})^{β/α}}{|t − z_{0}|} .

Soit C(z) la fonction définie par :

(1.A.8)  C(z) = \frac{1}{|ϕ(z)|} sup_{t∈supp(μ)} \frac{(1 + t^{2})^{1/2}}{|t − z_{0}|} < +∞.

La fonction C est continue sur son ensemble de définition. Et on obtient :

(1.A.9)  |P (z_{0})| ≤ ||P ||_{α,α/2} ||g||_{ε} C(z_{0}).

Enfin, en passant à la borne supérieure, nous avons :

(1.A.10)  M_{α,α/2}(z_{0}) ≤ ||g||_{ε} C(z_{0}) < +∞.

Dans le cas où ϕ(z_{0}) = 0, on prend r dans ]0, dist(z_{0}, supp(μ))[ tel que ϕ(z) ne s’annule pas sur le cercle d’équation |z − z_{0}| = r. Par le principe du maximum, on obtient l’inégalité suivante :

(1.A.11)  |P (z_{0})| ≤ max_{|z−z_{0}|=r} |P (z)| ≤ ||P ||_{α,α/2} ||g||_{ε} max_{|z−z_{0}|=r} C(z) < ∞,

puis on conclut comme précédemment.

Dans le cas de n variables, on montre que, si ℂ[t_{1}, ⋯, t_{n}] dense dans L^{α}(μ), alors M_{α,β}(z_{1}, ⋯, z_{n}) = +∞ pour tout (z_{1}, ⋯, z_{n}) ∈ ℂ^{n} et pour tout multi-indice β supérieur à (α/2, ⋯, α/2) (c’est-à-dire que β_{i} ≥ α/2 pour i = 1, ⋯, n).

1.A.7 Définition : Soit A_{θ}(δ) l’espace vectoriel engendré par les fonctions de la forme t^{α}θ(t)^{β}, avec α ≥ 0 et δ ≥ β ≥ 0. On pose alors la boule unité :

B_{α,μ}^{δ}(0, 1) = {f ∈ A_{θ}(δ) tel que (∫ |f(t)|^{α}dμ(t))^{1/α} ≤ 1}.

1.A.8 Corollaire : Soit μ une mesure positive sur ℝ et soit α ∈]1, +∞[. Si on pose

(1.A.12)  F_{α,δ}(z) = sup_{f∈B_{α,μ}^{δ}(0,1)}{|f(z)|}.

S’il existe un nombre complexe z_{0} dans ℂ \ (supp(μ) ∪ {−i, i}) tel que F_{α,δ}(z_{0}) < +∞ alors A_{θ}(δ − 1) n’est pas dense dans L^{α}(μ). Et si F_{α}(z) = +∞ pour tout z ∈ ℂ \ (supp(μ) ∪ {−i, i}) alors A_{θ}(δ) est dense dans L^{α}(μ).

Démonstration. S’il existe z_{0} ∈ ℂ \ (supp(μ) ∪ {−i, i}) tel que F_{α,δ}(z_{0}) < +∞, pour tout f ∈ A_{θ}(δ), on a :

(1.A.13)  |f(z_{0})| ≤ F_{α,δ}(z_{0}) ||f||_{α}.

La forme linéaire ainsi définie est continue, donc si \frac{1}{ε} + \frac{1}{α} = 1, on obtient par dualité :

(1.A.14)  f(z_{0}) = ∫_{ℝ} g(t)f(t)dμ(t) où g ∈ L^{ε}(μ), g ≠ 0_{L^{ε}(μ)}.

Donc, si f est de la forme (t − z_{0})h(t), on a 0 = f(z_{0}) = ∫_{ℝ} g(t)f(t)dμ(t). De plus, il

existe un A positif vérifiant :

(1.A.15)  ∫_{ℝ} |\frac{t − z_{0}}{(1 + t^{2})}g(t)|^{ε}dμ(t) = ∫_{ℝ} \frac{|t − z_{0}|^{ε}}{(1 + t^{2})^{ε}} |g(t)|^{ε}dμ(t) ≤ A ||g||_{ε}^{ε}.

Donc la fonction k(t) = (t − z_{0})g(t)(1 + t^{2})^{−1} est dans L^{ε}(μ). De plus, pour tout f ∈ A_{θ}(δ − 1), nous savons que l’intégrale ∫_{ℝ} f(t)k(t)dμ(t) est nulle. On en déduit que l’espace A_{θ}(δ − 1) n’est pas dense dans L^{α}(μ).

Supposons maintenant que A_{θ}(δ) ne soit pas dense dans L^{α}(μ). Il existe donc une fonction g ≠ 0_{L^{ε}(μ)} dans L^{ε}(μ) telle que, pour toute fraction rationnelle f de A_{θ}(δ), nous ayons :

(1.A.16)  ∫_{ℝ} f(t)g(t)dμ(t) = 0.

On définit la fonction ϕ par ϕ(z) = ∫_{ℝ} g(t)(t − z)^{−1}(1 + t^{2})^{−δ}dμ(t) ; ϕ est une fonction holomorphe sur ℂ \ supp(μ). Soit z_{0} ∈ ℂ \ (supp(μ) ∪ {−i, i}), et soit f ∈ A_{θ}(δ). On écrit alors :

(1.A.17)  f(t) = \frac{P (t)}{(1 + t^{2})^{δ}} = \frac{P (z_{0})}{(1 + t^{2})^{δ}} + \frac{(t − z_{0})q(t)}{(1 + t^{2})^{δ}}, avec q ∈ ℂ[t].

L’égalité (1.A.17) entraîne :

(1.A.18)  \begin{aligned}∫_{ℝ} \frac{g(t)f(t)}{t − z_{0}}dμ(t) & = ∫_{ℝ} \frac{g(t)P (z_{0})}{(t − z_{0})(1 + t^{2})^{δ}} dμ(t) + ∫_{ℝ} \frac{g(t)q(t)}{(1 + t^{2})^{δ}} dμ(t) \\ & = P (z_{0}) ∫_{ℝ} \frac{g(t)}{(t − z_{0})(1 + t^{2})^{δ}} dμ(t) = P (z_{0}) ϕ(z_{0}). \end{aligned}

Donc si ϕ(z_{0}) ≠ 0, on obtient la majoration :

|f(z_{0})| ≤ \frac{1}{|1 + z_{0}^{2}|^{δ} |ϕ(z_{0})|}( ∫_{ℝ} |g(t)|^{ε}dμ(t))^{1/ε}( ∫_{ℝ} \frac{|f(t)|^{α}}{|t − z_{0}|^{α}} dμ(t))^{1/α}

≤ \frac{||g||_{ε}}{|1 + z_{0}^{2}|^{δ} |ϕ(z_{0})|}( ∫_{ℝ} \frac{|f(t)|^{α}}{|t − z_{0}|^{α}} dμ(t))^{1/α}

≤ \frac{||g||_{ε}}{|1 + z_{0}^{2}|^{δ} |ϕ(z_{0})|} ||f||_{α} sup_{t∈supp(μ)} \frac{1}{|t − z_{0}|}.

Soit C(z) la fonction définie par :

(1.A.19)  C(z) = \frac{1}{|1 + z^{2}|^{δ}|ϕ(z)|} sup_{t∈supp(μ)} \frac{1}{|t − z_{0}|} < +∞.

La fonction C est continue sur son ensemble de définition. Et on obtient l’inégalité :

(1.A.20)  |f(z_{0})| ≤ ||f||_{α} ||g||_{ε} C(z_{0}).

Cette dernière relation (1.A.20) revient à écrire :

(1.A.21)  F_{α,δ}(z_{0}) ≤ ||g||_{ε} C(z_{0}).

Dans le cas où ϕ(z_{0}) = 0, on prend r dans ]0, dist(z_{0}, supp(μ))[ tel que ϕ(z) ne s’annule pas sur le cercle d’équation |z − z_{0}| = r. Par le principe du maximum, on obtient l’inégalité suivante :

(1.A.22)  |f(z_{0})| ≤ max_{|z−z_{0}|=r} |f(z)| ≤ ||f||_{α}||g||_{ε} max_{|z−z_{0}|=r} C(z) < ∞.

Pour conclure cette annexe, on peut donner le pendant de la proposition 2.2 de [JTN] pour une suite double x = (x_{α,β})_{α,β≥0} dans le cas d’une variable.

1.A.9 Proposition : La suite x = (x_{α,β})_{α,β≥0} admet une mesure de représentation dont le support n’est pas de cardinal fini si et seulement si la forme associée est définie positive.

Démonstration. Si la forme associée ϕ est définie positive, la suite admet une mesure de représentation μ unique. Si cette mesure avait un support fini (η_{1}, ⋯, η_{p}), en particulier pour le polynôme

R(t) = ∏_{1≤j≤p} [(t_{1} − η_{j,1})^{2} + ⋯ + (t_{n} − η_{j,n})^{2}],

on aurait ϕ(R^{2}) = 0, où les multi-points η_{j} sont notés (η_{j,1}, ⋯, η_{j,n}) (j = 1, ⋯, p). Ceci contredit le fait que ϕ soit définie.

Inversement, si le cardinal de la mesure n’est pas fini, on ne peut pas trouver de fractions rationnelles qui s’annulent sur tous les points de son suppport autre que 0, ce qui est équivalent au fait que la forme associée soit définie.

Pour conclure cet appendice, on peut noter que M. Putinar et F.-H. Vasilescu donnent un nouveau critère de détermination dans le cas de multi-suites (voir le théorème 2.1 de [Pu-Vas3]). Ils généralisent en particulier des méthodes de M. Riesz, où le cas d’une seule variable a été traité.

Chapitre II

Représentation polynômiale

Comme nous l’avons précédemment dit, un argument simple montre qu’il existe des polynômes non négatifs en deux variables qui ne peuvent s’écrire comme somme de carrés de polynômes. C’est Hilbert le premier qui en donna une preuve en 1888 (sans pour autant en donner un exemple). Dans la seconde moitié du XXième siècle, plusieurs exemples explicites apparurent. On peut citer un polynôme très simple dû à Motzkin en 1967 (voir [BCR]) et un exemple de 1968 de R.M. Robinson (voir [Rob]). En 1900, Hilbert énonce le 17ième problème qui porte son nom : est-ce que tout polynôme positif peut s’écrire comme somme de carrés de fractions rationnelles ? E. Artin répond de façon positive à cette question en 1927.

Comme le montrent des articles comme ceux de Gilles Cassier (voir [Cas2]) ou de Konrad Schmüdgen (voir [Sch]), il existe une relation entre le problème des moments et la représentation polynômiale. Notre but ici sera de donner des représentations pour certains polynômes positifs. Dans la première section, on donnera des décompositions pour des polynômes positifs sur des compacts quelconques (en utilisant en particulier des résultats obtenus dans la section I-1). Cela nous permet en particulier de généraliser des résultats de [Cas2], [Vas2], [Be-Ma], [Pu-Vas] et surtout de [Pu2].

Dans un second temps, nous utiliserons des méthodes dues à Mihail Putinar et Florian-Horia Vasilescu (voir [Pu-Vas2]) pour donner des représentations de polynômes qui sont strictement positifs sur des ensembles non bornés. Pour cela on se placera dans une algèbre A_{θ} de fractions rationnelles bornées. Cette seconde partie a d’ailleurs fait l’objet d’un article paru en 2000 dans Journal of Mathematical Analysis and Applications (voir [De]) et d’un second à paraître dans Positivity (voir [De3]).

Enfin, dans la dernière section de ce Chapitre II, nous étudierons plus en détails les formes linéaires positives sur cette algèbre A_{θ} pour en déduire une représentation sous forme de moments avec limites. Grâce à cette écriture intégrale, nous obtiendrons des résultats sur le problème tronqué des moments en plusieurs variables qui généralisent des propositions de M. Riesz.

Partie II.1 Représentation sur un compact

Soit K un compact arbitraire de ℝ^{n}. Comme on l’a vu dans la première section I-1 (voir le lemme 1.1.2), il existe une suite (P_{i})_{i≥0} de polynômes de ℝ[X] telle que l’on puisse écrire K sous la forme ∩_{i≥0}P̂_{i}^{−1}(ℝ^{+}). On supposera, comme dans la section I-1 que les (P̂_{i})_{i≥0} engendrent en tant qu’algèbre ℝ[X]. On rappelle que l’on note alors T � l’ensemble test � (voir (1.1.7)). On peut alors donner une représentation des polynômes qui sont strictement positifs sur l’ensemble compact K :

2.1.1 Proposition : Tout polynôme strictement positif sur K est dans le cône positif engendré par les éléments de T .

La démonstration s’inspire d’une preuve de G. Cassier (voir le théorème 4 de [Cas2]) mais nous voulons ici utiliser un lemme de [Pu-Vas2] (le lemme 4.1). De ce fait, la démonstration en est différente.

Démonstration. Nous allons utiliser le lemme 4.1 de [Pu-Vas2]. Pour ce faire, vérifions que toutes les conditions de ce lemme sont bien vérifiées ici. Le rôle de C sera joué par le cône positif engendré par les éléments de T . On pose ensuite S = P(K) et C_{d} l’ensemble des éléments de C de degré total plus petit que d (on notera l’ensemble des polynômes de degré plus petit que d par ℝ^{(<d)}[X]). Soit, enfin, S_{d} l’ensemble défini par S_{d} = C_{d} − C_{d} (d ≥ 0). Il faut et il suffit de montrer alors :

(2.1.1)  \{ \begin{matrix}S = C − C \\ C_{d+1} ∩ S_{d} = C_{d} \\ S_{d} est de dimension finie, \\ ϕ ∈ S_{d}^{∗} telle que ϕ(1) = 0 et ϕ|_{C_{d}} ≥ 0 ⇒ ϕ = 0. \end{matrix}

La première relation est évidente. On sait que les (P̂_{i})_{i} engendrent en tant qu’algèbre ℝ[X]. Donc, pour tout polynôme P, on peut écrire :

(2.1.2)  P (X) = ∑_{c_{J} >0} c_{J} ∏_{j} P̂_{j}^{α_{j}}(X) − ∑_{c_{J} <0}(−c_{J}) ∏_{j} P̂_{j}^{α_{j}}(X).

Pour la seconde relation, on a :

(2.1.3)  C_{d+1} ∩ S_{d} ⊂ C ∩ ℝ^{(<d+1)}[X] ∩ ℝ^{(<d)}[X] ⊂ C ∩ ℝ^{(<d)}[X] = C_{d}.

L’inclusion inverse est évidente. De plus, S_{d} est un espace vectoriel de dimension finie puisqu’il est inclus dans ℝ^{(<d)}[X]. Enfin pour la dernière relation, on prend une forme ϕ positive sur C_{d} (avec ϕ(1) = 0), on va montrer que cette forme est identiquement nulle. On prend un polynôme P̂_{i} vérifiant deg(P̂_{i}) ≤ d, alors on a ϕ(P̂_{i}) ≥ 0 et ϕ(1 − P̂_{i}) ≥ 0 ce qui revient à ϕ(P̂_{i}) = 0. Montrons par itération que ϕ(P̂_{i}^{m}) = 0 pour tout m satisfaisant à m × deg(P̂_{i}) ≤ d. Si cela est vrai pour le polynôme P̂_{i}^{l}, montrons que cela est vrai pour P̂_{i}^{l+1}. Par notre hypothèse de positivité, on a ϕ(P̂_{i}^{l+1}) ≥ 0 et ϕ(P̂_{i}^{l}(1 − P̂_{i})) ≥ 0 ce qui revient à dire :

(2.1.4)  0 ≤ ϕ(P̂_{i}^{l+1}) ≤ ϕ(P̂_{i}^{l}) = 0.

Puis on fait la même démarche avec les produits. Si le polynôme P̂_{i}^{k}P̂_{j} a un degré inférieur à d, on obtient par les inégalités ϕ(P̂_{i}^{k}P̂_{j}) ≥ 0 et ϕ(P̂_{i}^{k}(1 − P̂_{j})) ≥ 0 :

(2.1.5)  0 ≤ ϕ(P̂_{i}^{k}P̂_{j}) ≤ ϕ(P̂_{i}^{k}) = 0.

En allant pas à pas, on montre que ϕ(P̂_{i}^{k}P̂_{j}^{l}) = 0 dès que k deg(P̂_{i}) + l deg(P̂_{j}) ≤ d. Enfin, ce qui a été fait pour le produit de deux polynômes peut se faire pour un produit quelconque. Comme tout élément de T est combinaison linéaire de polynômes de la forme précédente, on obtient que ϕ|_{S_{d}} = 0. On peut donc appliquer le lemme 4.1 de [Pu-Vas2].

Soit P un polynôme strictement positif sur K. Supposons que P ∈ S_{d_{0}}\int(C_{d_{0}}), alors il existe une forme linéaire non identiquement nulle ϕ sur S, positive sur C, telle que ϕ(P) ≤ 0. Mais alors, en particulier, ϕ sera positive sur T et donc admettra une mesure de représentation μ positive et de support non vide dans K. Dans ce cas, on obtient

(2.1.6)  0 ≥ ϕ(P) = ∫_{K} P (t)dμ(t) > 0.

Donc, par la contradiction (2.1.6), on peut affirmer que P est dans l’intérieur d’un certain C_{d_{0}}, ce qui prouve en particulier la proposition.

Si K = ∩_{0≤i≤m}p_{i}^{−1}(ℝ^{+}) est un compact semi-algébrique, on peut donner une solution au problème des moments grâce au cône convexe positif des carrés de polynômes S^{2}, voir [Sch2]. Dans un article récent, M. Putinar donne une décomposition de polynômes strictement positifs sur K (voir [Pu2]) à l’aide des polynômes (p_{i})_{0≤i≤m}, du cône S^{2} et d’un troisième élément. En fait, il prouve que tout polynôme r strictement positif sur K vérifie :

r ∈ S^{2} + p_{1}S^{2} + ⋯ + p_{m}S^{2} + qS^{2},

où q est un quelconque polynôme positif sur K de la forme :

(2.1.7)  q(t) = −a_{1}t_{1}^{2d} − ⋯ − a_{n}t_{n}^{2d} − q_{2d}(t) + q_{1}(t), a_{i} > 0, i = 1, ⋯, n,

où q_{2d} est une somme de carrés de polynômes homogènes de degré d et deg(q_{1}) < 2d. On essayera de donner un équivalent de ce théorème dans le cas de compacts arbitraires. L’idée de départ est toujours la même, on relie la géométrie de tout compact à l’algèbre des polynômes ℝ[X] par :

(2.1.8)  K = ⋂_{i≥1} p_{i}^{−1}(ℝ^{+}).

Cette famille sera fixée pour notre compact K. On note par S_{K}^{2} le cône positif suivant :

(2.1.9)  S_{K}^{2} = S^{2} + p_{1}S^{2} + ⋯ + p_{k}S^{2} + ⋯

La méthode de M. Putinar est basée sur le théorème des moments de [Sch2] pour les compacts semi-algébriques. Pour démontrer ce dernier théorème, K. Schmüdgen utilise un résultat de géométrie algébrique sur les ensembles semi-algébriques. Nous ne pourrons donc pas appliquer directement cette méthode. On a besoin d’une condition supplémentaire pour compenser la perte d’information (la � Positivstellensatz �) due au passage au cas arbitraire. Pour ce faire, on peut introduire un polynôme p_{∞} de degré pair tel que K ⊂ p_{∞}^{−1}(ℝ^{+}) et que p_{∞}^{−1}(ℝ^{+}) soit un nouveau compact (semi-algébrique celui-là). On prend par exemple un polynôme du type de celui utilisé par M. Putinar et G. Cassier, c’est-à-dire :

(2.1.10)  \{ \begin{matrix}p_{∞}(t) = −a_{1}t_{1}^{2d} − ⋯ − a_{n}t_{n}^{2d} − r_{∞}(t), a_{i} > 0, i = 1, ⋯, n, \\ p_{∞}(t) > 0, ∀t ∈ K, \\ deg(r_{∞}) < 2d. \end{matrix}

2.1.2 Lemme : Soit ϕ une forme linéaire sur ℝ[X]. Alors ϕ admet une mesure positive de représentation sur K si et seulement si elle est semi-définie positive sur S_{K}^{2} + p_{∞}S^{2}.

Démonstration : Si ϕ admet une mesure positive de représentation sur K, il est évident qu’elle sera positive pour tout polynôme positif sur K. Elle sera donc, en particulier positive, sur S_{K}^{2} + p_{∞}S^{2}. Inversement, soit K′ = p_{∞}^{−1}(ℝ^{+}). K′ est un compact contenant K. Par le théorème 1 de [Sch2], il existe une mesure positive μ telle que

(2.1.11)  ϕ(r) = ∫_{K′} r(t)dμ(t), ∀r ∈ ℝ[X].

Par le théorème d’approximation de Weierstrass, on montre que supp(μ) ⊂ K grâce à la positivité sur S_{K}^{2}.

2.1.3 Lemme : Soit p un polynôme qui n’appartient pas à l’intérieur de (S_{K}^{2} +p_{∞}S^{2})∩ ℝ^{(<2m)}[X], pour tout m. Alors, il existe une forme linéaire ϕ sur ℝ[X] qui soit positive sur S_{K}^{2} + p_{∞}S^{2} et qui soit négative en p.

Pour des lemmes similaires, on peut se référer également à [Cas2] (qui fut le premier à utiliser cette méthode), [Sch2], [Pu2], [Pu-Vas] et caetera.

Démonstration : Il suffit de montrer que l’on peut appliquer le lemme 2.2.9 (i.e. : le lemme 4.1 de [Pu-Vas2]). On définit le cône positif C_{m} = (S_{K}^{2} + p_{∞}S^{2}) ∩ ℝ^{(<2m)}[X] et l’espace vectoriel S_{K,m} par C_{m} − C_{m}. On commence par vérifier :

(2.1.12)  \{ \begin{matrix}C_{m} − C_{m} ⊂ ℝ^{(<2m)}[X] \\ (S_{K}^{2} + p_{∞}S^{2}) − (S_{K}^{2} + p_{∞}S^{2}) = ℝ[X] \\ C_{m+1} ∩ S_{K,m} = C_{m} \end{matrix}

La première inclusion est évidente et entraîne que les espaces S_{K,m} sont de dimensions finies. Ensuite, la seconde égalité provient du fait que (S_{K}^{2} + p_{∞}S^{2}) contient, en particulier, S^{2} et que pour tout polynôme p, on a : p = [(p + 1)^{2} − (p − 1)^{2}]/4. Enfin pour la troisième propriété, on a :

(2.1.13)  \begin{aligned}C_{m+1} ∩ S_{K,m} & ⊂ (S_{K}^{2} + p_{∞}S^{2}) ∩ ℝ^{(<2m+2)}[X] ∩ ℝ^{(<2m)}[X] \\ & ⊂ (S_{K}^{2} + p_{∞}S^{2}) ∩ ℝ^{(<2m)}[X] = C_{m}. \end{aligned}

Comme l’inclusion inverse est évidente, on obtient bien l’égalité voulue. Il suffit maintenant de montrer que si on prend une forme linéaire ϕ positive sur C_{m} qui vérifie ϕ(1) = 0 alors ϕ est identiquement nulle sur S_{K,m}. Pour toute la suite, on supposera m > max{1, deg(p_{∞})}, ce qui ne gêne en rien puisque nos cônes sont emboités les uns dans les autres. Comme en particulier ϕ|_{S^{2}} ≥ 0, on obtient par l’inégalité de Cauchy-Schwarz :

(2.1.14)  |ϕ(p)|^{2} ≤ ϕ(1) ϕ(p^{2}) = 0, ∀p ∈ ℝ^{(<m)}[X].

Puis, nous allons travailler en augmentant le degré des polynômes. On prend le monôme X^{α} avec |α| = m + 1. Soit i_{0} un entier tel que X_{i_{0}} apparaisse dans la décomposition de X^{α}. Alors, on obtient :

(2.1.15)  |ϕ(X^{α})|^{2} ≤ ϕ(X_{i_{0}}^{2}) ϕ(X^{2α−2e_{i_{0}}}) = 0.

De manière plus générale, on suppose que ϕ(X^{α}) = 0 pour tout multi-indice vérifiant |α| = m + k − 1, k < m. Si on prend un multi-indice β vérifiant |β| = m + k, on écrit β = β_{1} + β_{2} avec |β_{1}| = m et |β_{2}| = k. Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on obtient l’inégalité suivante :

(2.1.16)  |ϕ(X^{β})|^{2} ≤ ϕ(X^{2β_{1}}) ϕ(X^{2β_{2}}) = ϕ(X^{2β_{1}}) × 0 = 0.

Alors on obtient ϕ(X^{β}) = 0. Il ne reste plus qu’à prouver que ϕ(X^{β}) = 0 pour |β| = 2m. Par la positivité de ϕ sur p_{∞}S^{2}, on obtient de (2.1.10) :

0 ≤ ϕ(p_{∞}) = ϕ(−X_{1}^{2m}) + ⋯ + ϕ(−X_{n}^{2m}) ≤ 0,

ce qui se traduit par :

(2.1.17)  ϕ(X_{j}^{2m}) = 0, ∀j = 1, ⋯, n.

Pour achever la démonstration, on va montrer, par récurrence sur le nombre de variables qui apparaissent, que ϕ(X^{β}) = 0 pour |β| = 2m. Pour n = 1, c’est ce qui vient d’être prouvé. Supposons que ce soit le cas pour l variables ; c’est-à-dire :

(2.1.18)  ϕ(X_{1}^{α_{1}} ⋯ X_{l}^{α_{l}}) = 0, ∀α_{1}, ⋯, α_{l} ≥ 0, avec α_{1} + ⋯ + α_{l} = 2m.

Soit le monôme X_{1}^{α_{1}} ⋯, X_{l+1}^{α_{l+1}} avec α_{1}+⋯+α_{l+1} = 2m. Alors, on a soit α_{1}+⋯+α_{l} ≥ m, soit α_{l+1} ≥ m. Si on est dans le second cas, on obtient par l’inégalité de Cauchy-Schwarz :

(2.1.19)  |ϕ(X_{1}^{α_{1}} ⋯ X_{l+1}^{α_{l+1}})|^{2} ≤ ϕ(X_{1}^{2α_{1}} ⋯ X_{l}^{2α_{l}}X_{l+1}^{2α_{l+1}−2m}) ϕ(X_{l+1}^{2m}) = 0,

par l’hypothèse de récurrence au rang 1. Si on est dans le premier cas, on choisit des entiers positifs β_{i} vérifiant β_{i} ≤ α_{i} (i = 1, ⋯, l) et β_{1} + ⋯ + β_{l} = m. Alors on utilise une dernière fois l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour obtenir : (2.1.20)

|ϕ(X_{1}^{α_{1}} ⋯ X_{l+1}^{α_{l+1}})|^{2} ≤ ϕ(X_{1}^{2(α_{1}−β_{1})} ⋯ X_{l}^{2(α_{l}−β_{l})}X_{l+1}^{2α_{l+1}}) ϕ(X_{1}^{2β_{1}} ⋯ X_{l}^{2β_{l}}) = 0,

par l’hypothèse de récurrence au rang l appliquée au monôme X_{1}^{2β_{1}} ⋯ X_{l}^{2β_{l}}. En conclusion, la forme linéaire ϕ est identiquement nulle sur ℝ^{(<2m)}[X], ceci implique donc que la forme linéaire ϕ est nulle sur S_{K,m}.

On peut donc appliquer le lemme 4.1 de [Pu-Vas2], ce qui nous donne directement le résultat voulu.

2.1.4 Remarque : En fait, on a montré un peu plus que le lemme 2.1.3. En effet, on a prouvé que toute forme positive sur S_{K,m} et qui s’annulait en 1 devait s’annuler sur ℝ^{(<2m)}[X]. Si on munit ℝ^{(<2m)}[X] de sa norme euclidienne, et si on prend un élément x dans l’orthogonal de S_{K,m} (qui est un sous-espace vectoriel de ℝ^{(<2m)}[X]), la forme ϕ_{x}(∗) = ⟨x, ∗⟩ est une forme positive sur S_{K,m} qui s’annule en 1. Par ce qui vient d’être vu, ϕ_{x} est identiquement nulle sur ℝ^{(<2m)}[X] ; ceci est équivalent à x = 0. Donc on a l’égalité suivante :

(2.1.21)  ℝ^{(<2m)}[X] = S_{K,m} = C_{m} − C_{m},

ceci pour tout m vérifiant m ≥ max(2; d).

2.1.5 Théorème : Tout polynôme strictement positif sur K est dans le cône positif S_{K}^{2} + p_{∞}S^{2}.

Démonstration : Supposons que p ∉ S_{K}^{2} + p_{∞}S^{2}. Alors, par le lemme précédent, il existe une forme linéaire ϕ positive sur ce cône, vérifiant ϕ(p) ≤ 0. Mais par le lemme 2.1.2 (basé sur le théorème 1 de [Sch2]), ϕ admet une représentation intégrale avec une mesure positive. Alors, on obtient :

(2.1.22)  ϕ(p) = ∫_{K} p(t)dμ(t) > 0,

car le support supp(μ) de μ est non vide puisque ϕ est non identiquement nulle. Ceci contredit le fait que ϕ(p) ≤ 0. Donc, on a bien p ∈ S_{K}^{2} + p_{∞}S^{2}.

Comme corollaire de ce théorème, on retrouve le théorème 1.3 (de [Pu2]) de décomposition de M. Putinar pour les polynômes positifs sur un compact semi-algébrique. Dans ce qui suit, on va essayer de diminuer encore les cônes dans lesquels sont situés les polynômes positifs sur K. On voudrait quand cela est possible remplacer S^{2} par S^{2,0} où

(2.1.23)  S^{2,0} = {|h(z, y)|^{2}; h ∈ ℂ[z, z̄]} ⊂ S^{2}.

Pour ce faire, on va complexifier le problème (voir [Pu], [Pu2], [Atz]). Donc, on pose z = (z_{1}, ⋯, z_{[n/2]}) ∈ ℂ^{[n/2]} (y = 1 si n est pair et y = x_{n} si non et [*] est la fonction partie entière) avec z_{j} = x_{2j−1} + ix_{2j}. Soit I l’ensemble des entiers i tels que les polynômes p_{i} soient de la forme 1 − |h(z, y)|^{2} ou ℜh(z, y) avec h polynôme en [n/2] variables. Soit J le complémentaire de I dans ℕ. On pose alors :

(2.1.24)  S_{K}^{2,0} = S^{2} + ∑_{i∈I} p_{i}S^{2,0} + ∑_{i∈J} p_{i}S^{2} ⊂ S_{K}^{2}.

On peut donner un lemme du type du lemme 3.1 de [Pu2] :

2.1.6 Lemme : Soit ϕ une forme linéaire sur ℝ[X] qui est positive sur S^{2} + p_{∞}S^{2,0}. Alors, il existe une constante M, indépendante de ϕ, telle que ϕ soit positive sur le cône S^{2} + (M − |x|^{2})S^{2,0} (avec |x|^{2} = x_{1}^{2} + ⋯ + x_{n}^{2}).

2.1.7 Proposition : Soit ϕ une forme linéaire sur ℝ[X]. Alors, ϕ admet une mesure positive de représentation sur K si et seulement si elle est positive sur S_{K}^{2,0} + p_{∞}S^{2,0}.

On suit la preuve du théorème 1.3 de [Pu2].

Démonstration : (n pair) Si ϕ admet une mesure positive de représentation sur K, il est évident qu’elle sera positive sur S_{K}^{2,0} + p_{∞}S^{2,0}. Inversement, on peut prolonger ϕ par linéarité à ℂ[z]. On utilise alors la méthode de Gelfand-Naimark en posant ⟨p, q⟩ = ϕ(pq̄) pour tout p, q ∈ ℂ[z]. On quotiente ensuite ℂ[z] par N = {p, ϕ(pp̄) = 0} et on complète pour obtenir un espace de Hilbert. On pose T_{i} l’opérateur multiplication par z_{i} sur ℂ[z]/N. Par le lemme précédent, on peut remarquer que ces opérateurs qui commutent, sont bornés et qu’ainsi on peut les prolonger à tout l’espace. On note enfin que la fermeture T̄_{i} de T_{i} est normale, d’adjoint l’application multiplication par z̄_{i}. On lui associe alors une mesure spectrale E et on obtient : (2.1.25)

ϕ(p) = ⟨p(z, z̄)1, 1⟩ = ⟨p(T, T^{∗})1, 1⟩ = ∫_{σ(T)} p(z, z̄)d⟨E(z)1, 1⟩ = ∫_{σ(T)} p(z, z̄)dμ(z).

De plus la positivité de ϕ sur S_{K}^{2,0} nous implique que le support de la mesure est en fait inclus dans le compact K (c’est la proposition 2.4 de [Pu2] qui s’applique).

Si n est impair, on procède de la même manière, on ajoute juste l’opérateur T_{y} multiplication par la variable y. Cet opérateur est symétrique borné, donc auto-adjoint (il commute avec les opérateurs T_{1}, ⋯, T_{[n/2]}) et on utilise la mesure spectrale jointe de (T_{y}, T_{1}, ⋯, T_{[n/2]}) pour obtenir la mesure de représentation.

2.1.8 Corollaire : Tout polynôme strictement positif sur K est dans le cône positif S_{K}^{2,0} + p_{∞}S^{2,0}.

Démonstration : C’est la même démonstration que le théorème 2.1.5 mais au lieu d’utiliser le lemme 2.1.2, on applique la proposition précèdente 2.1.7.

Jusqu’à la fin de cette section, on ne s’occupera plus que de compacts semialgébriques.

2.1.9 Définition : Soit K = ∩_{0≤i≤m}p_{i}^{−1}(ℝ^{+}) est un compact semi-algébrique, on pose P = {p_{1}, ⋯, p_{m}}. On dira que la paire (K, P) est représentable s’il existe un polynôme p dans S_{K}^{2} tel que p^{−1}(ℝ^{+}) soit compact.

2.1.10 Proposition : Les trois propositions suivantes sont équivalentes :

(i) Il existe un polynôme p dans S_{K}^{2} tel que p^{−1}(ℝ^{+}) soit compact.

(ii) Toute forme linéaire positive sur S_{K}^{2} admet une mesure de représentation.

(iii) Tout polynôme strictement positif sur K est dans S_{K}^{2}.

Démonstration : (i)⇒ (ii) Puisque p est dans S_{K}^{2}, toute forme ϕ, positive sur S_{K}^{2}, sera en particulier positive sur S^{2} + pS_{K}^{2}. Par le théorème de [Sch2], il existe une mesure positive de support dans p^{−1}(ℝ^{+}) qui vérifie

(2.1.26)  ϕ(q) = ∫_{p^{−1}(ℝ^{+})} q(t)dμ(t), ∀q ∈ ℝ[X].

Enfin, la positivité sur S_{K}^{2} assure que le support de μ est inclus dans K. (ii)⇒ (iii) C’est la même méthode que dans [Cas2], [Pu2], [Sch2] et caetera. Il suffit d’utiliser un lemme dû à G. Cassier ou une de ses variantes dans [Pu-Vas2]. (iii)⇒ (i) Il suffit de prendre par exemple le polynôme M − (t_{1}^{2} + ⋯ + t_{n}^{2}), avec M suffisamment grand.

2.1.11 Exemples :

(1) C’est le cas du compact élémentaire K = ∏_{i=1}^{n}[a_{i}, b_{i}] (a_{i}, b_{i} ∈ ℝ) muni de la famille P = (p_{1}, ⋯, p_{2n}) où p_{i}(t) = t_{i} − a_{i} et p_{n+i}(t) = b_{i} − t_{i} (i = 1, ⋯ n). En effet, si on a une forme ϕ, positive sur S_{K}^{2}, on peut utiliser la méthode de Gelfand-Naimark. La positivité de la forme ϕ sur p_{n+i}S^{2} nous assure que l’opérateur multiplication par la variable t_{i} est borné dans l’espace de Hilbert associé à ϕ. Et, en utilisant la mesure spectrale associée à ces opérateurs, on obtient une mesure positive à support dans K.

(2) Dans le cas d’une seule variable, tout compact semi-algébrique muni d’une quelconque famille de polynômes sera représentable (voir [Be-Ma]).

2.1.12 Remarque : Tout compact semi-algébrique admet une famille finie de polynômes telle que le couple soit représentable. C’est le théorème de [Sch2]. Le problème est que, d’une famille à m polynômes, on passe à une famille à 2^{m} éléments.

(2.1.27)  P = {p_{i_{1}} ⋯ p_{i_{k}}; i_{1}, ⋯, i_{k} ∈ {1, ⋯, m}, 0 ≤ k ≤ m}.

Enfin, on peut finir par quelques remarques sur le théorème 1.4 de [Pu2]. On commence par donner une petite correction à l’énoncé. En effet, le théorème tel qu’il est écrit n’est pas juste. Il faut lire : 2.1.13 Théorème : Soit K = ∩_{0≤i≤m}p_{i}^{−1}(ℝ^{+}) un compact semi-algébrique de ℝ^{n}. Supposons que les polynômes soient tous de degré pair tels que pour tout ω ∈ S^{n−1} (sphère unité dans ℝ^{n}) il existe un i_{ω} tel que :

(2.1.28)  p̃_{i_{ω}}(ω) = lim_{r→∞} \frac{p_{i}(rω)}{r^{deg(p_{iω})}} < 0.

Alors le couple (K, {p_{1}, ⋯, p_{m}}) est représentable.

Démonstration : Il suffit de reprendre avec attention la démonstration de M. Putinar.

Bien évidemment, comme le signale l’auteur, cette condition est loin d’être nécessaire. Nous pouvons pour conclure cette section en donner un exemple simple. On se place dans ℝ^{2} et on pose :

(2.1.29)  \{ \begin{matrix}p_{1}(x, y) = y − x^{2} \\ p_{2}(x, y) = −y − x^{2} + 1 \end{matrix}

On pose K = p_{1}^{−1}(ℝ^{+}) ∩ p_{2}^{−1}(ℝ^{+}). On voit rapidement que K est un compact inclus dans la boule de centre O et de rayon \sqrt{2}/2. De plus, on a p̃_{1}(x, y) = −x^{2} = p̃_{2}(x, y). En particulier, ces deux polynômes s’annulent simultanément en (0, 1) et (0, −1). Un calcul simple (dont on passera les détails) nous donne :

(2.1.30)  \begin{aligned}4 − x^{2} − y^{2} = & [\frac{(x(1 − y))^{2}}{3} + \frac{(x(1 + y))^{2}}{3} + \frac{2x^{2}}{3} + \frac{5}{2}] \\ & +p_{1}(x, y)[\frac{1}{2} + \frac{(1 − y)^{2}}{3} ] + p_{2}(x, y)[\frac{7}{6} + \frac{(1 + y)^{2}}{3} ]. \end{aligned}

On en déduit que 4 − x^{2} − y^{2} est dans S_{K}^{2}. Enfin, par la proposition 2.1.10, le couple (K, {p_{1}, p_{2}}) est représentable.

Partie II.2 Représentation sur un fermé non borné

En réponse au 17ième problème de Hilbert, E. Artin prouve que tout polynôme positif peut s’écrire comme somme de carrés de fractions rationnelles. L’inconvénient d’une telle décomposition provient du fait que l’on autorise toutes les fractions rationnelles. Dans cette partie, nous essayerons de donner une représentation plus précise de polynômes qui sont strictement positifs sur des fermés de ℝ^{n} en n’autorisant que des fractions avec des dénominateurs � universels. �

Précisément, nous allons prouver que sous des conditions de positivité d’un polynôme naturellement associé ou sur des conditions sur les coefficients dominants, on peut écrire des polynômes strictement positifs sur ℝ^{n} comme somme de fractions rationnelles avec des dénominateurs de la forme :

(1 + t_{1}^{2})^{β_{1}} ⋯ (1 + t_{n}^{2})^{β_{n}}, β_{i} ∈ ℤ_{+}, i = 1, ⋯, n.

Pour ce faire, on adapte des techniques de [Pu-Vas2], où le cas de polynômes homogènes a été traité avec des fractions ayant des dénominateurs d’un autre type.

2.2.1 Notation : Si t = (t_{1}, ⋯, t_{n}) sont les variables de ℝ^{n}, Pour tout i = 1, ⋯, n, on pose :

θ_{i}(t) = (1 + t_{i}^{2})^{−1}, t ∈ ℝ^{n}.

On définit la fonction θ sur ℝ^{n} par θ = (θ_{1}, ⋯, θ_{n}). Alors pour tout multi-indice β = (β_{1}, ⋯, β_{n}) dans ℤ_{+}^{n}, on a :

θ^{β}(t) = θ_{1}^{β_{1}}(t) ⋯ θ_{n}^{β_{n}}(t), t ∈ ℝ^{n}

2.2.2 Proposition : On définit la famille de fractions rationnelles suivante : (2.2.1)

\frac{t_{1}^{ε_{1}}t_{2}^{ε_{2}} ⋯ t_{n}^{ε_{n}}}{(1 + t_{1}^{2})^{m_{1}} ⋯ (1 + t_{n}^{2})^{m_{n}}} , ε_{i} ∈ \{0, 1\}, m_{i} ∈ ℤ_{+}, m_{i} ≥ ε_{i}, i ∈ \{1, ⋯, n\}.

Ces fonctions forment une famille libre. De plus, si A_{θ} est l’algèbre des fractions rationnelles bornées avec des dénominateurs de la forme [θ^{β}(t)]^{−1}, alors la famille (2.2.1) est une base algébrique de A_{θ}.

Démonstration. On va montrer cette proposition par récurrence sur la dimension n des variables de départ. Pour n = 1, on prend un m-uplet (μ_{1}, ⋯, μ_{m}) dans ℂ^{m}. Supposons que nous ayons l’égalité suivante :

(2.2.2)  ∑_{i=1}^{m} μ_{i} \frac{t_{1}^{ε_{i}}}{(1 + t_{1}^{2})^{m_{i}}} = 0.

Si p est le minimum de l’ensemble {m_{i}; i ∈ {1, ⋯, m}}, p ne peut apparaître que dans deux fractions seulement :

\frac{1}{(1 + t_{1}^{2})^{p}} ou \frac{t_{1}}{(1 + t_{1}^{2})^{p}} .

On note μ_{r} et μr^{′} les coefficients devant ces deux fonctions. Dans ce cas, l’égalité (2.2.2) implique que l’on ait :

∑_{i=1}^{m} μ_{i} \frac{t_{1}^{ε_{i}}}{(1 + t_{1}^{2})^{m_{i}−p}} = 0.

Ceci implique la même égalité pour le passage à la limite :

lim_{t_{1}→∞} ∑_{i=1}^{m} μ_{i} \frac{t_{1}^{ε_{i}}}{(1 + t_{1}^{2})^{m_{i}−p}} = 0.

D’un autre côté, cette limite vaut :

lim_{t_{1}→∞} ∑_{i=1}^{m} μ_{i} \frac{t_{1}^{ε_{i}}}{(1 + t_{1}^{2})^{m_{i}−p}} = μ_{r} ou ∞ si μr^{′} ≠ 0.

On en conclut que μ_{r} et μr^{′} sont tous les deux égaux à zéro. Il suffit maintenant de réitérer ce procédé pour obtenir que chaque nombre complexe μ_{r} est nul. Ceci nous permet donc d’initialiser la récurrence.

On suppose maintenant, que l’hypothèse de récurrence soit vraie jusqu’au rang d − 1. Soient μ_{1}, ⋯, μ_{l} des nombres complexes qui vérifient l’égalité suivante :

∑_{p=1}^{l} μ_{p} \frac{t_{1}^{ε_{1,p}}t_{2}^{ε_{2,p}} ⋯ t_{d}^{ε_{d,p}}}{(1 + t_{1}^{2})^{m_{1,p}} ⋯ (1 + t_{d}^{2})^{m_{d,p}}} = ∑_{p=1}^{l} μ_{p} \frac{t_{2}^{ε_{2,p}}t_{3}^{ε_{3,p}} ⋯ t_{d}^{ε_{d,p}}}{(1 + t_{2}^{2})^{m_{2,p}} ⋯ (1 + t_{d}^{2})^{m_{d,p}}} \frac{t_{1}^{ε_{1,p}}}{(1 + t_{1}^{2})^{m_{1,p}}} = 0.

On applique alors l’hypothèse de récurrence au rang 1, et on obtient :

∑_{A_{ε,m}} μ_{p} \frac{t_{2}^{ε_{2,p}}t_{3}^{ε_{3,p}} ⋯ t_{d}^{ε_{d,p}}}{(1 + t_{2}^{2})^{m_{1,p}} ⋯ (1 + t_{d}^{2})^{m_{d,p}}} = 0,

où A_{ε,m} est l’ensemble des entiers p tels que (1 + t_{1}^{2})^{−m}t_{1}^{ε} apparaissent dans la fraction correspondante. Ces ensembles A_{ε,m} forment une partition de {1, ⋯, l}. Ceci est vrai pour chaque (d − 1)-uplet (t_{2}, ⋯, t_{d}). Comme l’hypothèse de récurrence est supposée vraie au rang d − 1 , on obtient que μ_{p} est nul, quel que soit p = 1, ⋯, l.

Pour vérifier que la famille est génératrice, on peut utiliser une récurrence. Dans le cas d’une seule variable, si f ∈ A_{θ}, il peut s’écrire f(X) = P (X)(1 + X^{2})^{−m} avec le degré de P deg(P) qui vérifie deg(P) ≤ 2m. On fait alors la division euclidienne de P par (1+X^{2})^{m} pour obtenir l’égalité P (X) = q_{1}(X)(1+X^{2})^{m}+r_{1}(X) avec deg(q_{1}) = 0 et deg(r_{1}) ≤ 2m−1. Puis, on divise maintenant le reste r_{1} que l’on divise par (1+X^{2})^{m−1} pour obtenir r_{1}(X) = q_{2}(X)(1+X^{2})^{m−1} +r_{2}(X) avec deg(q_{2}) ≤ 1 et deg(r_{2}) ≤ 2m−3. On réitère le procédé pour obtenir pour tout k vérifiant 1 ≤ k ≤ m − 1 :

r_{k}(X) = q_{k+1}(X)(1 + X^{2})^{m−k} + r_{k+1}(X),

avec deg(q_{k}) ≤ 1 et deg(r_{k}) ≤ 2(m − k) − 1. Finalement, on peut écrire le polynôme P sous la forme suivante :

P (X) = ∑_{k=1}^{m} q_{k}(X)(1 + X^{2})^{m−k+1} + r_{m}(X), deg(q_{k}) ≤ 1, deg(r_{m}) ≤ 1.

Et donc, on a bien l’écriture suivante pour f :

f(X) = ∑_{k=1}^{m} \frac{q_{k}(X)}{(1 + X^{2})^{k−1}} + \frac{r_{m}(X)}{(1 + X^{2})^{m}} ,

où les numérateurs des fractions rationnelles sont bien de degré inférieur à 1.

Pour passer du rang n au rang n + 1, c’est la même chose que pour montrer que la famille est libre. Si f ∈ A_{θ}, il peut s’écrire f(X_{1}, ⋯, X_{n+1}) = P (X_{1}, ⋯, X_{n+1})(1 + X_{1}^{2})^{−m_{1}} ⋯ (1+X_{n+1}^{2})^{−m_{n+1}}. Puis, on regarde P comme un polynôme d’une variable X_{1} à coefficient dans l’anneau des polynômes de ℝ[X_{2}, ⋯, X_{n+1}]. On utilise la méthode précédente (ceci est en effet possible car les polynômes (1 + X_{1}^{2})^{−k} (1 ≤ k ≤ m_{1}) par lesquels on divise sont unitaires dans ℝ[X_{2}, ⋯, X_{n+1}][X_{1}]) et l’hypothèse de récurrence au rang n (avec les variables X_{2}, ⋯, X_{n+1}) pour conclure sur l’aspect générateur de la famille de la proposition 2.2.2 dans l’algèbre A_{θ}.

2.2.3 Remarque : Si λ est une forme linéaire définie sur A_{θ}, λ est complétement déterminée par ses valeurs (via la proposition 2.2.2) :

a_{m_{1},···,m_{n}}^{(ε_{1},···,ε_{n})} = λ(\frac{t_{1}^{ε_{1}}t_{2}^{ε_{2}} ⋯ t_{n}^{ε_{n}}}{(1 + t_{1}^{2})^{m_{1}} ⋯ (1 + t_{n}^{2})^{m_{n}}} ),

qui sont appelées les � moments � de la forme λ.

2.2.4 Définition : On notera par Φ(t_{1}, ⋯, t_{n}) = [Φ_{p,q}(t_{1}, ⋯, t_{n})]_{1≤p≤n,1≤q≤4} la fonction de ℝ^{n} à valeurs dans ℝ^{4n} définie par la matrice suivante :

(2.2.3)  Φ(t_{1}, ⋯, t_{n}) = [ \begin{matrix}\frac{1}{(1 + t_{1}^{2})} & \frac{t_{1}}{(1 + t_{1}^{2})} & \frac{t_{1}}{(1 + t_{1}^{2})} & \frac{t_{1}^{2}}{(1 + t_{1}^{2})} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \frac{1}{(1 + t_{n}^{2})} & \frac{t_{n}}{(1 + t_{n}^{2})} & \frac{t_{n}}{(1 + t_{n}^{2})} & \frac{t_{n}^{2}}{(1 + t_{n}^{2})} \end{matrix} ]

La fonction Φ peut être vue comme ayant des valeurs dans l’ensemble M_{n×4} où M_{n×4} est l’espace des matrices à n lignes et 4 colonnes. Les deuxième et troisième colonnes de cette matrice sont identiques. On utilise ceci ultérieurement afin d’obtenir des informations sur le spectre joint d’un multi-opérateur borné (voir théorème 2.2.7).

2.2.5 Lemme : La fonction Φ est une injection de ℝ^{n}. De plus, son image est donnée par l’égalité :

(2.2.4)  Φ(ℝ^{n}) = \{ \begin{matrix}x_{i,1} > 0, x_{i,2} = x_{i,3} ∀i ∈ \{1, ⋯, n\}, \\ x_{i,1}^{2} + x_{i,2}^{2} + x_{i,3}^{2} + x_{i,4}^{2} = 1 ∀i ∈ \{1, ⋯, n\}, \\ x_{i,1}^{2} + x_{i,2}^{2} = x_{i,1} ∀i ∈ \{1, ⋯, n\}, \\ x_{i,4} ≥ 0 ∀i ∈ \{1, ⋯, n\}, \end{matrix} \} .

Démonstration. Pour prouver l’injectivité, il suffit de remarquer que si [x_{p,q}]_{1≤p≤n,1≤q≤4} est dans l’image de Φ, on a [x_{p,q}]_{1≤p≤n,1≤q≤4} = Φ(t_{1}, ⋯, t_{n}) où (t_{1}, ⋯, t_{n}) est donné par :

t_{i} = \frac{x_{i,2}}{x_{i,1}} , i ∈ \{1, ⋯, n\}.

Pour ce qui est de la description de l’image de Φ, il suffit d’utiliser les deux égalités sur les fractions suivantes (pour tout i = 1, ⋯, n) :

\frac{1}{1 + t_{i}^{2}} = (\frac{1}{1 + t_{i}^{2}} )^{2} + (\frac{t_{i}}{1 + t_{i}^{2}} )^{2} et (\frac{1}{1 + t_{i}^{2}} )^{2} + 2(\frac{t_{i}}{1 + t_{i}^{2}} )^{2} + (\frac{t_{i}^{2}}{1 + t_{i}^{2}} )^{2} = 1.

On définit alors des applications (B̃_{p,q})_{p,q} sur l’algèbre A_{θ} grâce aux relations suivantes :

(2.2.5)  A_{θ} ∋ f → B̃_{p,q}(f) = Φ_{p,q}f ∈ A_{θ}.

De l’égalité (2.2.4), on obtient que :

(2.2.6)  ∑_{1≤p≤n,1≤q≤4} Φ_{p,q}^{2} = n.

2.2.6 Remarque : Si f est une fonction de A_{θ}, f peut toujours s’écrire sous la forme P ∘ Φ où P est un polynôme de 4n variables. Cette représentation n’est clairement pas unique. Par exemple :

\frac{t_{i}^{2}}{(1 + t_{i}^{2})^{2}} = \frac{t_{i}^{2}}{1 + t_{i}^{2}} \frac{1}{1 + t_{i}^{2}} = \frac{t_{i}}{1 + t_{i}^{2}} \frac{t_{i}}{1 + t_{i}^{2}} .

De plus, il est évident que l’on peut choisir le polynôme P avec seulement 3n variables en utilisant la � symétrie � de Φ(t_{1}, ⋯, t_{n}).

2.2.7 Théorème : Soit λ une forme linéaire définie sur A_{θ}. Soit H l’ensemble inclus dans ℝ^{N}, (avec N = 4n) donné par H = ⋃_{i=1}^{n} H_{i} si on pose :

H_{i} = {x = [x_{p,q}] ; x_{i,1} = x_{i,2} = x_{i,3} = 0, x_{i,4} = 1, ||x||^{2} = n}, i ∈ {1, ⋯, n}.

Si λ est semi-définie positive, il existe une première mesure ρ, à support dans ℝ^{n}, et une seconde ν à support dans H (où H est inclus ℝ^{N} avec N = 4n) telles que pour tout polynôme P ∈ ℂ_{N}[X], on ait :

(2.2.7)  λ(P ∘ Φ) = ∫_{ℝ^{n}}(P ∘ Φ)dρ + ∫_{H} P dν.

Démonstration. Soit λ une forme linéaire semi-définie positive sur A_{θ}. On a pour tout multi-indice positif β : λ(θ^{β}|f^{2}|) ≥ 0. En effet, il suffit de remarquer que θ^{β} = Φ_{1,1}^{β_{1}}Φ_{2,1}^{β_{2}} ⋯ Φ_{n,1}^{β_{n}} et que chaque Φ_{i,1} (i = 1, ⋯, n) peut s’écrire comme somme de deux carrés : i = 1, ⋯, n.

Par la transformation de Gelfand-Naimark, on définit un espace de Hilbert H_{λ} associé à la forme linéaire positive λ (voir (1.2.8) jusque (1.2.11)). On peut définir des opérateurs (B_{p,q})_{p,q} sur H_{λ} de la même manière que l’on a défini les applications (B̃_{p,q})_{p,q} sur A_{θ}. Ces opérateurs (B_{p,q})_{p,q} sont, en fait, bornés, auto-adjoints et ils commutent entre eux. De plus, ils vérifient les propriétés suivantes :

(2.2.8)  B_{p,1}^{2} + B_{p,2}^{2} + B_{p,3}^{2} + B_{p,4}^{2} = I, p = 1, ⋯, n.

(2.2.9)  B_{p,1}^{2} + B_{p,2}^{2} = B_{p,1}, p = 1, ⋯, n.

(2.2.10)  B_{p,2} = B_{p,3}, p = 1, ⋯, n.

(2.2.11)  −I ≤ B_{p,q} ≤ I, pour (p, q) tel que 1 ≤ p ≤ n, 2 ≤ q ≤ 3.

(2.2.12)  0 ≤ B_{p,q} ≤ I, pour (p, q) tel que 1 ≤ p ≤ n, q ∈ {1, 4}.

(2.2.13)  ∑_{1≤p≤n,1≤q≤4} B_{p,q}^{2} = nI.

Les propriétés (2.2.8), (2.2.9) et (2.2.10) proviennent des relations similaires de l’image Φ(ℝ^{n}) (voir (2.2.4)). Pour les autres relations, on prend deux éléments f et g dans A_{θ}, et on note par f̃ et g̃ ceux de A_{θ}/N définis par f +N et g +N, respectivement. Alors, on obtient :

⟨B_{p,q}f̃, g̃⟩_{λ} = λ(Φ_{p,q}f.ḡ) = λ(f.\overline{Φ_{p,q}g}) = ⟨f̃, B_{p,q}g̃⟩_{λ}.

On en conclut que les opérateurs (B_{p,q})_{p,q} sont symétriques. Afin de simplifier les notations, on peut toujours supposer que p vaut 1. Pour les autres opérateurs, la preuve est la même à cause la � symétrie � de la famille.)

Comme nous avons l’égalité :

Φ_{1,1}^{2} + Φ_{1,2}^{2} + Φ_{1,3}^{2} + Φ_{1,4}^{2} = 1,

en utilisant la linéarité de λ et le fait que chaque polynôme Φ_{1,j} est à valeurs réelles, on obtient les relations suivantes :

\begin{aligned}||f̃||_{λ}^{2} & = ||Φ_{1,1}f + N ||_{λ}^{2} + ||Φ_{1,2}f + N ||_{λ}^{2} + ||Φ_{1,3}f + N ||_{λ}^{2} + ||Φ_{1,4}f + N ||_{λ}^{2} \\ & = ||B_{1,1}f̃||_{λ}^{2} + ||B_{1,2}f̃||_{λ}^{2} + ||B_{1,3}f̃||_{λ}^{2} + ||B_{1,4}f̃||_{λ}^{2}. \end{aligned}

On en déduit que les B_{1,q}, pour q dans {1, ⋯, 4}, sont des contractions, et donc en particulier des opérateurs bornés.

Il ne nous reste plus maintenant qu’à prouver les relations (2.2.11), (2.2.12) et (2.2.13). Comme l’on sait que Φ_{1,1} = Φ_{1,1}^{2} + Φ_{1,2}^{2}, une fois de plus, en utilisant la linéarité de λ, on en déduit que :

⟨B_{1,1}f̃, f̃⟩_{λ} = λ(Φ_{1,1}ff̄) = λ(Φ_{1,1}^{2}ff̄) + λ(Φ_{1,2}^{2}ff̄) = ||B_{1,1}f̃||_{λ}^{2} + ||B_{1,2}f̃||_{λ}^{2} ≥ 0.

De plus, comme B_{1,1} est une contraction auto-adjointe, il s’ensuit l’inégalité : 0 ≤ B_{1,1} ≤ I. Pour B_{1,4} c’est exactement le même procédé qui fonctionne puisque Φ_{1,4} peut s’écrire Φ_{1,3}^{2} + Φ_{1,4}^{2}. En utilisant la relation (2.2.8), on peut montrer que B_{1,2} et B_{1,3} satisfont à :

B_{1,2}^{2} + B_{1,3}^{2} ≤ I.

Ceci revient à dire :

−I ≤ B_{1,2} = B_{1,3} ≤ I.

Enfin, pour ce qui est de (2.2.13), il nous suffit d’utiliser (2.2.6). Comme toutes ces égalités et inégalités sont vraies sur le quotient A_{θ}/N qui est un sous-espace dense de H_{λ}, ces relations sont également valables sur H_{λ} en utilisant la continuité des opérateurs.

On notera par B la famille commutative formée par les opérateurs auto-adjoints bornés (B_{p,q})_{1≤p≤n,1≤q≤4}. On notera σ(B) le spectre joint de B. Bien évidemment, σ(B) est un sous-ensemble compact de (ℝ^{4})^{n}. De plus, en utilisant la théorie de Gelfand, on voit que chaque élément du spectre joint est, soit inclus dans Φ(ℝ^{n}), soit inclus dans au moins un des H_{i}. Pour ceci, prenons un x ∈ σ(B), et soit γ un caractère (forme linéaire multiplicative) associé à x. On notera par (γ_{i,j})_{1≤i≤n,1≤j≤4} la famille (γ(B_{i,j}))_{1≤i≤n,1≤j≤4}. En utilisant les propriétés (2.2.8), (2.2.9), (2.2.10) et (2.2.12), on montre que x = (γ_{i,j})_{1≤i≤n,1≤j≤4} est dans Φ(ℝ^{n}) si et seulement si chaque γ_{i,1} est non nul ; si x n’est pas dans Φ(ℝ^{n}), il existe un entier i_{0} dans {1, ⋯, n} tel que γ_{i_{0},1} = 0. Alors, en utilisant (2.2.9) γ_{i_{0},2} = γ_{i_{0},3} = 0 et en appliquant les relations (2.2.8) et (2.2.12), on obtient également que γ_{i_{0},4} = 1. Par conséquent, x est dans H_{i_{0}}. Ceci se résume par l’inclusion :

(2.2.14)  σ(B) ⊆ Φ(ℝ^{n}) ∪ H, Φ(ℝ^{n}) ∩ H = ∅.

On définit alors deux boréliens σ_{0} et σ_{1} de ℝ^{N} :

\{ \begin{matrix}σ_{0} = σ(B) ∩ H, \\ σ_{1} = σ(B) ∩ Φ(ℝ^{n}). \end{matrix}

Comme B est une famille commutative d’opérateurs auto-adjoints, B admet une mesure spectrale jointe E. On peut noter que σ_{0} et σ_{1} sont deux ensembles disjoints. Par eux, on définit deux mesures positives en posant pour tout ensemble τ de la tribu borélienne de ℝ^{N} :

\{ \begin{matrix}ν(τ) = ⟨E(τ ∩ σ_{0})1, 1⟩_{λ}. \\ μ(τ) = ⟨E(τ ∩ σ_{1})1, 1⟩_{λ}, \end{matrix}

Par un changement de variables, on construit une troisième mesure positive ρ par les égalités :

ρ(τ′) = μ(Φ(τ′)), ∀τ′ borélien de ℝ^{n}.

On peut noter que ρ est bien une mesure puisque Φ est une bijection de ℝ^{n} sur Φ(ℝ^{n}) par le lemme 2.2.5, et par conséquent on peut toujours écrire :

ρ(τ′) = μ([Φ^{−1}]^{−1}(τ′)).

Alors, nous obtenons :

λ(P ∘ Φ) = ⟨P (B).1, 1⟩_{λ} = ∫_{ℝ^{N}} P.d⟨E.1, 1⟩_{λ}.

De plus, on sait que :

⟨E(τ)1, 1⟩_{λ} = ⟨E(τ ∩ σ_{0})1, 1⟩_{λ} + ⟨E(τ ∩ σ_{1})1, 1⟩_{λ}.

Par conséquent, λ(P ∘ Φ) peut s’écrire :

λ(P ∘ Φ) = ∫_{Φ(ℝ^{n})} P dμ + ∫_{ℝ^{N}} P dν.

Comme ν est à support dans H et μ dans Φ(ℝ^{n}), cela revient à :

λ(P ∘ Φ) = ∫_{Φ(ℝ^{n})} P dμ + ∫_{H} P dν = ∫_{ℝ^{n}}(P ∘ Φ) dρ + ∫_{H} P dν.

Et, par conséquent, on obtient bien la représentation désirée sous forme d’intégrales :

λ(P ∘ Φ) = ∫_{ℝ^{n}}(P ∘ Φ) dρ + ∫_{H} P dν.

2.2.8 Corollaire : Soit (τ_{1}, ⋯, τ_{m}) un m-uplet de fractions à coefficients réels dans A_{θ}. Soit T_{j} un polynôme à 4n variables tel que τ_{j} = T_{j} ∘ Φ, pour j dans {1, ⋯, m}. Supposons, enfin, que λ soit une forme linéaire semi-définie positive sur A_{θ} telle que l’on ait : λ(τ_{j}|f^{2}|) ≥ 0, ∀j ∈ {1, ⋯, m}.

Alors, on peut trouver deux mesures positives ρ et ν, à supports respectifs dans ∩_{j}(T_{j} ∘ Φ)^{−1}(ℝ_{+}) et ∩_{j}T_{j}^{−1}(ℝ_{+}) telles que, pour tout polynôme P dans ℂ_{N}[X], on ait :

(2.2.15)  λ(P ∘ Φ) = ∫_{I}(P ∘ Φ) dρ + ∫_{H′} P dν,

où I et H′ sont les ensembles ⋂_{j}(T_{j} ∘ ϕ)^{−1}(ℝ_{+}) et H ∩ ⋂_{j} T_{j}^{−1}(ℝ_{+}) respectivement.

Démonstration. Comme λ(τ_{j}|f^{2}|) est positif pour tout entier j ∈ {1, ⋯, m}, on obtient que les opérateurs (T_{j}(B))_{j} sont des opérateurs positifs également ; en effet :

⟨T_{j}(B)f̃, f̃⟩_{λ} = ⟨T_{j} ∘ Φf̃, f̃⟩_{λ} = ⟨τ_{j}f̃, f̃⟩_{λ} = λ(τ_{j}|f|^{2}) ≥ 0.

A nouveau, on va utiliser la théorie des caractères de Gelfand. Si γ en est un, on obtient en utilisant la linéarité et la multiplicativité que T_{j}(γ(B)) = γ(T_{j}(B)) ≥ 0. On en déduit que γ(B) est inclus dans T_{j}^{−1}(ℝ_{+}), et par conséquent, la mesure spectrale associée au spectre joint σ(B) a son support inclus dans ∩_{j}T_{j}^{−1}(ℝ_{+}).

Maintenant que l’on a décrit les formes linéaires semi-définies positives sur l’algèbre A_{θ}, on peut utiliser cette décomposition en somme de deux intégrales par rapport à des mesures positives pour décrire la structure de certains polynômes strictement positifs.

On commencera par rappeler un lemme dû à M. Putinar et F.-H. Vasilescu (voir lemme 4.1 de [Pu-Vas2] qui formalise une idée de G. Cassier dans [Cas2]).

2.2.9 Lemme (Putinar-Vasilescu 1999) : Soit S un espace vectoriel réel, et soit C un cône positif convexe inclus dans S tel qu’il vérifie l’égalité S = C −C. Supposons que l’on puisse écrire C sous la forme ∪_{d≥1}C_{d} où les C_{d} sont également des cônes convexes, tels que l’ensemble S_{d} = C_{d} − C_{d} soit un espace vectoriel de dimension finie, ceci pour tout entier d ≥ 1.

Notons par int(C_{d}) l’intérieur de C_{d} en tant que sous-ensemble de l’espace euclidien S_{d}.

Supposons qu’il existe un élément ξ ∈ C_{1} qui vérifie, pour tout d strictement positif et pour toute forme linéaire non identiquement nulle de S_{d}^{∗} qui est positive sur C_{d}, φ(ξ) > 0.

Soit r_{0} ∈ S_{d_{0}}\int(C_{d_{0}}), où d_{0} est un entier strictement positif ; alors il existe une forme linéaire χ définie sur S et à valeurs dans ℝ telle que χ(r_{0}) ≤ 0 et telle que χ soit strictement positive sur int(C_{d}) pour tout entier d plus grand que d_{0}.

En particulier, la restriction de la forme χ à C est positive.

2.2.10 Définition : Pour tout entier positif d, on définit l’espace vectoriel F_{d} en posant :

F_{d} = {g(t) = ∑_{α,β} a_{α,β}t^{α}θ(t)^{β} tel que α ≤ 2β ≤ 4D}, D = (d, ⋯, d).

Si P est un polynôme défini sur ℝ^{n}, on notera par δ_{j}(P) le degré de P en tant que polynôme en une seule variable X_{j} à coefficients dans l’anneau euclidien ℝ[X_{1}, ⋯, X_{j−1}, X_{j+1}, ⋯, X_{n}]. De plus, on notera par δ(P) (et on l’appellera le multi-degré de P), le multi-indice suivant :

(2.2.16)  δ(P) = {δ_{1}(P), ⋯, δ_{n}(P)}.

Soit C le cône positif engendré par les éléments de la forme r^{2} (r ∈ A_{θ}) et P_{j}θ^{γ(P_{j})/2}s^{2} (s ∈ A_{θ}), où les polynômes P_{1}, ⋯, P_{k} sont réels et fixés à multi-degrés pairs.

De la même manière, on notera par Σ le cône positif inclus dans C engendré par les éléments de la forme r^{2} (r ∈ A_{θ}).

Enfin, si P est un polynôme qui s’écrit P (X) = ∑_{α} g_{α}X^{α} tel que son multi-degré soit pair, on définit le polynôme P̃ en 3n variables par la formule :

(2.2.17)  P̃(X, Y, Z) = ∑_{α} g_{α}X^{β}Y^{α−2β}Z^{\frac{δ(P)}{2} +β−α},

le polynôme P̃ sera appelé dans cette section polynôme associé à P. De façon équivalente, on peut écrire P̃ sous la forme :

(2.2.18)  P̃(X, Y, Z) = Z^{\frac{δ(P)}{2}} ∑_{α} g_{α}(\frac{X}{Z})^{β}(\frac{Y}{Z})^{α−2β},

où β est le multi-indice ([\frac{α_{1}}{2} ], ⋯, [\frac{α_{n}}{2} ]) ( [.] représente la fonction partie entière ). Dans la suite, ce polynôme P̃ sera composé à droite par la fonction Φ ( en regardant P̃ comme un polynôme à 4n variables). Afin de bien comprendre la façon de composer, il est plus simple de réindexer les différentes variables. En se souvenant que chaque élément de Φ(ℝ^{n}) peut se mettre sous forme matricielle x = [x_{p,q}]_{1≤p≤n,1≤q≤4}, on écrira P̃ de la manière suivante :

(2.2.19) \begin{matrix}P̃(X_{1,1}, ⋯, X_{n,4}) \\ = ∑_{α} g_{α}X_{1,4}^{β_{1}} ⋯ X_{n,4}^{β_{n}}X_{1,2}^{α_{1}−2β_{1}} ⋯ X_{n,2}^{α_{n}−2β_{n}}X_{1,1}^{\frac{δ_{1}(P)}{2} +β_{1}−α_{1}} ⋯ X_{n,1}^{\frac{δn(P)}{2} +β_{n}−α_{n}}. \end{matrix}

Cela signifie que les n-variables X, Y et Z vont jouer le rôle de (Φ_{1,4}(t), ⋯, Φ_{n,4}(t)), (Φ_{1,2}(t), ⋯, Φ_{n,2}(t)) et (Φ_{1,1}(t), ⋯, Φ_{n,1}(t)) respectivement. Alors un calcul simple permet de relier P̃ et P. Si on a P, alors :

(2.2.20)  P (t)θ^{\frac{δ(P)}{2}} (t) = P̃ ∘ Φ(t), ∀t ∈ ℝ^{n}.

Si on connait P̃, on peut retrouver P par :

(2.2.21)  P̃(t′, t, 1) = P (t), ∀t ∈ ℝ^{n},

où t′ vaut (t_{1}^{2}, ⋯, t_{n}^{2}).

On peut noter, enfin, que la formule (2.2.19) nous donne un moyen explicite de trouver P̃ pour un P donné.

2.2.11 Théorème : Soit (P_{1}, ⋯, P_{k}) un k-uplet de polynômes de multi-degrés pairs 2D_{1}, ⋯, 2D_{k} respectivement. Supposons que P soit un polynôme strictement positif sur ∩_{i=1}^{k}P_{i}^{−1}(ℝ_{+}) \ {0}, de multi-degré 2D. Si P̃_{1}, ⋯, P̃_{k}, P̃ sont les polynômes associés à P_{1}, ⋯, P_{k} et P respectivement, et si ce dernier vérifie P̃(t) > 0 pour tout t dans H ∩ ∩_{i=1}^{k}P̃_{i}^{−1}(ℝ_{+}) où H a été défini au théorème 2.2.7 alors, il existe un multi-indice positif M et un nombre fini de polynômes à coefficients réels notés {q_{l}}_{l∈L} et {q_{i,l}}_{i∈{1,···,k},l∈L′} tels que :

(2.2.22)  P (t) = θ(t)^{2M}(∑_{l∈L} q_{l}^{2}(t) + ∑_{i=1}^{k} ∑_{l∈L′} P_{i}(t)q_{i,l}^{2}(t)), t ∈ ℝ^{n}, M ∈ ℤ_{+}^{n}.

Démonstration. On va commencer par montrer que l’on peut appliquer le lemme 2.2.9 et donc vérifier que toutes les hypothèses sont bien satisfaites. Pour ce faire, on pose C_{d} = C ∩ F_{d} et S_{d} = C_{d} − C_{d}. De manière évidente, S_{d} est un espace vectoriel. De plus, comme nous avons les inclusions C_{d} ⊂ S_{d} ⊂ F_{d}, S_{d} est de dimension finie. Pour prouver que A_{θ} = C − C, il suffit de remarquer que tout élément f de S peut s’écrire :

f = \frac{1}{4}([f + 1]^{2} − [f − 1]^{2}).

L’ensemble (C_{d+1} ∩ S_{d}) est inclus dans (C_{d+1} ∩ F_{d}) = (C ∩ F_{d+1} ∩ F_{d}). On en déduit que (C_{d+1} ∩ S_{d}) = (C ∩ F_{d}) = C_{d}. De plus, grâce aux trois inclusions suivantes (C_{d+1} ∩ S_{d}) ⊂ C_{d}, C_{d} ⊂ C_{d+1} et C_{d} ⊂ S_{d}, on obtient (C_{d+1} ∩ S_{d}) = C_{d}.

Il nous faut maintenant trouver un élément ξ ∈ C_{1} tel que, pour tout entier strictement positif d et pour toute forme linéaire non nulle φ dans S_{d}^{∗} qui est positive sur C_{d}, on ait φ(ξ) > 0.

Prenons ξ = 1, et fixons un entier naturel d. Soit φ une forme de S_{d}^{∗} qui s’annule en ξ, φ(ξ) = 0. On va prouver que φ est identiquement nulle sur S_{d}. Pour cela, il suffit de prouver que φ = 0 sur C.

On définit la fonction F^{2D}(t) = (1+t_{1}^{2})^{2d} ⋯ (1+t_{n}^{2})^{2d}; alors F^{2D}(t) est une somme de carrés où apparaissent les monômes t^{2α} = t_{1}^{2α_{1}} ⋯ t_{n}^{2α_{n}} pour tout α_{i} plus petit que 2d (i = 0, ⋯, n). Alors, on obtient :

1 − \frac{t^{2α}}{F^{2D}(t)} ∈ C_{d}, ∀α ≤ 2D.

Comme nous avons supposé que φ(1) = 0, on en déduit la positivité de −φ[\frac{t^{2α}}{F^{2D}(t)}] ≥

0. Or on a également : φ[\frac{t^{2α}}{F^{2D}(t)}] = φ[(\frac{t^{α}}{F^{D}(t)})^{2}] ≥ 0. En conclusion, cela démontre

l’égalité suivante :

(2.2.23)  φ[\frac{t^{2α}}{F^{2D}(t)}] = 0, ∀α ≤ 2D.

Soient α ≤ 2D et β ≤ 2D deux multi-indices. Alors les fractions \frac{t^{α}}{F^{D}(t)} et \frac{t^{β}}{F^{D}(t)} sont dans F_{d}. Pour tout nombre μ ∈ ℝ, on a :

φ[(\frac{t^{α}}{F^{D}(t)} + μ\frac{t^{β}}{F^{D}(t)})^{2}] = μ^{2}φ[\frac{t^{2β}}{F^{2D}(t)}] + 2μφ[\frac{t^{α+β}}{F^{2D}(t)}] + φ[\frac{t^{2α}}{F^{2D}(t)}] ≥ 0.

Grâce à l’égalité (2.2.23), nous obtenons :

φ[\frac{t^{2β}}{F^{2D}(t)}] = φ[\frac{t^{2α}}{F^{2D}(t)}] = 0.

Comme pour tout nombre réel μ, μφ[\frac{t^{α+β}}{F^{2D}(t)}] est positif, il en découle :

(2.2.24)  φ[\frac{t^{α+β}}{F^{2D}(t)}] = 0, ∀α ≤ 2D, ∀β ≤ 2D.

Si maintenant, on a α ≤ 4D, on découpe α en α_{1} + α_{2} avec α_{1} ≤ 2D et α_{2} ≤ 2D. En appliquant le résultat précédent à α_{1} et α_{2} on obtient :

(2.2.25)  φ[\frac{t^{α_{1}+α_{2}}}{F^{2D}(t)}] = φ[\frac{t^{α}}{F^{2D}(t)}] = 0, ∀α ≤ 4D.

Il ne nous reste plus qu’à prouver que φ[\frac{t^{α}}{F^{β}(t)}] est nul quand α ≤ 2β ≤ 4D. Pour ce faire, pour tout i ∈ {1, ⋯, n}, on écrit β_{i} = 2k_{i} + ε_{i}, avec ε_{i} ∈ {0, 1}. Alors, on peut donner les égalités :

\frac{t^{α}}{F^{β}(t)} = ∏_{i=1}^{n} \frac{t_{i}^{α_{i}}}{F_{i}^{2k_{i}+ε_{i}}(t)}, où F_{i}(t) = 1 + t_{i}^{2},

\frac{t^{α}}{F^{β}(t)} = ∏_{i=1,ε_{i}=0}^{n} \frac{t_{i}^{α_{i}}}{F_{i}^{2k_{i}+ε_{i}}} . ∏_{i=1,ε_{i}=1}^{n} \frac{t_{i}^{α_{i}}}{F_{i}^{2k_{i}+ε_{i}}(t)}.

Soit I l’ensemble des entiers i tels que ε_{i} = 0, et soit I′ l’ensemble des entiers i tels que ε_{i} = 1. Si (e_{1}, ⋯, e_{n}) est la base canonique de ℝ^{n}, on décompose en deux cas :

(a) Si i ∈ I, de l’inégalité α ≤ 2β ≤ 4D, on obtient α_{i} ≤ 4k_{i} ≤ 4d. On a alors :

\frac{t_{i}^{α_{i}}}{F^{(2k_{i})e_{i}}(t)} = \frac{t_{i}^{α_{i}}F^{(2d−2k_{i})e_{i}}(t)}{F^{(2d)e_{i}}(t)},

où le degré du numérateur est α_{i} + 2(2d − 2k_{i}), qui est toujours inférieur à 4d. (b) Si i ∈ I′, grâce à α ≤ 2β ≤ 4D, on en déduit α_{i} ≤ 4k_{i} + 2 ≤ 4d.

\frac{t_{i}^{α_{i}}}{F^{(2k_{i}+1)e_{i}}(t)} = \frac{t_{i}^{α_{i}}F^{e_{i}}(t)}{F^{(2k_{i}+2)e_{i}}(t)}.

Comme 2k_{i} + 1 ≤ 2d, 2k_{i} + 2 ≤ 2d, et on voit :

\frac{t_{i}^{α_{i}}}{F^{(2k_{i}+1)e_{i}}(t)} = \frac{t_{i}^{α_{i}}F^{e_{i}}(t)F^{(2d−2k_{i}−2)e_{i}}(t)}{F^{(2d)e_{i}}(t)},

où le degré du numérateur est α_{i}+2+2.(2d−2k_{i}−2), ce qui n’excède pas 4d également. Si on utilise, maintenant, l’écriture :

\frac{t^{α}}{F^{β}(t)} = \frac{t^{α}F^{2D−β}(t)}{F^{2D}(t)},

quand α ≤ 2β ≤ 4D, on peut utiliser les égalités (2.2.25) pour en conclure :

(2.2.26)  φ[\frac{t^{α}}{F^{β}(t)}] = 0 quand α ≤ 2β ≤ 4D.

Par conséquent φ est identiquement nul sur F_{d}. On peut donc appliquer le lemme 2.2.9 à notre cadre.

Nous avons clairement P θ^{δ(P)/2} qui est inclus dans F_{d} = S_{d}. Supposons que P θ^{δ(P)/2} ne soit pas dans Int(C_{d}) ; par le lemme 2.2.9, il existe alors une forme linéaire Ψ définie sur A_{θ} et à valeurs dans ℂ telle que sa restriction à C soit positive et telle que Ψ(P θ^{δ(P)/2}) soit négative. Grâce à la positivité de Ψ sur C, on peut appliquer le corollaire 2.2.8. Ceci entraîne qu’il existe deux mesures positives ρ et ν telles que l’on ait :

(2.2.27)  Ψ(P θ^{δ(P)/2}) = ∫_{I} P̃ ∘ Φ(t) dρ(t) + ∫_{H′} P̃(x) dν(x),

où P̃ ∘ Φ = P θ^{δ(P)/2}, I = ∩_{j}P_{j}^{−1}(ℝ_{+}) et H′ = H ∩ ⋂_{j} P̃_{j}^{−1}(ℝ_{+}). Si le support de ν est vide, alors le spectre σ(B) est complètement inclus dans l’image par Φ du support supp(ρ) de ρ, qui est un ensemble compact non vide. Mais on a supposé que P était strictement positif sur l’ensemble I, donc il en est de même pour la fonction P θ^{δ(P)/2} qui est P̃ ∘ Φ. Dans ces conditions, on a :

∫_{I} P̃ ∘ Φ(t) dρ(t) > 0.

Si ν a un support non vide, comme nous avons supposé que P̃(x) > 0 sur supp(ν), on a :

∫_{H′} P̃(x) dν(x) > 0.

Les deux mesures ne peuvent avoir toutes les deux un support vide simultanément car σ(B) est non vide. Dans tous les cas, on obtient :

(2.2.28)  0 ≥ Ψ(P θ^{\frac{δ(P)}{2}} ) = ∫_{ℝ^{n}} P̃ ∘ Φ dρ + ∫_{H} P̃ dν > 0.

Comme ceci est clairement impossible, on en déduit que P θ^{δ(P)/2} est dans l’intérieur d’au moins un C_{d}, et en particulier dans un C_{d}. Par conséquent, il existe un nombre fini d’éléments dans A_{θ}, {q_{l}}_{l∈L} et {q_{i,l}}_{i∈{1,···,k},l∈L′}, tel que :

P (t)θ(t)^{δ(P)/2} = ∑_{l∈L} q_{l}^{2}(t) + ∑_{i=1}^{k} ∑_{l∈L′} P_{i}(t)θ(t)^{δ(P_{i})/2}q_{i,l}^{2}(t), ∀t ∈ ℝ^{n},

ce qui revient à écrire que :

(2.2.29)  P (t) = ∑_{l′∈L_{1}} q_{1,l′}^{2}(t) + ∑_{i=1}^{k} ∑_{l′∈L′_{1}} P_{i}(t)θ(t)^{δ(P_{i})/2}q_{1,i,l′}^{2}(t), ∀t ∈ ℝ^{n},

où les {q_{1,l′}}_{l′∈L_{1}} et les {q_{1,i,l′}}_{i∈{1,···,k},l′∈L′_{1}} ne sont pas nécessairement dans A_{θ} (puisque le fait de multiplier par θ(t)^{δ(P)/2} ne nous permet plus de dire que ces fractions sont nécessairement bornées), mais leurs dénominateurs restent de la forme [θ(t)^{F}]^{−1} ( F ∈ ℤ_{+}^{n}). En mettant tout au même dénominateur, en utilisant le fait que chaque δ(P_{i}) est pair, on obtient :

(2.2.30)  P (t) = θ(t)^{2M}(∑_{l′∈L′} r_{l′}^{2}(t) + ∑_{i=1}^{k} ∑_{l′∈L′} P_{i}(t)r_{i,l′}^{2}(t)), t ∈ ℝ^{n},

où les {r_{l′}, r_{i,l′}}_{l′∈L′,i∈{1,···,k}} sont polynômes de ℝ_{n}[X].

2.2.12 Corollaire : Si P est un polynôme en n variables tel que son polynôme associé P̃ est strictement positif sur ℝ^{N} \ {0}, alors il existe un multi-indice M dans ℤ_{+}^{n} tel que l’on ait :

P (t) = θ(t)^{2M}{∑_{l∈L} q_{l}^{2}(t)}, ∀t ∈ ℝ^{n},

où les {q_{l}}_{l∈L} sont des polynômes de ℝ_{n}[X].

Démonstration. Comme P̃ est strictement positif sur ℝ^{N} \ {0}, P est strictement positif sur ℝ^{n} grâce à l’égalité (2.2.21). En particulier le multi-degré de P doit être pair. On peut donc appliquer le résultat précédent avec pour polynômes (P_{j})_{j} le monôme identiquement nul.

Le résultat suivant montre que, sous certaines conditions sur (uniquement) les coefficients dominants, on peut avoir une représentation du type de celle du théorème 2.2.11.

2.2.13 Théorème : Soit P un polynôme strictement positif sur ℝ^{n} tel que l’on puisse l’écrire sous la forme :

P (t) = ( ∑_{ε∈{0,1}^{n}\{0}} b_{εM}t^{2εM}) + Q(t),

où les réels b_{εM} sont strictement positifs pour tout ε . Si 2M = (2m_{1}, ⋯, 2m_{n}) est le multi-degré de P, on supposera que δ(Q) < 2M.

Alors, il existe un multi-indice N dans ℤ_{+}^{n} tel que l’on ait :

P (t) = θ^{2N}(t){∑_{l∈L} q_{l}^{2}(t)}, t ∈ ℝ^{n},

où les (q_{l})_{l∈L} sont des polynômes de ℝ_{n}[X].

Démonstration. Soit δ(P) le multi-degré de P, δ(P) = (2m_{1}, ⋯, 2m_{n}). Alors la fraction P (t)θ^{\frac{δ(P)}{2}} (t) est dans l’algèbre A_{θ}. Soit Σ le cône positif défini au début de la section. Comme dans le théorème 2.2.11, on peut utiliser le lemme 2.2.9 en posant Σ_{d} = F_{d} ∩ Σ. Supposons que P (t)θ^{δ(P)/2}(t) ne soit pas dans Int(Σ_{d}), alors il existe une forme linéaire Ψ de A_{θ} dans ℂ telle que sa restriction à Σ soit positive et telle que Ψ(P θ^{δ(P)/2}) soit négative.

Grâce à la positivité de Ψ sur Σ, le théorème 2.2.7 est applicable. Ceci entraîne qu’il existe deux mesures positives ρ et ν telles que l’on ait :

\begin{aligned}Ψ(P θ^{δ(P)/2}) & = ∫_{ℝ^{n}} P̃ ∘ Φ(t) dρ(t) + ∫_{H} P̃(x) dν(x) \\ & = ∫_{ℝ^{n}} P (t)θ^{δ(P)/2}(t) dρ(t) + ∫_{H} P̃(x) dν(x). \end{aligned}

Si supp(ρ) n’est pas vide, alors on a :

∫_{ℝ^{n}} P (t)θ^{δ(P)/2}(t) dρ(t) > 0.

Dans le cas contraire, forcément nous avons supp(ν) ≠ ∅; soit ζ ∈ supp(ν), ζ ∈ (ℝ^{4})^{n}. Alors, il existe un entier j_{0} dans {1, ⋯, n} tel que :

(2.2.31)  (ζ_{j_{0},1}, ζ_{j_{0},2}, ζ_{j_{0},3}, ζ_{j_{0},4}) = (0, 0, 0, 1)

(de la décomposition de σ(B) en deux parties disjointes incluses respectivement dans Φ(ℝ^{n}) et dans H). Par un changement d’indices, on peut toujours supposer que j_{0} = 1. On notera par M′ le multi-indice (m_{2}, ⋯, m_{n}). Dans ce cas, on a :

(2.2.32) \begin{aligned}P (t)θ^{\frac{δ(P)}{2}} (t) = & ∑_{ε∈\{0,1\}^{n}\\{0\}} b_{εM}t^{2εM}θ^{\frac{δ(P)}{2}} (t) + θ^{\frac{δ(P)}{2}} (t)Q(t). \\ = & ∑_{ε′∈\{0,1\}^{n−1}\\{0\}} b_{0,ε′M′}t^{(0,2ε′M′)}θ^{\frac{δ(P)}{2}} (t) \\ & + ∑_{ε′∈\{0,1\}^{n−1}} b_{m_{1},ε′M′}t_{1}^{2m_{1}}t^{(0,2ε′M′)}θ^{\frac{δ(P)}{2}} (t) + θ^{\frac{δ(P)}{2}} (t)Q(t). \end{aligned}

Alors, en utilisant la formule (2.2.19) on obtient :

(2.2.33)  \begin{aligned}P̃(x) & = ∑_{ε′∈\{0,1\}^{n−1}\\{0\}} b_{0,ε′M′}(x_{1,1})^{m_{1}}(x̂^{1})^{ε′M′} \\ & + ∑_{ε′∈\{0,1\}^{n−1}} b_{m_{1},ε′M′}(x_{1,4})^{m_{1}}(x̂^{1})^{ε′M′} + x_{1,1}Q_{1}(x) + x_{1,2}Q_{2}(x), \end{aligned}

avec la notation (x̂^{1})^{ε′M′} = ∏_{j=2}^{n} x_{j,4}^{ε_{j}m_{j}}x_{j,1}^{(1−ε_{j})m_{j}}. Comme nous avons supposé que le quadruplet (ζ_{1,1}, ζ_{1,2}, ζ_{1,3}, ζ_{1,4}) = (0, 0, 0, 1), on obtient :

P̃(ζ) = ∑_{ε′∈{0,1}^{n−1}} b_{m_{1},ε′M′}(ζ̂^{1})^{ε′M′},

avec la même notation (ζ̂^{1})^{ε′M′} = ∏_{j=2}^{n} ζ_{j,4}^{ε_{j}m_{j}} ζ_{j,1}^{(1−ε_{j})m_{j}}.

Soit b le minimum de l’ensemble {b_{m_{1},ε′M′}, ε′ ∈ {0, 1}^{n−1}}. Comme tous les nombres réels ζ_{j,4} et ζ_{j,1} sont positifs, on minore :

(2.2.34)  P̃(ζ) ≥ b ∑_{ε′∈{0,1}^{n−1}}(ζ̂^{1})^{ε′M′} = b ∑_{ε′∈{0,1}^{n−1}} ∏_{j=2}^{n} ζ_{j,4}^{ε_{j}m_{j}} ζ_{j,1}^{(1−ε_{j})m_{j}}.

On peut remarquer que dans la somme ∑_{ε′∈{0,1}^{n−1}} ∏_{j=2}^{n} ζ_{j,4}^{ε_{j}m_{j}} ζ_{j,1}^{(1−ε_{j})m_{j}} tous les éléments de la forme ∏_{j=2}^{n} ζ_{j,∗_{j}}^{m_{j}} apparaissent une fois, où ∗_{j} prend les valeurs 1 et 4, donc cette expression peut également s’écrire :

∑_{ε′∈{0,1}^{n−1}} ∏_{j=2}^{n} ζ_{j,4}^{ε_{j}m_{j}} ζ_{j,1}^{(1−ε_{j})m_{j}} = ∏_{j=2}^{n}(ζ_{j,1}^{m_{j}} + ζ_{j,4}^{m_{j}}).

Par conséquent, on obtient :

(2.2.35)  P̃(ζ) ≥ b ∏_{j=2}^{n}(ζ_{j,1}^{m_{j}} + ζ_{j,4}^{m_{j}}).

Enfin, puisque ζ_{j,1} et ζ_{j,4} sont positifs et ne peuvent s’annuler simultanément, pour tout entier j (comme ζ est dans le spectre de B, en utilisant (2.2.8), (2.2.9) et (2.2.12), on sait que si ζ_{j,1}est nul on a ζ_{j,4} = 1), on obtient P̃(ζ) > 0, ce qui entraîne bien sûr :

∫_{H} P̃ dν > 0.

Comme les deux supports ne peuvent être vides simultanément, on obtient :

0 ≥ Ψ(P θ^{\frac{δ(P)}{2}} ) = ∫_{ℝ^{n}} P̃ ∘ Φ dρ + ∫_{H} P̃ dν > 0,

avec P̃ ∘ Φ = P θ^{δ(P)/2}. Ceci étant clairement impossible, on en déduit que P θ^{δ(P)/2} est dans l’intérieur d’un des cônes Σ_{d} et, en particulier, dans un Σ_{d}. Par conséquent, il existe un nombre fini d’éléments dans A_{θ}, notés {q_{l}}_{l∈L}, tels que :

P (t)θ(t)^{δ(P)/2} = ∑_{l∈L} q_{l}^{2}(t), t ∈ ℝ^{n}.

En conclusion, il existe un nombre fini d’éléments de ℝ_{n}[X], {q′_{l′}}_{l′∈L′}, vérifiant :

(2.2.36)  P (t) = θ^{2N}(t) ∑_{l′∈L′} q_{l′}^{′2}(t), t ∈ ℝ^{n}.

Ceci achève la démonstration.

Le théorème 2.2.13 nous donne une représentation de polynômes strictement positifs sur ℝ^{n}, où nous ne demandons pas des conditions de positivité sur le polynôme associé. Ce résultat peut être vu comme un cas particulier du théorème d’E. Artin qui répond au 17ième problème de Hilbert (posé à Paris en 1900).

2.2.14 Exemple : Comme nous l’avons déjà dit dans l’introduction, un des exemples les plus simples de polynômes strictement positifs qui ne peut s’écrire comme somme de carrés de polynômes est celui trouvé par Motzkin en 1967 :

x_{1}^{2}x_{2}^{2}(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} − 1) + 1.

On pose le polynôme suivant :

P (x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{6}x_{2}^{6} + x_{1}^{6} + x_{2}^{6} + x_{1}^{2}x_{2}^{2}(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} − 1) + 1.

Un calcul simple nous donne :

P̃(X, Y, Z) = X_{1}^{3}X_{2}^{3} + X_{1}^{3}Z_{2}^{3} + Z_{1}^{3}X_{2}^{3} + X_{1}^{2}Z_{1}X_{2}Z_{2}^{2} + X_{1}Z_{1}^{2}X_{2}^{2}Z_{2} − X_{1}Z_{1}^{2}X_{2}Z_{2}^{2} + Z_{1}^{3}Z_{2}^{3}.

En particulier, P̃(X, Y, 0) = X_{1}^{3}X_{2}^{3}, donc P̃ ne vérifie pas les conditions du corollaire 2.2.12. Néanmoins, en utilisant le théorème précédent 2.2.13, P est dans le cône positif Σ, c’est-à-dire qu’il peut s’écrire comme somme de fractions rationnelles avec des dénominateurs de la forme [θ^{F}]^{−1} avec F dans ℤ_{+}^{2}.

La proposition suivante généralise le théorème 2.2.13, la démonstration utilisée en est très similaire. L’avantage du théorème 2.2.13 est que nous avons un exemple concret de décomposition de P qui convient alors que, dans ce qui suit, on suppose qu’il existe une � bonne décomposition. �

2.2.15 Proposition : Soit (P_{1}, ⋯, P_{m}) un m-uplet de polynômes en n variables, positifs sur ℝ^{n}. Soient g_{0} et g_{1} deux polynômes tels que δ(g_{0}) < δ(g_{1}). Supposons que le polynôme g̃_{1} associé à g_{1} vérifie g̃_{1}(x) > 0 pour tout x dans H′ (H′ défini au corollaire 2.2.8). Si P = g_{0}+g_{1} est strictement positif sur ⋂_{k=1}^{m} P_{k}^{−1}(ℝ^{+}), alors il existe K dans ℤ_{+}^{n} tel que :

P (t) = θ(t)^{2K}{∑_{l∈L} q_{l}^{2}(t) + ∑_{k=1}^{m} ∑_{l∈L′_{k}} P_{k}(t)q_{l,k}^{2}(t)}, t ∈ ℝ^{n},

où les q_{l} et les q_{l,k} sont des polynômes.

Démonstration. C’est la même méthode que celle du théorème 2.2.13. Si P ∉ Int(C_{d}), il existe une forme linéaire λ sur S telle que l’on ait :

λ(P θ^{δ(P)/2}) = ∫_{I} P̃ ∘ Φdρ + ∫_{H′} P̃dν = ∫_{I} P θ^{δ(P)/2}dρ + ∫_{H′} P̃dν

Si on a supp(ρ) ≠ ∅, l’inégalité suivante est vérifiée :

∫_{I} P θ^{δ(P)/2}dρ > 0,

par le corollaire 2.2.8. Or,

(2.2.37)  P̃ = ∑_{α} Z^{δ(P)/2} ∑ c_{α}(\frac{X}{Z})^{β}(\frac{Y}{Z})^{α−2β},

si on utilise la notation habituelle pour P, comme P = g_{0} + g_{1}, on a P̃ = g̃_{1} + Q où

Q = ∑_{ε_{i}∈{1,2}; i=1,···,n} x_{1,ε_{1}} ⋯ x_{n,ε_{n}}Q_{ε_{1},···,ε_{n}}(x).

Donc si ζ est dans l’ensemble σ(B) \ Φ(ℝ^{n}), P̃(ζ) = g̃_{1}(ζ) > 0 car, par le théorème 2.2.8, ζ ∈ H′. Dans ce cas, on obtient :

∫_{H′} P̃dν > 0.

Enfin, on conclut comme dans le théorème 2.2.13.

2.2.16 Remarques :

(1) La méthode que nous avons utilisée ici pour la représentation de polynômes positifs sur des ensembles semi-algébriques se généralise au cas des polynômes positifs sur un fermé quelconque de ℝ^{n}. Il suffit de reprendre l’idée de la section 1 du chapitre I, c’est-à-dire travailler avec une famille dénombrable de polynômes plutôt qu’une famille finie comme cela a été le cas dans toute cette section.

(2) Afin de ne pas trop compliquer les notations et, en accord avec les résultats parus dans [De], nous nous sommes seulement occupé de fractions avec des dénominateurs du type :

(1 + t_{1}^{2})^{β_{1}} ⋯ (1 + t_{n}^{2})^{β_{n}}, β_{i} ∈ ℤ_{+}, i = 1, ⋯, n.

Mais, comme cela a été le cas dans la section qui traite du problème des moments non bornés, on aurait pu travailler sur des fractions avec des dénominateurs plus compliqués. L’inconvénient aurait alors été de donner des exemples concrets de polynômes vérifiant les conditions des théorèmes trouvés.

(3) On peut remarquer que les méthodes utilisées nous permettent de contrôler les puissances apparaissant dans les dénominateurs des fractions qui interviennent dans les décompositions.

Jusqu’à présent, nous nous sommes occupés de polynômes de multi-degrés pairs. On peut donner des représentations pour des polynômes de multi-degrés quelconques, mais à ce moment là, nous ne pourrons pas uniquement utiliser des fractions rationnelles mais nous serons amené à introduire une algèbre de fractions où les dénominateurs seront du type suivant :

(1 + t_{1}^{2})^{β_{1}/2} ⋯ (1 + t_{n}^{2})^{β_{n}/2}, β_{i} ∈ ℤ_{+}, i = 1, ⋯, n.

Les preuves seront semblables à celles déjà utilisées dans cette section.

2.2.17 Définition : Pour tout multi-indice β = (β_{1}, ⋯, β_{n}) dans ℤ_{+}^{n}, on définit les fonctions Δ^{β} sur ℝ^{n} et à valeurs dans ℝ par les relations :

Δ^{β}(t) = Δ_{1}^{β_{1}}(t) ⋯ Δ_{n}^{β_{n}}(t), où Δ_{i}(t) = (1 + t_{i}^{2})^{−1/2}, t ∈ ℝ^{n}.

On définit comme précédemment l’algèbre A_{Δ} comme étant l’ensemble des fractions bornées avec des dénominateurs de la forme : [Δ^{β}(t)]^{−1}. Alors la fonction Ψ de ℝ^{n} à valeurs dans M_{n×2} sera donnée par la formule :

(2.2.38) Ψ(t_{1}, ⋯, t_{n}) = [Ψ_{p,q}(t_{1}, ⋯, t_{n})]_{1≤p≤n,1≤q≤2} = [ \begin{matrix}\frac{1}{(1 + t_{1}^{2})^{1/2}} & \frac{t_{1}}{(1 + t_{1}^{2})^{1/2}} \\ ⋮ & ⋮ \\ \frac{1}{(1 + t_{n}^{2})^{1/2}} & \frac{t_{n}}{(1 + t_{n}^{2})^{1/2}} \end{matrix} ] .

2.2.18 Remarques :

(1) Comme dans le lemme 2.2.5, la fonction Ψ est injective sur ℝ^{n}. En effet, si on a x = (x_{p,q})_{1≤p≤n,1≤q≤2} ∈ Ψ(ℝ^{n}), on peut écrire x = Ψ(t) avec t = (x_{1,2}/x_{1,1}, ⋯, x_{n,2}/x_{n,1}). De plus on peut décrire complètement l’image, Ψ(ℝ^{n}), de Ψ :

(2.2.39)  Ψ(ℝ^{n}) = \{ \begin{matrix}x = (x_{p,q})_{1≤p≤n,1≤q≤2}, \\ x_{i,1} > 0, ∀i ∈ \{1, ⋯, n\}, \\ x_{i,1}^{2} + x_{i,2}^{2} = 1, ∀i ∈ \{1, ⋯, n\} \end{matrix} \} .

On définit, sur A_{Δ}, des applications linéaires (C_{p,q})_{1≤p≤n,1≤q≤2} en posant :

A_{Δ} ∋ f → C_{p,q}(f) = Ψ_{p,q}.f ∈ A_{Δ}.

(2) On peut associer à chaque polynôme P, un second P̂ qui est homogène en chaque variable : si on écrit P (X) = ∑_{α} c_{α}X^{α}, son polynôme homogène associé sera :

(2.2.40)  P̂(Z, X) = Z^{δ(P)} ∑_{α} c_{α}(\frac{X}{Z})^{α} = ∑_{α} c_{α}X^{α}Z^{δ(P)−α} = Z^{δ(P)}P (\frac{X}{Z}).

On peut relier les polynômes P et P̂ par les deux égalités suivantes :

(2.2.41)  P̂(1, t) = P (t), ∀t ∈ ℝ^{n}.
(2.2.42)  P̂ ∘ Ψ(t) = P (t)Δ^{δ(P)}(t), ∀t ∈ ℝ^{n}.

(3) Les relations (2.2.40) et (2.2.41) nous montrent que l’on peut envoyer chaque polynôme dans A_{Δ} via son polynôme homogène associé et une composition par Ψ. Inversement, chaque élément f de A_{Δ} peut s’écrire sous la forme P_{f} ∘ Ψ pour un certain polynôme P_{f} en 2n variables (sa représentation peut ne pas être unique). Cette dernière remarque nous autorise à voir que le théorème suivant est en fait valable sur tout A_{Δ}.

2.2.19 Théorème : Soit λ une forme liéaire semi-définie positive sur A_{Δ}, telle que λ_{ε_{1},···,ε_{n}}(∗) = λ(Δ^{ε_{1}e_{1}+···+ε_{n}e_{n}}∗) soient aussi semi-définies positives, pour tout (ε_{1}, ⋯, ε_{n}) dans {0, 1}^{n}. Alors il existe une mesure ρ, à support inclus dans ℝ^{n}, et une seconde ν, à support inclus dans G, telles que pour tout polynôme P ∈ ℂ_{2n}[X], on ait :

(2.2.43)  λ(P ∘ Ψ) = ∫_{ℝ^{n}}(P ∘ Ψ)dρ + ∫_{G} P dν.

où G est l’ensemble ⋃_{i=1}^{n} G_{i} avec G_{i} = G_{i}^{−} ∪ G_{i}^{+},

G_{i}^{−} = {x = (x_{p,q}); x_{i,1} = 0, x_{i,2} = −1, ||x||^{2} = n}, ∀i ∈ {1, ⋯, n}.
G_{i}^{+} = {x = (x_{p,q}); x_{i,1} = 0, x_{i,2} = +1, ||x||^{2} = n}, ∀i ∈ {1, ⋯, n}.

Démonstration : On utilise la construction de Gelfand et Naimark. Soit λ une forme comme dans l’énoncé. Alors nous avons λ(Δ^{β}|f|^{2}) ≥ 0 grâce aux conditions de positivité des formes linéaires λ_{ε_{1},···,ε_{n}}(∗). Soit H_{λ} l’espace de Hilbert associé à λ dans la construction de Gelfand et Naimark. On définit les applications (Ĉ_{p,q})_{1≤p≤n,1≤q≤2} sur H_{λ} comme l’ont été les (C_{p,q})_{1≤p≤n,1≤q≤2} sur A_{Δ} ; les opérateurs (Ĉ_{p,q})_{1≤p≤n,1≤q≤2} sont tous bornés et auto-adjoints. De plus, cette famille Ĉ est commutative et vérifie :

(2.2.44)  Ĉ_{p,1}^{2} + Ĉ_{p,2}^{2} = I, for p in {1, ⋯, n}.

(2.2.45)  0 ≤ Ĉ_{p,1} ≤ I, for 1 ≤ p ≤ n.

(2.2.46)  ∑_{1≤p≤n,1≤q≤2} Ĉ_{p,q}^{2} = nI.

Les propriétés (2.2.44) et (2.2.46) se déduisent directement de celles des éléments de Ψ(ℝ^{n}). Pour ce qui est des autres, on prend deux éléments f et g dans A_{Δ}, et on note par f̂ et ĝ les éléments f + N et g + N de A_{Δ}/N , respectivement. Alors, on obtient :

⟨Ĉ_{p,q}f̂, ĝ⟩_{λ} = λ(Ψ_{p,q}f.ḡ) = λ(f.\overline{Ψ_{p,q}g}) = ⟨f̂, Ĉ_{p,q}ĝ⟩_{λ}.

Ceci entraîne que tous les Ĉ_{p,q} sont effectivement des opérateurs symétriques. On sait également l’égalité :

Ψ_{p,1}^{2} + Ψ_{p,2}^{2} = 1.

Ceci entraîne, en utilisant la linéarité de λ et le fait que chaque Ψ_{p,q} est à valeurs réelles, que l’on obtient la relation :

(2.2.47)  \begin{aligned}||f̂||_{λ}^{2} & = ||Ψ_{p,1}f + N ||_{λ}^{2} + ||Ψ_{p,2}f + N ||_{λ}^{2}. \\ & = ||Ĉ_{p,1}f̂||_{λ}^{2} + ||Ĉ_{p,2}f̂||_{λ}^{2}. \end{aligned}

Donc, on en déduit que chaque opérateur Ĉ_{p,q} est une contraction. De plus, la propriété (2.2.45) provient de la contractivité et de l’hypothèse de positivité des formes linéaires λ_{1,0,···,0}, ⋯, λ_{0,···,0,1}. Comme toutes ces identités et inégalités sont vraies sur A_{Δ}/N , qui est un sous-espace dense de H_{λ}, ces relations restent vraies sur H_{λ}, grâce à la continuité des opérateurs.

Soit σ(Ĉ) le spectre joint de la famille commutative d’opérateurs (Ĉ_{p,q})_{1≤p≤n,1≤q≤2} auto-adjoints ; σ(Ĉ) est un sous-ensemble de ℝ^{2n}. Alors, grâce à la théorie de Gelfand, chaque élément de ce spectre joint est inclus dans Ψ(ℝ^{n}) ou dans au moins un G_{i} (cela dépend du fait de la positivité ou de la stricte positivité de tous les γ(Ĉ_{p,1}) où γ est un caractère). On divise σ(Ĉ) en deux sous-ensembles boréliens disjoints : σ_{0} = σ(Ĉ) ∩ Ψ(ℝ^{n}) et σ_{1} = σ(Ĉ) ∩ G. Puis, on introduit des mesures positives grâce à ces sous-ensembles :

(2.2.48)  \{ \begin{matrix}ν(τ) = ⟨E(τ ∩ σ_{0})1, 1⟩_{λ}, \\ μ(τ) = ⟨E(τ ∩ σ_{1})1, 1⟩_{λ}, \\ ρ(τ′) = μ(Ψ(τ′)), \end{matrix}

pour chaque paire (τ,τ′) (τ dans la tribu borélienne de ℝ^{2n} et τ′ dans celle de ℝ^{n}), où E est la mesure spectrale associée à la famille commutative Ĉ. Alors, on a :

λ(P ∘ Ψ) = ⟨P (Ĉ)1, 1⟩_{λ} = ∫_{ℝ^{2n}} P d⟨E.1, 1⟩_{λ}.

Ceci implique l’égalité :

λ(P ∘ Ψ) = ∫_{Ψ(ℝ^{n})} P dμ + ∫_{G} P dν = ∫_{ℝ^{n}}(P ∘ Ψ) dρ + ∫_{G} P dν.

Si l’on demande des conditions de positivités supplémentaires, on peut connaître plus précisément les supports des deux mesures positives μ et ν. Ceci se traduit par le résultat suivant :

2.2.20 Corollaire : Soit (τ_{1}, ⋯, τ_{m}) un m-uplet d’éléments, à coefficients réels, dans A_{Δ}. Il existe des polynômes T_{j} à 2n variables tels que τ_{j} = T_{j} ∘ Ψ, pour tout j dans {1, ⋯, m}. Soit également λ forme linéaire semi-définie positive telle que les formes suivantes [λ_{ε_{1},···,ε_{n}}(∗) = λ(Δ^{ε_{1}e_{1}+···+ε_{n}e_{n}}∗)]_{(ε_{1},···,ε_{n})∈{0,1}^{n}} et [λ(τ_{j}∗)]_{j∈{1,···,m}} soient aussi semi-définies positives. Alors, on peut trouver deux mesures positives ρ et ν, dont leurs supports soient inclus dans ∩_{j}(T_{j} ∘ Ψ)^{−1}(ℝ_{+}) et ∩_{j}T_{j}^{−1}(ℝ_{+}) respectivement, telles que l’on ait :

(2.2.49)  λ(P ∘ Ψ) = ∫_{I}(P ∘ Ψ) dρ + ∫_{G′} P dν,

où, I est l’ensemble ⋂_{j}(T_{j} ∘ Ψ)^{−1}(ℝ_{+}) et G′ = G ∩ ⋂_{j} T_{j}^{−1}(ℝ_{+}).

C’est exactement la même démonstration que pour le corollaire 2.2.8.

2.2.21 Notation : On notera par D le multi-indice (d, ⋯, d) et soit (P_{1}, ⋯, P_{k}) k-uplets de polynômes. Alors, pour chaque entier positif d, on définit :

Q_{d} = {g(t) = ∑_{α,β} a_{α,β}t^{α}Δ(t)^{β} avec α ≤ β ≤ 2D}.

On pose maintenant C′ comme étant le cône positif engendré par les éléments de l’ensemble {r^{2}, Ψ_{1,j_{1}} ⋯ Ψ_{1,j_{l}}r^{2}, P_{m}Δ^{δ(P_{m})}s^{2} et Ψ_{1,j_{1}} ⋯ Ψ_{1,j_{l}}P_{m}Δ^{δ(P_{m})}s^{2} où r, s ∈ A_{Δ}, (j_{1}, ⋯, j_{l}) ∈ {1, ⋯, n}^{l}, 1 ≤ m ≤ k}. De la même manière, on note par Σ′ le cône positif inclus dans C′ et engendré par les éléments {r^{2}, Ψ_{1,j_{1}} ⋯ Ψ_{1,j_{l}}r^{2}, r ∈ A_{Δ}, (j_{1}, ⋯, j_{l}) ∈ {1, ⋯, n}^{l}}.

2.2.22 Théorème : Soit (P_{1}, ⋯, P_{k}) un k-uplet de polynômes de degrés arbitraires et soit P un polynôme strictement positif sur ∩_{i=1}^{k}P_{i}^{−1}(ℝ_{+}) \ {0}. Soient P̂_{1}, ⋯, P̂_{k}, P̂ leurs polynômes homogènes (en chaque variable) associés respectivement. On suppose que l’on a P̂(x) > 0 pour tout x non nul dans G ∩ ∩_{i=1}^{k}P̂_{i}^{−1}(ℝ_{+}) où G a été défini dans le théorème 2.2.19. Alors, il existe un multi-indice positif M = (m_{1}, ⋯, m_{n}) et un nombre fini de polynômes à coefficients réels {q_{l}, q_{j,l}, r_{i,l}, r_{i,j,l}}, l ∈ L, i ∈ {1, ⋯, k}, j ∈ {1, ⋯, n} tels

que l’on ait \sqrt{1 + t_{1}^{2}}^{m_{1}} ⋯ \sqrt{1 + t_{n}^{2}}^{m_{n}}P (t) qui s’écrit :

(2.2.50)  \begin{matrix}∑_{l∈L} q_{l}^{2}(t, Δ(t)) + ∑_{(ε_{1},···,ε_{n})∈\{0,1\}^{n}} ∏_{j=1}^{n}(1 + t_{j}^{2})^{ε_{j}/2} ∑_{l∈L} q_{j,l}^{2}(t, Δ(t)) \\ + ∑_{i=1}^{k} P_{i}(t) ∑_{l∈L} r_{i,l}^{2}(t, Δ(t)) \\ + ∑_{i=1}^{k} P_{i}(t) ∑_{(ε_{1},···,ε_{n})∈\{0,1\}^{n}} ∏_{j=1}^{n}(1 + t_{j}^{2})^{ε_{j}/2} ∑_{l∈L} r_{i,j,l}^{2}(t, Δ(t)) \end{matrix}

pour tout t ∈ ℝ^{n}.

Démonstration. On veut appliquer un résultat sur l’existence de formes linéaires semi-définies positives dû à [Pu-Vas2]. On commence par vérifier les conditions du lemme 2.2.9. On pose C′_{d} = C′ ∩ Q_{d} et S′_{d} = C′_{d} − C′_{d}, qui sont des espaces vectoriels pour tout entier positif d. On a C′_{d} ⊂ S′_{d} ⊂ Q_{d}, donc S′_{d} est un espace de dimension finie. On obtient également A_{Δ} = C′ − C′, puisque chaque élément f de S′ peut s’écrire de la manière \frac{1}{4}([f + 1]^{2} − [f − 1]^{2}). De plus, on a :

(C′_{d+1} ∩ S′_{d}) ⊂ (C′_{d+1} ∩ Q_{d}) = (C′ ∩ Q_{d+1} ∩ Q_{d}) = (C′ ∩ Q_{d}) = C′_{d}.

Comme on a les trois inclusions suivantes : (C′_{d+1} ∩ S′_{d}) ⊂ C′_{d}, C′_{d} ⊂ C′_{d+1}, C′_{d} ⊂ S′_{d}, on en conclut que l’égalité (C′_{d+1} ∩ S′_{d}) = C′_{d} est satisfaite. On veut, maintenant, prouver qu’il existe un élément ξ ∈ C′_{1}, tel que pour tout entier strictement positif d et pour toute forme linéaire φ non identiquement nulle sur S′_{d} et positive sur C′_{d}, on ait φ(ξ) > 0.

Pour prouver ceci, on prend ξ = 1 et on suppose que φ(ξ) = 0. Le but est de montrer que, sous ces conditions, la forme φ est identiquement nulle sur C′_{d}. En développant, on a Δ^{−2D}(t) = (1 + t_{1}^{2})^{d} ⋯ (1 + t_{n}^{2})^{d} = ∑_{α≤D} t^{2α} qui est une somme de carrés où apparaissent les t^{2α} = t_{1}^{2α_{1}} ⋯ t_{n}^{2α_{n}} pour lesquels les α_{i} sont plus petits que d pour tout entier i compris entre 1 et n.

En particulier on a 1 − t^{2α}Δ^{2D}(t) ∈ C′_{d}, ∀α ≤ D. Comme φ(1) = 0, on en déduit φ[t^{2α}Δ^{2D}(t)] = 0, ∀α ≤ D. Si l’on suppose α ≤ D, β ≤ D et x ∈ ℝ, il en découle que t^{α}Δ^{D}(t) et t^{β}Δ^{D}(t) sont dans Q_{d}. Par conséquent, on a φ[(t^{α}Δ^{D}(t)+x t^{β}Δ^{D}(t))^{2}] = 0. Et comme φ[t^{2β}Δ^{2D}(t)] = φ[t^{2α}Δ^{2D}(t)] = 0, xφ[t^{α+β}Δ^{2D}(t)] est positif quel que soit x, et donc :

(2.2.51)  φ[t^{α+β}Δ^{2D}(t)] = 0, ∀α ≤ D, ∀β ≤ D.

Si α ≤ 2D, on écrit α = α_{1} + α_{2} où α_{1} ≤ D et α_{2} ≤ D. On applique alors (2.2.51) avec α_{1} et α_{2} pour obtenir φ[t^{α_{1}+α_{2}}Δ^{2D}(t)] = φ[t^{α}Δ^{2D}(t)] = 0, ∀α ≤ 2D. En conclusion, en écrivant t^{α}Δ^{β}(t) = [t^{α}Δ^{β−2D}(t)]Δ^{2D}(t), lorsque α ≤ β ≤ 2D, on peut appliquer l’argument précédent et on obtient finalement :

(2.2.52)  φ[t^{α}Δ^{β}(t)] = 0 quand α ≤ β ≤ 2D.

Donc la forme φ est nulle sur Q_{d}, et donc on peut appliquer le lemme 4.1 de [PuVas2]. On peut aussi noter que l’on a Q_{d} = S′_{d} pour tout entier positif d.

Comme P Δ^{δ(P)} ∈ Q_{d} pour un certain d, on a P Δ^{δ(P)} ∈ S′_{d}. Supposons que P Δ^{δ(P)} ∉ Int(C′_{d}), alors il existe une forme linéaire φ définie sur A_{Δ} telle que sa restriction à C′ soit positive et telle que φ(P Δ^{δ(P)}) ≤ 0. Grâce à la positivité de φ sur C′, on peut utiliser le corollaire 2.2.20. Par conséquent, on peut trouver deux mesures positives ρ et ν, telles que l’on ait :

φ(P Δ^{δ(P)}) = ∫_{I} P̂ ∘ Ψ dρ + ∫_{G′} P̂ dν,

où P̂ ∘ Ψ n’est autre que P Δ^{δ(P)}, I = ⋂_{j}(P_{j})^{−1}(ℝ_{+}) et G′ = G ∩ ⋂_{j} P̃_{j}^{−1}(ℝ_{+}) (voir

le corollaire 2.2.20 pour la définition de ces ensembles). Ces deux mesures ne peuvent avoir des supports tous les deux vides. En effet le spectre joint σ(Ĉ) est un ensemble qui est non vide. Enfin, en utilisant la condition de stricte positivité de notre polynôme P, on obtient la contradiction suivante :

0 ≥ φ(P Δ^{δ(P)}) = ∫_{ℝ^{n}} P̂ ∘ Ψ dρ + ∫_{G′} P̂ dν > 0.

On en conclut donc que P Δ^{δ(P)} est nécessairement dans l’intérieur de C′_{d}, et donc en particulier dans C′_{d} lui-même. Ceci est équivalent à dire qu’il existe un nombre fini d’éléments dans A_{Δ}, notés {q_{l,ε}, q_{i,l,ε}}, l ∈ L, i ∈ {1, ⋯, k}, j ∈ {1, ⋯, n}, tels que l’on puisse écrire :

P (t)Δ(t)^{δ(P)} = ∑_{(ε_{1},···,ε_{n})∈{0,1}^{n}} ∏_{j=1}^{n}(1 + t_{j}^{2})^{ε_{j}/2}[ ∑_{l∈L} q_{l,ε}^{2}(t) + ∑_{i=1}^{k} P_{i}(t)Δ(t)^{δ(P_{i})} ∑_{l∈L} q_{i,l,ε}^{2}(t)].

Enfin, en mettant le tout au même dénominateur, quite à multiplier par des polynômes, on obtient bien la formule (2.2.50).

2.2.23 Remarque : Dans le théorème 2.2.22, on a supposé P̂(t) > 0 pour tout t non nul dans G ∩ ∩_{i=1}^{k}P̂_{i}^{−1}(ℝ_{+}) et que P avait la même propriété pour tout élément dans ∩_{i=1}^{k}P_{i}^{−1}(ℝ_{+}) \ {0}. En pratique, il peut être difficile de déterminer G, et donc, on doit montrer la stricte positivité de P̂ sur tout l’ensemble ∩_{i=1}^{k}P̂_{i}^{−1}(ℝ_{+}) \ {0}. Mais cette condition devient alors suffisante pour impliquer la stricte positivité de P sur ∩_{i=1}^{k}P_{i}^{−1}(ℝ_{+}) \ {0}. En effet, si on a t ∈ ∩_{i=1}^{k}P_{i}^{−1}(ℝ_{+}) \ {0}, grâce à (2.2.41), on obtient P̂_{i}(1, t) = P_{i}(t) et par conséquent (1, t) ∈ ∩_{i=1}^{k}P̂_{i}^{−1}(ℝ_{+}). Et ceci nous permet d’affirmer la positivité :

P (t) = P̂(1, t) > 0.

2.2.24 Corollaire : Soit (P_{1}, ⋯, P_{k}) un k-uplet de polynômes de degrés arbitraires et soit P = g_{0} + g_{1} un polynôme strictement positif sur ∩_{i=1}^{k}P_{i}^{−1}(ℝ_{+}) \ {0}. Soient P̂_{1}, ⋯, P̂_{k}, P̂ leur polynômes homogènes associés, respectivement. Supposons que l’on ait ĝ_{1}(x) > 0 pour tout x dans G ∩ ∩_{i=1}^{k}P̂_{i}^{−1}(ℝ_{+}) \ {0} et que δ(g_{0}) < δ(g_{1}). Alors, il existe un multi-indice positif M = (m_{1}, ⋯, m_{n}) et un nombre fini de polynômes à coefficients réels {q_{l}, q_{j,l}, r_{i,l}, r_{i,j,l}}, l ∈ L, i ∈ {1, ⋯, k}, j ∈ {1, ⋯, n} tels que (2.2.50) soit vérifié.

Démonstration. Premièrement, on remarque que l’inégalité δ(g_{0}) < δ(g_{1}) implique P̂(x) = ĝ_{1}(x) > 0 pour tout x ∈ G ∩ ∩_{i=1}^{k}P̂_{i}^{−1}(ℝ_{+}) \ {0}. Par conséquent, on peut appliquer le théorème 2.2.22. Et donc il existe des fractions (q_{l}) et (q_{j,l}) dans A_{Δ} telles que l’on ait :

P (t)Δ(t)^{δ(P)} = ∑_{(ε_{1},···,ε_{n})∈{0,1}^{n}} ∏_{j=1}^{n}(1 + t_{j}^{2})^{ε_{j}/2}[ ∑_{l∈L} q_{l,ε}^{2}(t) + ∑_{i=1}^{k} P_{i}(t)Δ(t)^{δ(P_{i})} ∑_{l∈L} q_{i,l,ε}^{2}(t)].

2.2.25 Remarque : Si on suppose que l’on ait pris P_{1} = ⋯ = P_{k} = 0, on obtient une représentation pour P = g_{0} + g_{1} telle que δ(g_{0}) < δ(g_{1}) ; on suppose que le polynôme ĝ_{1} associé à g_{1} verifie l’inégalité ĝ_{1}(x) > 0 pour tout x dans G. Si P est strictement positif sur ℝ^{n} (en particulier le multi-degré de P est pair), alors il existe des polynômes tels que l’on ait :

P (t) = ∑_{(ε_{1},···,ε_{n})∈{0,1}^{n}} ∏_{j=1}^{n}(1 + t_{j}^{2})^{ε_{j}/2} ∑_{l∈L} q_{j,l}^{2}(t, Δ(t)),

pour tout t ∈ ℝ^{n}. Comme exemple, soit P (t) de la forme (∑_{ε∈{0,1}^{n}\{0}} b_{εM}t^{2εM}) + Q(t), avec b_{εM} > 0 pour tout ε non nul (on suppose, aussi, que δ(Q) < 2M), on peut facilement voir que g_{1} et g_{0} satisfont à l’hypothèse du corollaire précédent où g_{1}(t) = ∑_{ε∈{0,1}^{n}\{0}} b_{εM}t^{2εM} et g_{0}(t) = Q(t) (ce type de polynômes a été étudié dans le théorème 2.2.13 de cette section).

2.2.26 Exemple : Ici, on donne des exemples de polynômes pour lesquels le corollaire 2.2.24 s’applique. Pour ce faire, on reprend l’exemple utilisé dans la remarque précédente. On pose :

P_{i}(t) = t_{i}^{2a_{i}+1}, i = 1, ⋯, n,

P (t) = ∑_{ε∈{0,1}^{n}\{0}} b_{εM}t^{εM} + Q(t),

avec b_{εM} > 0 pour tout ε non nul et où le multi-indice M = (m_{1}, ⋯, m_{n}) représente le multi-degré (on suppose, aussi, que δ(Q) < M). Alors, on a le polynôme homogène suivant :

P̂(Z, X) = ∑_{ε∈{0,1}^{n}\{0}} b_{εM}X^{εM}Z^{(1,···,1)−εM} + Z_{1} ⋯ Z_{n}Q_{1}(Z, X).

Soit ζ un élément de G ∩ ∩_{i=1}^{n}P̂_{i}^{−1}(ℝ_{+}) \ {0}, ζ ∈ (ℝ^{2})^{n}. Alors, il existe un entier j_{0} dans {1, ⋯, n} tel que :

(ζ_{j_{0},1}, ζ_{j_{0},2}) = (0, ±1).

Quitte à effectuer un changement d’indices, on peut toujours supposer que j_{0} = 1. Soit M′ le multi-indice (m_{2}, ⋯, m_{n}). On obtient donc :

P̂(ζ) = P̂((ζ_{1,1}, ⋯, ζ_{n,1}), (ζ_{1,2}, ⋯, ζ_{n,2}))

= ∑_{ε∈{0,1}^{n}\{0}} b_{εM}ζ_{1,2}^{ε_{1}m_{1}} ⋯ ζ_{n,2}^{ε_{n}m_{n}}ζ_{1,1}^{1−ε_{1}m_{1}} · · · · · · ζ_{n,1}^{1−ε_{n}m_{n}} + ζ_{1,1} ⋯ ζ_{n,1}Q(ζ)

= (±1)^{m_{1}} ∑_{(ε_{2},···,ε_{n})∈{0,1}^{n−1}} b_{εM}ζ_{2,2}^{ε_{2}m_{2}}ζ_{2,1}^{1−ε_{2}m_{2}} ⋯ ζ_{n,2}^{ε_{n}m_{n}}ζ_{n,1}^{1−ε_{n}m_{n}}.

Comme on a l’égalité P̂_{i}(Z, X) = P_{i}(X) = X_{i}^{2a_{i}+1}, ζ vérifie les égalités suivantes :

ζ_{j,2} ≥ 0, pour tout j ∈ {1, ⋯, n}.

Par conséquent, on en déduit :

P̂(ζ) = ∑_{(ε_{2},···,ε_{n})∈{0,1}^{n−1}} b_{εM}ζ_{2,2}^{ε_{2}m_{2}}ζ_{2,1}^{1−ε_{2}m_{2}} ⋯ ζ_{n,2}^{ε_{n}m_{n}}ζ_{n,1}^{1−ε_{n}m_{n}},

où tous les éléments ζ_{j,1} et ζ_{j,2} sont positifs ou nuls (il suffit de noter que chaque ζ_{j,1} est positif, on utilise la propriété (2.2.45) et on lui applique un caractère γ). Soit b le minimum de l’ensemble {b_{εM}, ε ∈ {0, 1}^{n}}, qui est strictement positif. On peut alors

majorer P̂(ζ) de la façon suivante :

\begin{aligned}P̂(ζ) & ≥ b ∑_{(ε_{2},···,ε_{n})∈\{0,1\}^{n−1}} ζ_{2,2}^{ε_{2}m_{2}}ζ_{2,1}^{1−ε_{2}m_{2}} ⋯ ζ_{n,2}^{ε_{n}m_{n}}ζ_{n,1}^{1−ε_{n}m_{n}} \\ & ≥ b ∑_{(ε_{2},···,ε_{n})∈\{0,1\}^{n−1}} ∏_{j=2}^{n} ζ_{j,4}^{ε_{j}m_{j}} ζ_{j,1}^{(1−ε_{j})m_{j}}. \end{aligned}

Comme dans la somme ∑_{(ε_{2},···,ε_{n})∈{0,1}^{n−1}} ∏_{j=2}^{n} ζ_{j,2}^{ε_{j}m_{j}} ζ_{j,1}^{(1−ε_{j})m_{j}} tous les éléments de la forme ∏_{j=2}^{n} ζ_{j,∗_{j}}^{m_{j}} apparaissent, où les ∗_{j} prennent les valeurs 1 et 2, on obtient l’inégalité suivante :

P̂(ζ) ≥ b ∏_{j=2}^{n}(ζ_{j,1}^{m_{j}} + ζ_{j,2}^{m_{j}}).

Comme ζ_{j,1} et ζ_{j,2} sont positifs et ne peuvent s’annuler simultanément, ceci quel que soit j (voir les propriétés du spectre joint de la famille d’opérateurs auto-adjoints et la relation (2.2.44)), on obtient finalement P̂(ζ) > 0, ceci sur G ∩ ∩_{i=1}^{n}P̂_{i}^{−1}(ℝ_{+}) \ {0} tout entier. Par conséquent, chaque polynôme P de la forme précédente, qui est strictement positif sur ∩_{i=1}^{n}P_{i}^{−1}(ℝ_{+})−{0} (ce qui est vrai, en particulier, dès que l’on prend un polynôme Q strictement positif), satisfait aux hypothèses du corollaire 2.2.24. Et en conclusion, on obtient :

\begin{aligned}\sqrt{1 + t_{1}^{2}}^{m_{1}} ⋯ \sqrt{1 + t_{n}^{2}}^{m_{n}}P (t) = & ∑_{(ε_{1},···,ε_{n})∈\{0,1\}^{n}} ∏_{j=1}^{n}(1 + t_{j}^{2})^{ε_{j}/2} ∑_{l∈L} q_{j,l}^{2}(t, Δ(t)) \\ & + ∑_{i=1}^{k} t_{i}^{2a_{i}+1} ∑_{ε_{j}∈\{0,1\}} ∏_{j=1}^{n}(1 + t_{j}^{2})^{ε_{j}/2} ∑_{l∈L} r_{i,j,l}^{2}(t, Δ(t)). \end{aligned}

Partie II.3 Une application au problème tronqué

Dans cette troisième section de la partie II, on approfondira des résultats obtenus précédemment. En particulier, on caractérisera les formes semi-définies positives sur une sous-algèbre de R_{θ} (on reprendra toutes les notations de II-1). Cette représentation des formes positives sous forme de moments avec limites sera utilisée pour donner une solution au problème tronqué des moments dans le cas de plusieurs variables. Enfin, on généralisera des résultats de M. Riesz (voir [Ak]) où le cas unidimensionnel a été traité.

Soit un multi-indice α ∈ ℤ^{n}, α = (α_{1}, ⋯, α_{n}) un multi-indice. On pose alors :

(2.3.1)  e_{α_{i}}(t) = \{ \begin{matrix}t_{i}^{α_{i}} & si α_{i} ≥ 0, \\ \frac{t_{i}^{−α_{i}−2E(−α_{i}/2)}}{(1 + t_{i}^{2})^{E(−α_{i}/2)}} & si α_{i} < 0. \end{matrix}

Soit e_{α}(t) = ∏_{i=1}^{n} e_{α_{i}}(t), la famille (e_{α})_{α∈ℤ^{n}} est bien évidemment (voir proposition 2.2.2) une base de l’algèbre R_{θ}. On notera par A_{θ} l’espace vectoriel engendré par la famille (e_{α})_{α≤0}. En fait, A_{θ} est l’algèbre des fractions bornées de R_{θ}.

2.3.1 Définition : Soit L une forme linéaire sur A_{θ}. Soit P un cône positif inclus dans R_{θ}. On dira que L est P-semi-définie positive sur A_{θ} si on a l’inégalité suivante :

(2.3.2)  L_{γ}(f) ≥ 0, ∀f ∈ P ∩ A_{θ}.

Dans le cas d’une variable, si f est une fonction qui admet une limite finie à l’infini, on pose :

δ_{∞}(f) = lim_{|t|→∞} f(t).

La forme δ_{∞} est positive semi-définie mais ne peut être représentée par une intégrale définie par une mesure positive. De la même façon, dans le cas de plusieurs variables, on pose, pour tout f ∈ A_{θ} :

(2.3.3)  δ_{∞}^{(j)}(f) = lim_{|t_{j}|→∞} f(t), j = 1, ⋯, n.

2.3.2 Définition : Soit γ = (γ_{α})_{α≥0} une suite de nombres réels. On dira que γ est une suite de moments avec limites sur A_{θ} s’il existe des mesures positives (ρ_{i_{1},···,i_{k}})_{1≤i_{1}<···<i_{k}≤n,k=1,···,n} et μ telles que l’on puisse écrire :

(2.3.4) γ_{α} = ∫_{ℝ^{n}} e_{−α}(t)dμ(t) + ∑_{k=1}^{n} ∑_{1≤i_{1}<···<i_{k}≤n} ∫_{ℝ^{n−k}} δ_{∞}^{(i_{1})} ⋯ δ_{∞}^{(i_{k})}e_{−α}(t)dρ_{i_{1},···,i_{k}}(t).

2.3.3 Théorème : Soit Φ une forme linéaire positive semi-définie sur A_{θ}. Alors, il existe des mesures positives (ρ_{i_{1},···,i_{k}})_{1≤i_{1}<···<i_{k}≤n,k=1,···,n} et μ telles que l’on ait :

Φ(f) = ∫_{ℝ^{n}} f(t)dμ(t) + ∑_{k=1}^{n} ∑_{1≤i_{1}<···<i_{k}≤n} ∫_{ℝ^{n−k}} δ_{∞}^{(i_{1})} ⋯ δ_{∞}^{(i_{k})}f(t)dρ_{i_{1},···,i_{k}}(t), ∀f ∈ A_{θ}.

Démonstration. La méthode reprend en grande partie celle utilisée pour démontrer le théorème 2.2.7. On ne répétera pas tous les détails ici. On rappelle que l’on pose N l’idéal {f ∈ A_{θ} tel que Φ(ff̄) = 0}. Soit A_{θ}/N l’espace préhilbertien muni du produit scalaire ⟨∗, ∗⟩_{Φ} défini par :

⟨f̂, ĝ⟩_{Φ} = Φ(fḡ) où f̂ = f + N .

Soit H_{Φ} l’espace de Hilbert formé par la complétion de A_{θ}/N . On pose pour tout f̂ dans A_{θ}/N

B_{i,j}(f̂) = Ψ_{i,j}(t)f̂+ N , où \{ \begin{matrix}Ψ_{i,1}(t) = (1 + t_{i}^{2})^{−1} \\ Ψ_{i,2}(t) = t_{i}(1 + t_{i}^{2})^{−1} \\ Ψ_{i,3}(t) = t_{i}(1 + t_{i}^{2})^{−1} \\ Ψ_{i,4}(t) = t_{i}^{2}(1 + t_{i}^{2})^{−1} \end{matrix}

Les (B_{i,j})_{i,j} induisent des opérateurs (B̃_{i,j})_{i,j} qui commutent sur H_{Φ} vérifiant :

\{ \begin{matrix}∑_{i=1}^{4} B̃_{i,j}^{2} = I_{H} \\ B̃_{i,1} = B̃_{i,1}^{2} + B̃_{i,1}^{2} \\ B̃_{i,4} = B̃_{i,3}^{2} + B̃_{i,4}^{2} \end{matrix}

La famille B̃ = (B̃_{i,j})_{i,j} forme une famille d’opérateurs auto-adjoints continus et commutants. Soit E sa mesure spectrale (jointe) et soit σ_{T} (B̃) son spectre joint. On sait que ce dernier vérifie :

σ_{T} (B̃) ⊂ (Ψ(ℝ^{n}) ∪ ⋃_{k=1}^{n} ⋃_{1≤i_{1}<···<i_{k}≤n} H_{i_{1},···,i_{k}}),

où H_{i_{1},···,i_{k}} est l’ensemble des x ∈ ℝ^{4n} vérifiant :

\{ \begin{matrix}x_{i_{l},1} = x_{i_{l},2} = x_{i_{l},3} = 0, \\ x_{i_{l},4} = 1, \end{matrix} ∀i_{l} ∈ \{i_{1}, ⋯, i_{k}\}

et qui vérifient x_{i_{l},1} > 0, x_{i_{l},1} = x_{i_{l},1}^{2} + x_{i_{l},2}^{2}, x_{i_{l},4} = x_{i_{l},3}^{2} + x_{i_{l},4}^{2}, ∑_{s=1}^{4} x_{i_{l},s} = 1, pour tout i_{l} qui n’est pas dans {i_{1}, ⋯, i_{k}}. Bien entendu les H_{i_{1},···,i_{k}} sont disjoints entre eux et avec Ψ(ℝ^{n}). Soit f ∈ A_{θ}, il existe un polynôme P_{f} à 4n variables tel que f = P_{f} ∘ Ψ = P_{f}(B̃)1. Alors, on a :

\begin{aligned}Φ(f) & = ⟨f(t)1, 1⟩_{ϕ} = ⟨P_{f}(B̃)(1 + N), 1 + N ⟩_{ϕ} = ∫ P_{f}(x)d⟨E(x)(1 + N), 1 + N ⟩_{ϕ} \\ & = ∫_{Ψ(ℝ^{n})∪ ∪{n \atop k=1}∪1≤i_{1}<···<i_{k}≤n} P_{f}(x)d⟨E(x)(1 + N), 1 + N ⟩_{ϕ}. \end{aligned}

Ceci entraine que l’on ait :

Φ(f) = ∫_{ℝ^{n}} f(t)dμ(t) + ∑_{k=1}^{n} ∑_{1≤i_{1}<···<i_{k}≤n} ∫_{H_{i_{1},···,i_{k}}} P_{f}(x)d⟨E(x)(1 + N), 1 + N ⟩_{ϕ}.

Or sur chaque ensemble H_{i_{1},···,i_{k}}, on fait le changement de variable, ∀j ∈ {1, ⋯, n} ∩ {i_{1}, ⋯, i_{k}}^{c} :

(2.3.5)  [x_{j,1}, x_{j,2}, x_{j,3}, x_{j,4}] → [Ψ_{4j,1}(t), Ψ_{j,2}(t), Ψ_{j,3}(t), Ψ_{j,4}(t)].

De plus, on peut noter que, pour tout j ∈ {i_{1}, ⋯, i_{k}}, on a :

(2.3.6) [x_{j,1}, x_{j,2}, x_{j,3}, x_{j,4}] = [0, 0, 0, 1] = [δ_{∞}^{(j)}(Ψ_{j,1}), δ_{∞}^{(j)}(Ψ_{j,2}), δ_{∞}^{(j)}(Ψ_{j,3}), δ_{∞}^{(j)}(Ψ_{j,4})].

Donc il existe une mesure positive ρ_{i_{1},···,i_{k}} à support dans ℝ^{n−k} qui vérifie :

∫_{H_{i_{1},···,i_{k}}} P_{f}(x)d⟨E(x)(1 + N), 1 + N ⟩_{ϕ} = ∫_{ℝ^{n−k}} δ_{∞}^{(i_{1})} ⋯ δ_{∞}^{(i_{k})}(f)(t)dρ_{i_{1},···,i_{k}}(t).

Ceci implique qu’il existe des mesures positives (ρ_{i_{1},···,i_{k}})_{1≤i_{1}<···<i_{k}≤n,k=1,···,n} et μ telles que, pour tout f ∈ A_{θ}, on ait :

(2.3.7) Φ(f) = ∫_{ℝ^{n}} f(t)dμ(t) + ∑_{k=1}^{n} ∑_{1≤i_{1}<···<i_{k}≤n} ∫_{ℝ^{n−k}} δ_{∞}^{(i_{1})} ⋯ δ_{∞}^{(i_{k})}f(t)dρ_{i_{1},···,i_{k}}(t).

2.3.4 Corollaire : Soit γ = (γ_{α})_{α≥0} une multi-suite de nombres réels. Alors γ est une suite de moments avec limites si et seulement si la forme linéaire L_{γ} associée à γ est semi-définie positive sur A_{θ}.

Démonstration. Si γ est une multi-suite de moments avec limites alors pour toute fonction f de la forme f = ∑_{α≥0} a_{α}e_{−α} dans A_{θ}, on a :

L_{γ}(ff̄) = ∑_{α,β≥0} a_{α}ā_{β}L_{γ}(e_{−α}e_{−β}) = ∑_{α,β≥0,δ} a_{α}ā_{β}c_{α,β,δ}L_{γ}(e_{−δ})

= ∑_{α,β≥0,δ} a_{α}ā_{β}c_{α,β,δ}[ ∫_{ℝ^{n}} e_{−δ} dμ + ∑_{k=1}^{n} ∑_{1≤i_{1}<···<i_{k}≤n} ∫_{ℝ^{n−k}} δ_{∞}^{(i_{1})} ⋯ δ_{∞}^{(i_{k})}e_{−δ}(t)dρ_{i_{1},···,i_{k}}(t)].

On obtient donc :

L_{γ}(ff̄) = ∫_{ℝ^{n}} |f(t)|^{2}dμ(t) + ∑_{k=1}^{n} ∑_{1≤i_{1}<···<i_{k}≤n} ∫_{ℝ^{n−k}} |δ_{∞}^{(i_{1})} ⋯ δ_{∞}^{(i_{k})}(f)(t)|^{2}dρ_{i_{1},···,i_{k}}(t) ≥ 0.

Inversement, si L_{γ} est une forme semi-définie positive, par le théorème précédent 2.3.3, pour tout f ∈ A_{θ}, on obtient :

(2.3.8) L_{γ}(f) = ∫_{ℝ^{n}} f(t)dμ(t) + ∑_{k=1}^{n} ∑_{1≤i_{1}<···<i_{k}≤n} ∫_{ℝ^{n−k}} δ_{∞}^{(i_{1})} ⋯ δ_{∞}^{(i_{k})}(f)(t)dρ_{i_{1},···,i_{k}}(t).

En particulier, il en découle la représentation suivante :

γ_{α} = L_{γ}(e_{−α}) = ∫_{ℝ^{n}} e_{−α}(t)dμ(t) + ∑_{k=1}^{n} ∑_{1≤i_{1}<···<i_{k}≤n} ∫_{ℝ^{n−k}} δ_{∞}^{(i_{1})} ⋯ δ_{∞}^{(i_{k})}(e_{−α})(t)dρ_{i_{1},···,i_{k}}(t).

Ceci achève la démonstration du corollaire.

2.3.5 Remarque : En particulier, pour les multi-indices α > 0, on obtient une écriture � classique � sous forme de problème des moments. En effet, dans ce cas, on a la représentation intégrale suivante :

(2.3.9)  γ_{α} = ∫_{ℝ^{n}} e_{−α}(t)dμ(t), ∀α > 0.

Dans ce qui suit, on montrera qu’il existe un lien entre le problème tronqué des moments et la représentation des formes de moments avec limites.

2.3.6 Théorème : Soit γ = (γ_{α})_{0≤α≤M} une multi-suite de nombres réels où le multiindice M est strictement positif. Soit β un multi-indice vérifiant 2β > M. Il existe une mesure μ sur ℝ^{n} telle que l’on ait :

γ_{α} = ∫_{ℝ^{n}} t^{α}dμ(t), ∀α vérifiant 0 ≤ α ≤ M
(1 + t_{1}^{2})^{β_{1}} ⋯ (1 + t_{n}^{2})^{β_{n}}μ-intégrable

si et seulement si il existe un réel positif b tel que la forme L_{γ} définie par :

\{ \begin{matrix}L_{γ} : & f_{α}(t) = t^{α}(1 + t_{1}^{2})^{−β_{1}} ⋯ (1 + t_{n}^{2})^{−β_{n}} & → & γ_{α} \\ & 1 & → & b \end{matrix}

soit P semi-définie positive où P est l’ensemble des fonctions rationnelles de A_{θ} qui sont positives sur ℝ^{n}.

Démonstration. Supposons que la mesure μ existe, soit L_{γ} la forme qui associe à chaque f_{α} le nombre reél γ_{α}. Montrons que L_{γ} est P semi-définie positive sur V ect{(f_{α})_{0≤α≤M}}. Soit g ∈ V ect{(f_{α})_{0≤α≤M}}, une fonction positive de la forme g(t) = ∑_{0≤α≤M} a_{α}f_{α}(t), dans ces conditions :

(2.3.10)  \begin{aligned}L_{γ}(g) & = ∑_{0≤α≤M} a_{α}γ_{α} = ∑_{0≤α≤M} a_{α} ∫_{ℝ^{n}} t^{α}dμ(t) \\ & = ∫_{ℝ^{n}} g(t)(1 + t_{1}^{2})^{β_{1}} ⋯ (1 + t_{n}^{2})^{β_{n}}dμ(t) ≥ 0. \end{aligned}

Soit L̃ la forme linéaire définie par L̃|_{V ect{(f_{α})_{0≤α≤M} }} = L_{γ} et par L̃(1) = b où b est un nombre réel à déterminer afin que L̃ soit P semi-définie positive sur V ect{1, (f_{α})_{0≤α≤M}}. Si g ∈ V ect{1, (f_{α})_{0≤α≤M}} est une fonction positive, alors g(t) peut se mettre sous la forme c + ∑_{0≤α≤M} a_{α}f_{α}(t) (pour le calcul suivant, la somme précédente sera notée c + k(t)).

L̃(g) = bc + L_{γ}(k) = bc + ∫_{ℝ^{n}} k(t)(1 + t_{1}^{2})^{β_{1}} ⋯ (1 + t_{n}^{2})^{β_{n}}dμ(t)

= bc + ∫_{ℝ^{n}}(g(t) − c)(1 + t_{1}^{2})^{β_{1}} ⋯ (1 + t_{n}^{2})^{β_{n}}dμ(t)

≥ c[b − ∫_{ℝ^{n}}(1 + t_{1}^{2})^{β_{1}} ⋯ (1 + t_{n}^{2})^{β_{n}}dμ(t)].

Comme le nombre c est positif (par passage à la limite quand t tend vers l’infini suivant la direction t = (t_{1}, ⋯, t_{1}) dans l’expression de g) et comme (1 + t_{1}^{2})^{β_{1}} ⋯ (1 + t_{n}^{2})^{β_{n}}

est μ-intégrable, il suffit de choisir b plus grand que ∫_{ℝ^{n}}(1 + t_{1}^{2})^{β_{1}} ⋯ (1 + t_{n}^{2})^{β_{n}}dμ(t).

Inversement, si L_{γ} est P semi-définie positive sur V ect{1, (f_{α})_{0≤α≤M}}. Alors par le théorème de prolongement de Riesz (voir [Ri] ou [Ak] p.69), on peut prolonger L_{γ} à A_{θ} tout entier car les constantes sont dans V ect{1, (f_{α})_{0≤α≤M}}. Soit Φ ce prolongement P semi-défini positif sur A_{θ}; alors, en particulier, Φ est positif semi-défini sur A_{θ}. Par le théorème 2.3.3, on obtient qu’il existe des mesures positives (ρ_{i_{1},···,i_{k}})_{1≤i_{1}<···<i_{k}≤n,k=1,···,n} et μ telles que pour toute fonction f dans A_{θ}, on ait :

(2.3.11) Φ(f) = ∫_{ℝ^{n}} f(t)dμ(t) + ∑_{k=1}^{n} ∑_{1≤i_{1}<···<i_{k}≤n} ∫_{ℝ^{n−k}} δ_{∞}^{(i_{1})} ⋯ δ_{∞}^{(i_{k})}f(t)dρ_{i_{1},···,i_{k}}(t).

En particulier, pour tout multi-indice positif α vérifiant α ≤ M, on a :

(2.3.12)  γ_{α} = L_{γ}(f_{α}) = Φ(f_{α}) = ∫_{ℝ^{n}} t^{α} \frac{dμ(t)}{(1 + t_{1}^{2})^{β_{1}} ⋯ (1 + t_{n}^{2})^{β_{n}}} .

On pose alors dμ′(t) = (1+t_{1}^{2})^{−β_{1}} ⋯ (1+t_{n}^{2})^{−β_{n}}dμ(t). Il ne reste donc plus qu’à prouver que (1 + t_{1}^{2})^{β_{1}} ⋯ (1 + t_{n}^{2})^{β_{n}} est bien μ′-intégrable. Or on a l’égalité suivante :

(2.3.13)  ∫_{ℝ^{n}}(1 + t_{1}^{2})^{β_{1}} ⋯ (1 + t_{n}^{2})^{β_{n}}dμ′(t) = ∫_{ℝ^{n}} 1dμ(t) ≤ Φ(1) = b < ∞.

Dans le cas d’une variable, étant donnés n + 1 nombres réels (s_{k})_{0≤k≤n} nous savons (c’est un théorème de M. Riesz, voir [Ri] ou [Ak] p.71) qu’il existe une mesure positive σ sur (a, b) telle que :

(2.3.14)  \{ \begin{matrix}s_{k} = ∫_{(a,b)} u^{k}dσ(u), k = 0, ⋯, n − 1 \\ s_{n} ≥ ∫_{(a,b)} u^{n}dσ(u) \end{matrix}

si et seulement si la suite tronquée (s_{k})_{0≤k≤n} est � non négative en respectant (a, b) �. Dans le cas où (a, b) = ℝ et n < +∞, on suppose que n est pair. Si de plus (a, b) est bornée, on peut remplacer l’inégalité par une égalité (en fait M. Riesz a démontré ce théorème dans le seul cas (a, b) = ℝ et n = +∞, voir [Ak]). On peut donner un analogue de ce théorème dans le cas de n variables dont la preuve sera basée sur le théorème d’existence de moments avec limites.

2.3.7 Proposition : Soit γ = (γ_{α})_{α∈M} une suite de nombres réels où M = {α < 2M, M > 0} ∪ {(2ε_{1}m_{1}, ⋯, 2ε_{n}m_{n}), ε_{i} = 0, 1}. Il existe une mesure positive μ sur ℝ^{n} telle que

\{ \begin{matrix}γ_{α} & = & ∫_{ℝ^{n}} t^{α}dμ(t), & α < M \\ γ_{(2ε_{1}m_{1},···,2ε_{n}m_{n})} & ≥ & ∫_{ℝ^{n}} t^{(2ε_{1}m_{1},···,2ε_{n}m_{n})}dμ(t), & ε_{i} ∈ \{0, 1\}, \end{matrix}

si et seulement si L_{γ} est P-semi-définie positive sur l’espace vectoriel V ect{(h_{α})_{α∈M}} où les fonctions h_{α} sont les fractions rationnelles données par h_{α}(t) = t^{α}(1+t_{1}^{2})^{−m_{1}} ⋯ (1+ t_{n}^{2})^{−m_{n}}.

Démonstration. Supposons que la mesure μ existe, soit L_{γ} la forme linéaire qui associe à chaque h_{α} le nombre γ_{α}. Montrons que L_{γ} est P semi-définie positive sur V ect{(h_{α})_{α∈M}}. Soit g ∈ V ect{(h_{α})_{α∈M}}, on écrit g(t) = ∑_{α∈M} a_{α}h_{α}(t) et on obtient :

(2.3.15)  \begin{aligned}L_{γ}(g) & = ∑_{α∈M} a_{α}γ_{α} ≥ ∑_{α∈M} a_{α} ∫_{ℝ^{n}} t^{α}dμ(t) \\ & ≥ ∫_{ℝ^{n}} g(t)(1 + t_{1}^{2})^{m_{1}} ⋯ (1 + t_{n}^{2})^{m_{n}}dμ(t) ≥ 0. \end{aligned}

Inversement, du fait de la définition de l’ensemble M, on vérifie que la fonction constante 1 est dans l’espace vectoriel V ect{(h_{α})_{α∈M}}. On peut donc prolonger la forme L_{γ} en une forme ϕ pour appliquer le théorème 2.3.3 (c’est la même remarque que pour le théorème précédent). Donc, pour tout multi-indice α ∈ M, on obtient :

(2.3.16) ϕ(h_{α}) = ∫_{ℝ^{n}} h_{α}(t)dμ(t) + ∑_{k=1}^{n} ∑_{1≤i_{1}<···<i_{k}≤n} ∫_{ℝ^{n−k}} δ_{∞}^{(i_{1})} ⋯ δ_{∞}^{(i_{k})}(h_{α})(t)dρ_{i_{1},···,i_{k}}(t).

En particulier, si α < 2M, on en déduit les égalités suivantes :

(2.3.17)  γ_{α} = ϕ(h_{α}) = ∫_{ℝ^{n}} h_{α}(t)dμ(t) = ∫_{ℝ^{n}} t^{α}dμ′(t),

où la mesure positive μ′ est donnée par dμ′(t) = (1 + t_{1}^{2})^{−m_{1}} ⋯ (1 + t_{n}^{2})^{−m_{n}}dμ(t). Pour les autres multi-indices α, on a :

(2.3.18)  \begin{aligned}γ_{2Mε} = ϕ(h_{2Mε}) = & ∫_{ℝ^{n}} t^{2Mε}(1 + t_{1}^{2})^{−m_{1}} ⋯ (1 + t_{n}^{2})^{−m_{n}}dμ(t) \\ & + ∑_{ε_{i_{1}},···,ε_{i_{k}}} ∫_{ℝ^{n−k}} δ_{∞}^{(i_{1})} ⋯ δ_{∞}^{(i_{k})}(h_{2Mε})(t)dρ_{ε_{i_{1}},···,ε_{i_{k}}} (t). \end{aligned}

Et dans ce cas-ci, puisque nous avons l’inégalité :

(2.3.19)  ∑_{ε_{i_{1}},···,ε_{i_{k}}} ∫_{ℝ^{n−k}} δ_{∞}^{(i_{1})} ⋯ δ_{∞}^{(i_{k})}h_{2Mε}(t)dρ_{ε_{i_{1}},···,ε_{i_{k}}} (t) ≥ 0,

on en conclut que :

(2.3.20)  γ_{(2ε_{1}m_{1},···,2ε_{n}m_{n})} ≥ ∫_{ℝ^{n}} t^{(2ε_{1}m_{1},···,2ε_{n}m_{n})}dμ′(t), ε_{i} ∈ {0, 1}.

2.3.8 Remarque : Puisque dans le cas n = 1, le fait d’être P-semi-définie positive pour une forme linéaire est équivalent au fait d’être seulement semi-définie positive. On retombe bien sur le théorème de M. Riesz cité précédemment.

Chapitre III

Sous-normalité jointe pour des multi-opérateurs

Dans ce troisième et dernier chapitre, nous traiterons un problème qui peut être lié au problème des moments : la sous-normalité. Etant donné un opérateur, le but est de donner un critère afin de savoir si cet opérateur admet ou non une extension normale : c’est-à-dire, étant donné un opérateur T défini sur un espace de Hilbert H, existe-t-il un autre opérateur N normal (vérifiant NN^{∗} = N^{∗}N) défini sur un espace K contenant H tel que T x = Nx pour tout x dans H (ou dans le domaine de T s’il n’est pas borné) ? Le même problème se pose pour plusieurs opérateurs.

Ce chapitre sera décomposé en quatre parties, la première traitera du cas de multiopérateurs bornés et les trois suivantes du cas non borné. Dans cette dernière situation, on commencera par donner une définition d’une notion un peu plus large que la sousnormalité : la sous-normalité formelle. Puis on donnera des critères de sous-normalité dans la troisième partie ainsi que plusieurs applications et exemples. On cherchera également à étendre des notions de minimalité sur les extensions normales. Enfin dans la dernière partie, on caractérisera les shifts à poids sous-normaux et on prouvera que des opérations sur ces shifts et leurs adjoints permettent de conserver la notion de sous-normalité.

Les sections III-2, III-3 et III-4 ont donné lieu à deux articles acceptés en 2002 :

[De4] et [De5].

Partie III.1 Sous-normalité (jointe) pour les multiopérateurs bornés

La première caractérisation pour un opérateur borné sous-normal est dû à P.R. Halmos en 1950 (voir [Hal]) et demande une certaine positivité ainsi que l’existence d’une constante majorant un produit scalaire. En 1955, J. Bram donne une caractérisation plus simple (il prouve, en fait, que la sous-normalité est équivalente à la positivité demandée par Halmos, voir le théorème 1 de [Br]). Enfin, M.R. Embry donne une nouvelle caractérisation qui généralise celle de Bram en 1973 (voir le théorème 1 de [Emb]).

Il apparaît également une notion de sous-normalité (jointe) pour des multi-opérateurs : on dira qu’une famille d’opérateurs T_{1}, ⋯, T_{m} définie sur un espace de Hilbert H, est sous-normale si et seulement si il existe une famille commutative d’opérateurs normaux N_{1}, ⋯, N_{m} définie sur un espace de Hilbert K contenant H telle que T_{j}x = N_{j}x (j = 1, ⋯, m) pour tout x dans H. Une caractérisation de la sous-normalité dans le cas de multi-opérateurs est donnée par T. Itô (voir le théorème 1 de [It]), en 1958, en généralisant les résultats de Bram. Enfin, A. Lubin donne une caractérisation du type de celle de Embry dans le cas de plusieurs opérateurs en 1977 (voir le corollaire 4.6 de [Lub3]).

Dans cette partie, on pose H un espace de Hilbert, et soit T = (T_{1}, ⋯, T_{n}) un multi-opérateur de L(H)^{n}. Alors, pour tout polynôme de la forme P (z̄, z) = ∑_{α,β} p_{α,β}z̄^{α}z^{β}, on définit P (T^{∗}, T) par la formule suivante :

(3.1.1)  P (T^{∗}, T) = ∑_{α,β≥0} p_{α,β}T^{∗α}T^{β}.

Nous utiliserons également la fonction Υ donnée par :

Υ : z = (z_{1}, ⋯, z_{n}) ∈ ℂ^{n} → (|z_{1}|^{2}, ⋯, |z_{n}|^{2}) ∈ ℝ^{n}.

Le but de cette partie est d’utiliser un résultat de A. Lubin (voir [Lub3], théorème 3.2) avec le théorème 1.1.7, pour obtenir des conditions de sous-normalité pour des multi-opérateurs bornés. En particulier nous pouvons retrouver des résultats de [Vas2] (voir aussi [At-Ped]).

3.1.1 Théorème : Soient K et T comme dans le théorème 1.1.7 et soit T une famille commutative d’opérateurs (T_{1}, ⋯, T_{n}) dans L(H)^{n}. Alors, T admet une extension normale N ∈ L(K)^{n} (H ⊂ K) dont le spectre joint est inclus dans Υ^{−1}(K) si et seulement si (p ∘ Υ)(T^{∗}, T) ≥ 0 pour tout p ∈ T (voir (1.1.7)).

Démonstration. Soit N une extension normale de T avec les propriétés de l’énoncé. Si p(t) = ∑_{α} a_{α}t^{α} ∈ T , pour tout x ∈ H on a :

(3.1.2)  \begin{aligned}⟨(p ∘ Υ)(T^{∗}, T)x, x⟩ & = ∑_{α≥0} a_{α}||T^{α}x||^{2} = ∑_{α≥0} a_{α}||N^{α}x||^{2} \\ & = ⟨∑_{α≥0} a_{α}N^{∗α}N^{α}x, x⟩ = ∫_{K} p(t)dμ_{x}(t) ≥ 0, \end{aligned}

où μ_{x}(A) = ⟨(E ∘ Υ^{−1}(A)x, x⟩ pour tout ensemble borélien A de ℝ^{n} et où E est la mesure spectrale jointe de N.

Inversement, si ⟨(p ∘ Υ)(T^{∗}, T)x, x⟩ ≥ 0, on pose L_{γ(x)}(p) = ⟨(p ∘ Υ)(T^{∗}, T)x, x⟩ qui est positif pour tout p ∈ T . Si x ≠ 0, on peut appliquer le théorème 1.1.7 pour obtenir une mesure positive μ_{x} sur le compact K telle que l’on ait la représentation intégrale :

(3.1.3)  γ_{α}(x) = ⟨T^{∗α}T^{α}x, x⟩ = ∫_{K} t^{α}dμ_{x}(t), ∀α ≥ 0.

De plus la mesure μ_{x} a son support dans ℝ_{+}^{n}. En effet, on a :

L_{γ(x)}(t^{α}) = ⟨(t_{j}p ∘ Υ)(T^{∗}, T)x, x⟩ = ⟨(p ∘ Υ)(T^{∗}, T)T_{j}x, T_{j}x⟩ ≥ 0.

Donc en appliquant le corollaire 1.1.8, on obtient bien l’inclusion voulue. En faisant un changement de variable, on peut écrire :

(3.1.4)  ∫_{K} t^{α}dμ_{x}(t) = ∫_{K′} t^{2α}dμ′_{x}(t), ∀α ≥ 0.

Par polarisation, il existe une mesure positive opératorielle E, à support dans K′, telle que l’on ait la représentation suivante :

(3.1.5)  T^{∗α}T^{α} = ∫_{K′} t^{2α}dE(t), ∀α ≥ 0.

Et en appliquant le théorème 3.2 de [Lub3], on en déduit que T admet une extension normale. Le fait que T admette une extension normale de support inclus dans Υ^{−1}(K) provient de l’égalité (3.1.3). Il existe donc une mesure positive opératorielle F_{T} telle que l’on ait :

(3.1.6)  T^{∗α}T^{α} = ∫_{K} t^{α}dF_{T} (t),

et on applique à nouveau le théorème 3.2 de [Lub3].

Bien sûr, on peut donner un équivalent du corollaire 1.1.8, pour la condition de sous-normalité en demandant que le support de la mesure opératorielle vérifie des conditions du type (1.1.19) ou (1.1.24).

3.1.2 Corollaire : Soient K et T comme dans le théorème 1.1.7 et soit T une famille commutative et sous-normale d’opérateurs (T_{1}, ⋯, T_{n}) dans L(H)^{n}. S’il existe des polynômes (R_{j})_{j∈J} tels que (R_{j}Q ∘ Υ)(T^{∗}, T) ≥ 0 pour tout Q ∈ T et pour tout j ∈ J, alors :

supp(F_{T}) ⊂ {t ∈ K : R_{j}(t) ≥ 0, ∀j ∈ J}.

3.1.3 Corollaire : Soient K et T comme dans le théorème 1.1.7 et soit T une famille commutative et sous-normale d’opérateurs (T_{1}, ⋯, T_{n}) dans L(H)^{n}. S’il existe des polynômes (R_{j})_{j∈J} tels que (R_{j}Q ∘ Υ)(T^{∗}, T) = 0 pour tout Q ∈ T et pour tout j ∈ J, alors :

supp(F_{T}) ⊂ {t ∈ K : R_{j}(t) = 0, ∀j ∈ J}.

Enfin, pour compléter cette partie sur la sous-normalité des multi-opérateurs bornés, on mentionne ici une caractérisation de la sous-normalité pour ce type de multiopérateurs. Ce résultat nécessite quelques préliminaires et une nouvelle notion qui figurent dans la section suivante, c’est pour cela que nous ne donnons que son énoncé. Cette caractérisation généralise la proposition 3 de A. Athavale (1988) où ce dernier caractérise la sous-normalité d’un opérateur grâce à la notion d’hyponormalité jointe (voir la remarque 10 de [At] pour le cas multi-opératoriel). Pour plus de détails, on peut se référer à [At].

3.1.4 Théorème : Soit S = (S_{1}, ⋯, S_{m}) un multi-opérateur borné commutatif sur un espace de Hilbert séparable H. La famille (S^{β})_{β≤α} est mutuellement hyponormale pour tout multi-indice vérifiant α ≥ (1, ⋯, 1) si et seulement si S = (S_{1}, ⋯, S_{m}) est sous-normal.

Ce résultat se retrouve sous le nom de corollaire 3.2.7 de la section suivante. La grande différence entre ce résultat et ceux qui précédent vient du fait qu’ici, on ne contrôle d’aucune façon le spectre joint d’une extension normale. Par contre, il a l’avantage d’être un critère de sous-normalité plus général puisqu’il est valable quel que soit le lieu du spectre des différentes extensions normales.

Partie III.2 Opérateurs formellement normaux

Dans cette partie, nous introduisons la notion de � normalité (mutuelle) formelle � pour une famille d’opérateurs non bornés définis dans un espace de Hilbert séparable H. Cette nouvelle notion est en fait une généralisation naturelle de la notion de � normalité formelle � introduite pour un opérateur non borné. On donne ensuite des relations entre cette nouvelle notion et la sous-normalité (jointe) ainsi que l’hyponormalité (on généralise en particulier des résultats de A. Athavale.). Entre autres, cette notion sera utilisée dans la section suivante pour donner un critère de sous-normalité jointe.

Avant toute chose, on rappellera quelques définitions en rapport avec la normalité dans le cas d’opérateurs non nécessairement bornés.

Soit T un opérateur non nécessairement borné défini dans un espace de Hilbert séparable H. On dit que cet opérateur T est sous-normal (voir [St-Sz2]) s’il existe un espace de Hilbert K contenant H et un opérateur (non borné) normal N vérifiant les relations suivantes :

(3.2.1)  \{ \begin{matrix}D(T) ⊂ D(N) ⊂ K, \\ T x = Nx, ∀x ∈ D(T), \end{matrix}

où D(T) et D(N) représentent les domaines de T et N respectivement. Dans ce cas, N est appelé extension normale de T (on rappelle qu’un opérateur non borné N est dit normal s’il est fermé, à domaine dense et vérifie l’égalité N^{∗}N = NN^{∗}. On peut se référer au livre de W. Rudin, chapitre XIII pour plus de détails, [Ru]). J. Stochel et F.H. Szafraniec ont caractérisé les opérateurs non bornés sous-normaux ayant un domaine dense et invariant (voir le théorème 3 de [St-Sz2] et [St-Sz4] ; on peut également se référer à [St-Sz3] pour des propriétés spectrales de tels opérateurs). Dans toute la suite un uplet d’opérateur non nécessairement borné sera appelé multiopérateur.

On rappelle qu’un multi-opérateur T = (T_{1}, ⋯, T_{m}) défini dans H est dit sousnormal s’il existe un espace de Hilbert K contenant H et un multi-opérateur constitué d’opérateurs (non bornés) normaux et qui commutent (i.e. dont leurs mesures spectrales commutent) N = (N_{1}, ⋯, N_{m}) tels que l’on ait : D(T_{j}) ⊂ D(N_{j}) et T_{j}x = N_{j}x pour tout x ∈ D(T_{j}), j = 1, ⋯, m. Comme dans le cas d’un seul opérateur, N est appelé extension normale de T.

On commence par donner la définition d’un multi-opérateur formellement normal, définition qui prolonge la notion d’opérateur formellement normal que l’on retrouve par exemple dans [St-Sz2].

3.2.1 Définition : Soit S = (S_{1}, ⋯, S_{m}) un multi-opérateur défini dans un espace de Hilbert séparable H. Soit D un sous-espace H, on dit que S est formellement normal sur D si la famille (S_{1}, ⋯, S_{m}) vérifie les conditions suivantes :

(3.2.2)  \{ \begin{matrix}D ⊂ D(S_{j}) et S_{j}D ⊂ D, j = 1, ⋯, m, \\ D ⊂ D(S_{j}^{∗}), j = 1, ⋯, m, \\ ||S_{j}f|| = ||S_{j}^{∗}f||, f ∈ D, \\ S_{i}S_{j} = S_{j}S_{i} sur D, i, j = 1, ⋯, m. \end{matrix}

On peut noter que tout multi-opérateur normal est formellement normal sur un sous-espace invariant. De plus, toute famille commutative d’opérateurs symétriques vérifie les deux conditions précédentes sur un sous-espace invariant.

On commencera par donner une caractérisation des multi-opérateurs (ayant un domaine dense commun qui est invariant) possédant une extension formellement normale vérifiant quelques conditions supplémentaires de commutativité. On généralise, en particulier, des résultats de Stochel et Szafraniec où le cas d’un seul opérateur a été étudié (voir [St-Sz2], proposition 2) avec des méthodes différentes. Dans leur résultat, ils utilisent la condition de positivité de Halmos-Bram (voir [Hal] et [Br]). Il paraît alors naturel d’utiliser ici la condition de Itô (voir [It]) qui généralise celle de Halmos-Bram dans le cas de plusieurs opérateurs.

Soit S = (S_{1}, ⋯, S_{m}) un multi-opérateur défini dans H tel qu’il existe un sousespace D vérifiant D ⊂ ∩_{i=1}^{m}D(S_{i}), S_{i}(D) ⊂ D et S_{i}S_{j} = S_{j}S_{i} sur D (i, j = 1, ⋯, m) ; on dira que S satisfait à la condition de positivité de Itô sur D si pour toute famille finie (x_{I})_{I∈ℤ_{+}^{m}} d’éléments dans D on a :

(3.2.3)  ∑_{I,J∈ℤ_{+}^{m}}⟨S^{I}x_{J}, S^{J}x_{I}⟩ ≥ 0.

On remarque que l’on peut définir sans ambiguïté chaque S^{I}x_{J} puisque S est commutatif sur D et puisque cet espace D est invariant par chaque opérateur S_{i} (i = 1, ⋯, m).

Avant de démontrer la proposition suivante, nous aurons besoin d’une � reformulation � du critère de Itô. La condition

∑_{α,β,α′,β′≥0}⟨S^{α′+β}x_{α,α′}, S^{α+β′}x_{β,β′}⟩ ≥ 0,

pour toute famille (x_{α,α′})_{α,α′} presque nulle dans D est équivalente à la condition de Itô sur ce même ensemble. En effet, si ce critère est vérifié, il suffit de poser comme famille (x_{α,α′})_{α,α′} la famille (x_{α,0})_{α,0} pour obtenir la positivité de Itô. Inversement si la condition de Itô est vérifiée, on l’applique à la famille presque nulle (y_{α} = ∑_{α′≥0} S^{α′}x_{α,α′})_{α≥0}.

3.2.2 Proposition : Soit S = (S_{1}, ⋯, S_{m}) un multi-opérateur défini dans un espace de Hilbert séparable H. Soit D un sous-espace dense inclus dans ∩_{i=1}^{m}D(S_{i}) tel que l’on ait S_{i}(D) ⊂ D et S_{i}S_{j} = S_{j}S_{i} sur D pour tout i, j = 1, ⋯, m. Alors S vérifie la condition de Itô sur D si et seulement si S|_{D} = (S_{1}|_{D}, ⋯, S_{m}|_{D}) admet une extension formellement normale N = (N_{1}, ⋯, N_{m}), définie sur un domaine commun D(N_{j}) = D′ dans un espace de Hilbert K ⊃ H vérifiant les conditions suivantes :

(i) N_{j}^{∗}(D′) ⊂ D′ pour tout j = 1, ⋯, m.

(ii) S_{j}|_{D} ⊂ N_{j} pour tout j = 1, ⋯, m.

(iii) N_{i}^{∗}N_{j} = N_{j}N_{i}^{∗} et N_{i}^{∗}N_{j}^{∗} = N_{j}^{∗}N_{i}^{∗} sur D′, pour tout couple (i, j) dans {1, ⋯, m}^{2}.

Démonstration. On définit pour cette démonstration P_{z} comme étant l’algèbre des polynômes en les 2m variables complexes z_{1}, \overline{z_{1}}, ⋯, z_{m}, \overline{z_{m}}.

On commence par supposer que S = (S_{1}, ⋯, S_{m}) admet une extension mutuellement formellement normale N = (N_{1}, ⋯, N_{m}) vérifiant les conditions (i), (ii) et (iii) de la proposition. Grâce à l’hypothèse (i), on a :

(3.2.4)  D ⊂ D′ ⊂ (⋂_{i=1}^{m} D^{∞}(N_{i}) ∩ ⋂_{i=1}^{m} D^{∞}(N_{i}^{∗})).

Soit (x_{α})_{α≥0} une famille finie d’éléments de D. Alors, en utilisant la remarque précédente (3.2.4) et les hypothèses (ii) et (iii), on obtient :

\begin{aligned}∑_{α,β≥0}⟨S^{β}x_{α}, S^{α}x_{β}⟩ & = ∑_{α,β≥0}⟨N^{β}x_{α}, N^{α}x_{β}⟩ = ∑_{α,β≥0}⟨N^{∗α}N^{β}x_{α}, x_{β}⟩ \\ & = ∑_{α,β≥0}⟨N^{∗α}x_{α}, N^{∗β}x_{β}⟩ = || ∑_{α≥0} N^{∗α}x_{α}||^{2} ≥ 0. \end{aligned}

Inversement, on suppose que S vérifie le critère de Itô sur D. On définit une forme sesquilinéaire ϕ sur P_{z} ⊗ D grâce à l’égalité suivante (et on étend par linéarité à tout P_{z} ⊗ D) :

(3.2.5)  ϕ(z^{α}\overline{z}^{α′} ⊗ x, z^{β}\overline{z}^{β′} ⊗ y) = ⟨S^{β+α′}x, S^{α+β′}y⟩.

On peut vérifier que ϕ est anti-symétrique :

ϕ(z^{β}\overline{z}^{β′} ⊗ y, z^{α}\overline{z}^{α′} ⊗ x) = ⟨S^{α+β′}y, S^{β+α′}x⟩ = \overline{ϕ(z^{α}\overline{z}^{α′} ⊗ x, z^{β}\overline{z}^{β′} ⊗ y)}.

Soit X ∈ P_{z} ⊗ D de la forme ∑_{α,α′≥0} z^{α}\overline{z}^{α′} ⊗ x_{α,α′} où (x_{α,α′})_{α,α′≥0} est une famille presque nulle d’éléments de D. Alors, on obtient l’égalité :

\begin{aligned}ϕ(X, X) & = ∑_{α,β,α′,β′≥0} ϕ(z^{α}\overline{z}^{α′} ⊗ x_{α,α′}, z^{β}\overline{z}^{β′} ⊗ x_{β,β′}) \\ & = ∑_{α,β,α′,β′≥0}⟨S^{β+α′}x_{α,α′}, S^{α+β′}x_{β,β′}⟩ ≥ 0, \end{aligned}

qui est positif par la remarque sur la forme équivalente à l’inégalité de Itô. Donc, la forme linéaire ϕ est semi-définie positive. De plus, on a une opération canonique sur P_{z} ⊗ D en posant :

p.X = ∑_{α,α′≥0} p(z, \overline{z})z^{α}\overline{z}^{α′} ⊗ x_{α,α′}, ∀p ∈ P_{z}, ∀X ∈ P_{z} ⊗ D,

X de la forme ∑_{α,α′≥0} z^{α}\overline{z}^{α′} ⊗ x_{α,α′}. Donc le produit tensoriel P_{z} ⊗ D peut être vu comme un P_{z}-module. De plus, si X = ∑_{α,α′≥0} z^{α}\overline{z}^{α′}⊗x_{α,α′} et Y = ∑_{β,β′≥0} z^{β}\overline{z}^{β′}⊗y_{β,β′} sont dans P_{z} ⊗ D, on a pour p(z, \overline{z}) = z^{δ}\overline{z}^{δ′} :

\begin{aligned}ϕ(p.X, Y) & = ϕ( ∑_{α,α′≥0} z^{α+δ}\overline{z}^{α′+δ′} ⊗ x_{α,α′}, Y) = ∑_{α,β,α′,β′≥0}⟨S^{β+α′+δ′}x_{α,α′}, S^{α+δ+β′}y_{β,β′}⟩ \\ & = ϕ(X, z^{δ′} \overline{z}^{δ}.Y) \end{aligned}

Donc par linéarité, on obtient :

ϕ(p.X, q.Y) = ϕ(\overline{q}p.X, Y) = ϕ(X, \overline{p}q.Y), ∀(X, Y) ∈ (P_{z} ⊗ D)^{2}, ∀(p, q) ∈ P_{z}^{2}.

Cette propriété est quelquefois appelé la P_{z}-symétricité de ϕ. Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on obtient alors :

|ϕ(p.X, p.X)|^{2} ≤ ϕ(|p|^{2}.X, |p|^{2}.X)ϕ(X, X).

Soit N l’ensemble des éléments Y dans P_{z} ⊗D qui vérifient ϕ(Y, Y) = 0. Par l’inégalité précédente, N est également un P_{z}-module. On en déduit qu’il en est de même pour le quotient P_{z} ⊗D/N . On peut alors appliquer la méthode due à Gelfand et Naimark (voir [Ge-Na], [Du-Schw], [Fu2], etc.). Alors, on définit l’espace K comme étant la complétion de P ⊗ D/N en accord avec la forme sesquilinéaire ϕ. L’espace K avec le produit scalaire ⟨., .⟩_{ϕ} est un espace de Hilbert, où on pose :

(3.2.6)  ⟨X, Y ⟩_{ϕ} = ϕ(X, Y), ∀X, Y ∈ P_{z} ⊗ D/N .

Maintenant, on peut définir les opérateurs (N_{1}, ⋯, N_{m}) sur l’espace de Hilbert K, grâce à l’égalité :

(3.2.7)  N_{j}( ∑_{α,α′≥0} z^{α}\overline{z}^{α′} ⊗ x_{α,α′} + N) = ∑_{α,α′≥0} z^{α}\overline{z}^{α′} ⊗ S_{j}x_{α,α′} + N .

Ces opérateurs (N_{j})_{j} sont bien définis car on a l’inclusion N_{j}(N) ⊂ N car N est un P_{z}-module. Et pour tout j = 1, ⋯, m, on a D(N_{j}) = P_{z} ⊗ D/N = D′ qui est un ensemble dense dans K. De plus, pour tout j et pour tout k dans {1, ⋯, m}, on a :

\begin{aligned}N_{j}N_{k}( ∑_{α,α′≥0} z^{α}\overline{z}^{α′} ⊗ x_{α,α′} + N) & = ∑_{α,α′≥0} z^{α}\overline{z}^{α′} ⊗ S_{j}S_{k}x_{α,α′} + N \\ & = N_{k}N_{j}( ∑_{α,α′≥0} z^{α}\overline{z}^{α′} ⊗ x_{α,α′} + N). \end{aligned}

En conclusion, pour tout élément X ∈ D′, on obtient N_{j}N_{k}(X) = N_{k}N_{j}(X), ce qui est la commutativité de N sur D′. De plus, on a N_{j}(1 ⊗ x + N) = 1 ⊗ S_{j}x + N qui peut être identifié à S_{j}x. En effet, on a :

||N_{j}(1 ⊗ x + N)||_{ϕ}^{2} = ||1 ⊗ S_{j}x + N ||_{ϕ}^{2} = ϕ(1 ⊗ S_{j}x, 1 ⊗ S_{j}x) = ||S_{j}x||^{2},

et on peut définir une isométrie sur D que l’on étend ensuite par continuité à tout H. Par conséquent, H peut être vu comme un sous-espace fermé de K. Donc, N = (N_{1}, ⋯, N_{m}) est une extension du multi-opérateur S|_{D} = (S_{1}|_{D}, ⋯, S_{m}|_{D}), on doit juste montrer maintenant que N est formellement normal. Pour ce faire, on prend X, Y ∈ D, et on montre que les formes ψ_{k}(X + N) = ⟨N_{k}(X + N), Y + N ⟩_{ϕ} (k = 1, ⋯, m) sont continues sur l’espace vectoriel D′ (on identifiera dans la suite un élément de D′ avec un de ses représentants dans D) : (3.2.8)

\begin{aligned}|ψ_{k}(X)| & = | ∑_{α,β,α′,β′≥0}⟨S^{β+α′}S_{k}x_{α,α′}, S^{α+β′}y_{β,β′}⟩| \\ & = | ∑_{α,β,α′,β′≥0}⟨S^{β+e_{k}+α′}x_{α,α′}, S^{α+β′}y_{β,β′}⟩| = |⟨X, Z⟩_{ϕ}| ≤ ||X||_{ϕ}||Z||_{ϕ}, \end{aligned}

où Z + N est défini par ∑_{β,β′≥0} z^{β+e_{k}} \overline{z}^{β′} ⊗ y_{β,β′} + N si on a représenté Y + N par l’expression ∑_{β,β′≥0} z^{β}\overline{z}^{β′} ⊗ y_{β,β′} + N . On déduit de la remarque précédente que Y est dans le domaine de N_{k}^{∗}. En conclusion, on a D′ ⊂ ∩_{i=1}^{m}D(N_{i}^{∗}). De plus, on peut calculer explicitement N_{k}^{∗}(Y) pour chaque Y dans D′. Soit X dans D′, on a alors :

\begin{aligned}⟨X, N_{k}^{∗}(Y)⟩_{ϕ} & = ⟨N_{k}(X), Y ⟩_{ϕ} = ∑_{α,β,α′,β′≥0}⟨S_{k}S^{β+α′}x_{α,α′}, S^{α+β′}y_{β,β′}⟩ \\ & = ⟨X, ∑_{β,β′≥0} z^{β+e_{k}} \overline{z}^{β′} ⊗ y_{β,β′}⟩_{ϕ}. \end{aligned}

Alors, en utilisant la densité de D′, on obtient :

N_{k}^{∗}( ∑_{β,β′≥0} z^{β}\overline{z}^{β′} ⊗ y_{β,β′}) = ∑_{β,β′≥0} z^{β+e_{k}} \overline{z}^{β′} ⊗ y_{β,β′} = z_{k}.Y.

En plus, on a vérifié que l’espace D′ était invariant par les opérateurs N_{1}^{∗}, ⋯, N_{m}^{∗}. Donc la condition (i) est satisfaite. Soit X = ∑_{α,α′≥0} z^{α}\overline{z}^{α′} ⊗ x_{α,α′} ∈ D′, on peut effectuer le calcul suivant pour vérifier la commutativité demandée dans l’énoncé :

N_{i}^{∗}N_{j}(X) = ∑_{α,α′≥0} z^{α+e_{i}} \overline{z}^{α′} ⊗ S_{j}x_{α,α′} = N_{j}N_{i}^{∗}(X).

De la même manière, on vérifie que N_{i}^{∗}N_{j}^{∗} = N_{j}^{∗}N_{i}^{∗} sur D′, donc la condition (iii) est également satisfaite. Pour terminer, on doit juste montrer que chaque opérateur est formellement normal, c’est à dire que l’on a l’égalité ||N_{j}(X)||_{ϕ} = ||N_{j}^{∗}(X)||_{ϕ} pour tout X ∈ D′. Mais, si on prend X = ∑_{α,α′≥0} z^{α}\overline{z}^{α′} ⊗ x_{α,α′}, on vient de prouver les égalités :

\{ \begin{matrix}N_{j}(X) = ∑_{α,α′≥0} z^{α}\overline{z}^{α′} ⊗ S_{j}x_{α,α′} \\ N_{j}^{∗}(X) = ∑_{α,α′≥0} z^{α+e_{j}} \overline{z}^{α′} ⊗ x_{α,α′}. \end{matrix}

En conclusion, on obtient :

\begin{aligned}||N_{j}(X)||_{ϕ}^{2} & = ∑_{α,β,α′,β′≥0}⟨S^{β+α′}S_{j}x_{α,α′}, S^{α+β′}S_{j}x_{β,β′}⟩ \\ & = ∑_{α,β,α′,β′≥0}⟨S^{β+α′+e_{j}}x_{α,α′}, S^{α+e_{j}+β′}x_{β,β′}⟩ = ||z_{j}.X||_{ϕ}^{2} = ||N_{j}^{∗}(X)||_{ϕ}^{2}. \end{aligned}

Et donc, ceci achève la démonstration de l’implication voulue.

3.2.3 Remarque : Dans la proposition de J. Stochel and F.H. Szafraniec (pour un seul opérateur), il y a possibilité de décrire complétement le domaine de l’extension formellement normale construite. Même si notre méthode de construction est complétement différente, on peut obtenir également le domaine de l’extension formellement normale de façon explicite.

En effet, dans la proposition précédente, on a défini les opérateurs N_{j} (j = 1, ⋯, m) sur le domaine commun D′ = P_{z} ⊗ D/N . Pour décrire D′, on doit caractériser les vecteurs X = ∑_{α,α′≥0} z^{α}\overline{z}^{α′} ⊗ x_{α,α′} avec (x_{α,α′})_{α,α′≥0} famille presque nulle de D. Il suffit de regarder pour Z = z^{α}\overline{z}^{α′} ⊗ x. Soit Y = ∑_{β,β′≥0} z^{β}\overline{z}^{β′} ⊗ y_{β,β′} avec (y_{β,β′})_{β,β′≥0} famille presque nulle de D. Alors, on a :

⟨Z, Y ⟩_{ϕ} = ∑_{β,β′≥0}⟨S^{β+α′}x, S^{β′+α}y_{β,β′}⟩ = ⟨z^{α} ⊗ S^{α′}x, Y ⟩_{ϕ}.

Par densité de D′ dans l’espace de Hilbert K, on obtient les égalités suivantes :

Z = z^{α} ⊗ S^{α′}x = N^{∗α}(1 ⊗ S^{α′}x),

avec S^{α′}x qui est un élément de D par l’hypothèse de stabilité. En conclusion, on obtient la représentation :

D′ = { ∑_{α≥0} N^{∗α}(1 ⊗ x), x ∈ D},

car l’inclusion inverse est triviale. Bien sûr, toutes les sommes sont finies.

En accord avec la définition d’un multi-opérateur hyponormal donné dans le cas borné par A. Athavale dans (voir [At]) et afin de ne pas utiliser une notion de commutativité qui est délicate pour des opérateurs non bornés, on définit une notion hyponormalité jointe pour des multi-opérateurs non nécessairement bornés :

3.2.4 Définition : Soit T = (T_{1}, ⋯, T_{m}) un multi-opérateur non nécessairement borné défini dans un espace de Hilbert séparable H. On dira que T est mutuellement hyponormal (ou jointement hyponormal) sur D si D ⊂ ∩_{i=1}^{m}(D(T_{i}) ∩ D(T_{i}^{∗})) et si on a l’inégalité suivante :

(3.2.9)  ∑_{i,j=1}^{m}⟨T_{i}x_{j}, T_{j}x_{i}⟩ ≥ || ∑_{i=1}^{m} T_{i}^{∗}x_{i}||^{2},

pour toute famille (x_{1}, ⋯, x_{m}) dans D^{m}.

3.2.5 Remarque : Si on est dans le cas borné, cette définition est équivalente à celle donnée par A. Athavale (voir remarque 1 dans [At]). Bien sûr, l’hyponormalité jointe est invariante par permutation, et tout uplet composé à partir d’éléments d’un multiopérateur mutuellement hyponormal sur D est également mutuellement hyponormal sur D.

Dans le cas borné, A. Athavale a prouvé qu’un opérateur S est sous-normal si et seulement si la famille (I, S, ⋯, S^{p}) est mutuellement hyponormale pour chaque entier p ≥ 1. Le théorème suivant montre, en fait, que la notion d’hyponormalité jointe peut être reliée avec la notion de sous-normalité formelle ainsi qu’aux conditions (i)-(iii) de la proposition 3.2.2 (qui sont équivalentes à la sous-normalité dans le cas particulier des opérateurs bornés).

3.2.6 Théorème : Soit S = (S_{1}, ⋯, S_{m}) un multi-opérateur défini dans un espace de Hilbert H. Soit, aussi, D un sous-espace vectoriel inclus dans ∩_{i=1}^{m}D(S_{i}) qui est dense dans H et qui vérifie S_{i}(D) ⊂ D et S_{i}S_{j} = S_{j}S_{i} sur D (i, j = 1, ⋯, m). Alors, la famille (S^{β})_{β≤α} est mutuellement hyponormale sur D pour tout multi-indice α ≥ (1, ⋯, 1) si et seulement si S|_{D} = (S_{1}|_{D}, ⋯, S_{m}|_{D}) admet une extension formellement normale N = (N_{1}, ⋯, N_{m}) définie sur un domaine commun (D′ = D(N_{i})) vérifiant les conditions (i)-(iii) de la proposition 3.2.2.

Démonstration. On suppose que les familles (S^{β})_{β≤α} sont mutuellement hyponormales sur D pour tout α ≥ (1, ⋯, 1). On a juste à montrer que S|_{D} = (S_{1}|_{D}, ⋯, S_{m}|_{D}) vérifie la condition de positivité de Itô (en vertu de l’équivalence de la proposition 3.2.2). Soit (x_{I})_{I≥0} une famille presque nulle d’éléments dans D. Soit aussi α un multi-indice positif tel que x_{I} = 0 quand I ne vérifie pas l’inégalité I ≤ α. Alors, on a :

∑_{I,J≥0}⟨S^{I}x_{J}, S^{J}x_{I}⟩ = ∑_{I,J≤α}⟨S^{I}x_{J}, S^{J}x_{I}⟩.

De plus, la famille (S^{β})_{β≤α} est mutuellement hyponormale sur D, par consésquent l’expression précédente vérifie :

(3.2.10)  ∑_{I,J≥0}⟨S^{I}x_{J}, S^{J}x_{I}⟩ ≥ || ∑_{I≥0}(S^{I})^{∗}x_{I}||^{2} ≥ 0.

En particulier, S vérifie le critère de Itô sur D.

Inversement, soit N = (N_{1}, ⋯, N_{m}) une extension formellement normale définie sur un domaine commun (D′ = D(N_{i}) comme dans la démonstration de la proposition 3.2.2) vérifiant les conditions (i)-(iii) de la proposition 3.2.2. On a alors :

\begin{aligned}∑_{I,J≤α}⟨S^{I}x_{J}, S^{J}x_{I}⟩ & = ∑_{I,J≥0}⟨N^{I}x_{J}, N^{J}x_{I}⟩ \\ & = ∑_{I,J≥0}⟨N^{∗J}x_{J}, N^{∗I}x_{I}⟩ = || ∑_{I≥0} N^{∗I}x_{I}||^{2}. \end{aligned}

Soit y dans D, on définit Ψ_{J}(x) = ⟨S^{J}x, y⟩ pour tout x ∈ D. Alors, on a les égalités suivantes :

|Ψ_{J}(x)| = |⟨S^{J}x, y⟩| = |⟨N^{J}x, y⟩| = |⟨x, N^{∗J}y⟩| ≤ ||x||.||N^{∗J}y||.

On en déduit l’appartenance y ∈ D((S^{J})^{∗}) pour tout multi-indice positif J et par conséquent y ∈ ∩_{I≥0}D((S^{J})^{∗}). De plus, pour tout y ∈ D, on sait que ⟨x, (S^{J})^{∗}y⟩ est égal à ⟨x, N^{∗J}y⟩. En conclusion, en utilisant la densité de D, on obtient l’égalité (S^{J})^{∗}y = P_{H}N^{∗J}y où P_{H} est la projection orthogonale de K sur H (si on reprend les notations de la proposition 3.3.2). Ceci entraîne que l’on obtient : (3.2.11)

∑_{I,J≤α}⟨S^{I}x_{J}, S^{J}x_{I}⟩ = || ∑_{0≤I≤α} N^{∗I}x_{I}||^{2} ≥ ||P_{H} ∑_{0≤I≤α} N^{∗I}x_{I}||^{2} = || ∑_{0≤I≤α}(S^{I})^{∗}x_{I}||^{2}.

L’inégalité (3.2.9) est bien satisfaite. Finalement, le multi-opérateur (S^{I})_{0≤I≤α} est donc mutuellement hyponormal sur D. Ceci achève la démonstration.

Ce théorème donne une généralisation de la proposition 3 de [At] (voir également la remarque 10 de [At]). La démonstration est une conséquence simple du théorème précédent 3.2.6.

3.2.7 Corollaire : Soit S = (S_{1}, ⋯, S_{m}) un multi-opérateur borné commutatif sur un espace de Hilbert séparable H. La famille (S^{β})_{β≤α} est mutuellement hyponormale pour tout multi-indice vérifiant α ≥ (1, ⋯, 1) si et seulement si S = (S_{1}, ⋯, S_{m}) est sous-normal.

Démonstration. Si S est un multi-opérateur sous-normal borné, il admet une extension normale qui est en particulier une extension formellement normale sur H vérifiant les conditions (i)- (iii) de la proposition 3.2.2. Il suffit alors de prendre comme sous-ensemble D l’espace H tout entier et d’utiliser le théorème précédent.

Inversement, si toutes les familles (S^{β})_{β≤α} sont mutuellement hyponormales, le multi-opérateur S = (S_{1}, ⋯, S_{m}) (en prenant D = H) admet une extension formellement normale N = (N_{1}, ⋯, N_{m}) par le théorème précédent qui est de la forme (voir proposition 3.2.2) :

N_{j}( ∑_{α,α′≥0} z^{α}\overline{z}^{α′} ⊗ x_{α,α′}) = ∑_{α,α′≥0} z^{α}\overline{z}^{α′} ⊗ S_{j}x_{α,α′}, x_{α,α′} ∈ H.

En utilisant les notations du théorème 3.2.6, on a :

||N_{j}( ∑_{α,α′≥0} z^{α}\overline{z}^{α′} ⊗ x_{α,α′})||_{ϕ}^{2} = ⟨N_{j}X, N_{j}X⟩_{ϕ}

= ∑_{α,β,α′,β′≥0}⟨z^{α}\overline{z}^{α′} ⊗ S_{j}x_{α,α′}, z^{β}\overline{z}^{β′} ⊗ S_{j}x_{β,β′}⟩_{ϕ}

= ∑_{α,β,α′,β′≥0}⟨S^{β+α′+e_{j}}x_{α,α′}, S^{α+β′+e_{j}}x_{β,β′}⟩.

Par le lemme 2 de [It], on obtient :

∑_{α,β,α′,β′≥0}⟨S^{β+α′+e_{j}}x_{α,α′}, S^{α+β′+e_{j}}x_{β,β′}⟩ ≤ ||S_{j}||^{2} ∑_{α,β,α′,β′≥0}⟨S^{β+α′}x_{α,α′}, S^{α+β′}x_{β,β′}⟩.

Ceci entraine l’inégalité suivante :

||N_{j}X||_{ϕ}^{2} ≤ ||X||_{ϕ}^{2} ||S_{j}||^{2},

donc les (N_{j})_{j} sont des opérateurs bornés sur K (en les prolongeant par continuité). Ceci nous permet de conclure que le multi-opérateur N est une extension normale de S.

Dans ce qui suit, on utilise des techniques classiques pour obtenir des relations entre différents uplets d’opérateurs. Si on prend un multi-opérateur normal et un sousnormal, sous quelles conditions la famille formée par la juxtaposition de ces deux multiopérateurs est-elle encore sous-normale (ou tout au moins formellement normale) ? Le fait de juxtaposer des multi-opérateurs entre eux ne nous assure pas la sous-normalité de la famille qui les compose. En effet, il existe des opérateurs commutatifs bornés et sous-normaux tels que le bi-opérateur formé ne soit pas jointement sous-normal (voir [Lub2] pour plus de détails).

3.2.8 Théorème : Soit A = (A_{1}, ⋯, A_{s}) un multi-opérateur sous-normal borné défini sur un espace de Hilbert H. Soit également N = (N_{1}, ⋯, N_{m}) un multi-opérateur normal non nécessairement borné défini sur le même espace de Hilbert H. Enfin, on suppose qu’il existe un sous-espace vectoriel dense D inclus dans ∩_{i=1}^{m}D(N_{i}) tel que l’on ait N_{i}(D) ⊂ D et A_{i}(D) ⊂ D. Si on a l’inclusion A_{j}N_{i} ⊂ N_{i}A_{j}, le multi-opérateur (A, N|_{D}) admet une extension formellement normale.

Démonstration. Soit T = (T_{1}, ⋯, T_{s}) une extension normale du multi-opérateur A. Alors, on définit l’espace de Hilbert K comme la complétion de l’espace vectoriel engendré par les éléments de la forme T^{∗α}x où α est un multi-indice positif et où x décrit H.

\underline{Etape 1 :} Alors, on définit le multi-opérateur S = (S_{1}, ⋯, S_{m}) grâce aux relations :

(3.2.12)  S_{j}(T^{∗α}x) = T^{∗α}N_{j}x, j = 1, ⋯, m, ∀x ∈ D.

Le domaine commun des (S_{j})_{j} (noté par D(S_{j})) sera l’espace vectoriel engendré par les vecteurs de la forme T^{∗α}x où x décrit D. Comme chaque opérateur a le même domaine, on le notera par D(S). On peut remarquer également que D(S) est un sousespace dense dans K puisque l’on sait que T est borné et que D est dense dans H. On commence par vérifier que le multi-opérateur est bien défini. Si on a l’égalité ∑_{α≥0} T^{∗α}x_{α} = ∑_{β≥0} T^{∗β}y_{β}, où (x_{α})_{α≥0} et (y_{β})_{β≥0} sont des familles presque nulles d’éléments dans D, grâce à la normalité de T, on a :

⟨S_{j}(∑_{α≥0} T^{∗α}x_{α}), ∑_{δ≥0} T^{∗δ}z_{δ}⟩ = ⟨∑_{α≥0} T^{∗α}N_{j}x_{α}, ∑_{δ≥0} T^{∗δ}z_{δ}⟩ = ∑_{α,δ≥0}⟨T^{δ}N_{j}x_{α}, T^{α}z_{δ}⟩.

Alors, en utilisant l’hypothèse sur la stabilité de D et la commutativité, on obtient que l’expression précédente peut s’écrire sous la forme :

∑_{α,δ≥0}⟨A^{δ}N_{j}x_{α}, A^{α}z_{δ}⟩ = ∑_{α,δ≥0}⟨N_{j}A^{δ}x_{α}, A^{α}z_{δ}⟩ = ∑_{α,δ≥0}⟨A^{δ}x_{α}, N_{j}^{∗}A^{α}z_{δ}⟩.

En effet, on sait que l’on a A^{α}z_{δ} ∈ D ⊂ D(N_{j}) = D(N_{j}^{∗}), de plus A^{α}N_{j}^{∗}z_{δ} est bien défini puisque z_{δ} ∈ D ⊂ D(N_{j}^{∗}). Par conséquent, en utilisant un théorème de Fuglede, Putnam et Rosenblum (noté jusque la fin, théorème FPR, voir [Fu], [Put], [Ro] et [Ru] pour les différentes versions de ce résultat), on obtient A_{i}N_{j}^{∗} ⊂ N_{j}^{∗}A_{i}. Ceci entraîne l’égalité N_{j}^{∗}A^{α}z_{δ} = A^{α}N_{j}^{∗}z_{δ}. Par conséquent, on en déduit : (3.2.13)

⟨S_{j}(∑_{α≥0} T^{∗α}x_{α}), ∑_{α≥0} T^{∗δ}z_{δ}⟩ = ∑_{α,δ≥0}⟨A^{δ}x_{α}, A^{α}N_{j}^{∗}z_{δ}⟩ = ⟨∑_{α≥0} T^{∗α}x_{α}, ∑_{α≥0} T^{∗δ}N_{j}^{∗}z_{δ}⟩.

En utilisant un calcul similaire appliqué à la seconde expression, il en découle l’égalité suivante :

⟨S_{j}(∑_{β≥0} T^{∗β}y_{β}), ∑_{δ≥0} T^{∗δ}z_{δ}⟩ = ⟨S_{j}(∑_{α≥0} T^{∗α}x_{α}), ∑_{α≥0} T^{∗δ}z_{δ}⟩.

Alors, en utilisant la densité de l’espace vectoriel D(S), la définition de l’opérateur S_{j} est bien démontrée :

(3.2.14)  S_{j}(∑_{β≥0} T^{∗β}y_{β}) = S_{j}(∑_{α≥0} T^{∗α}x_{α}).

\underline{Etape 2 :} On montre que le multi-opérateur précédemment défini est commutatif sur D(S). Pour ce faire, on commence par prouver l’inclusion T_{i}S_{j} ⊂ S_{j}T_{i}. En effet, S_{j}T_{i}(T^{∗α}x) est égal à S_{j}(T^{∗α}T_{i}x) (par la normalité de T), ce qui n’est autre que T^{∗α}T_{i}N_{j}x = T^{∗α}N_{j}A_{i}x par la stabilité de D et la commutativité supposée. On a également :

T_{i}S_{j}(T^{∗α}x) = T_{i}T^{∗α}N_{j}x = T^{∗α}A_{i}N_{j}x,

(par les mêmes arguments que précédemment) puis on conclut en utilisant l’hypothèse de commutativité. Utilisant la commutativité de la famille N, on en déduit que S_{i}S_{j} = S_{j}S_{i} et de plus T est un multi-opérateur commutatif (puisque normal). Tous ces résultats permettent d’affirmer que (T_{1}, ⋯, T_{s}, S_{1}, ⋯, S_{m}) est commutatif sur le sousespace vectoriel D(S).

\underline{Etape 3 :} On va montrer que, pour tout j = 1, ⋯, m, on a D(S) ⊂ D(S_{j}^{∗}). Soit y ∈ K, pour avoir y ∈ D(S_{j}^{∗}), il suffit de montrer que la forme linéaire ϕ_{j}(x) = ⟨S_{j}x, y⟩ est continue sur D(S_{j}). Si (x_{α})_{α≥0} une famille presque nulle d’éléments dans D et si y est de la forme ∑_{β≥0} T^{∗β}y_{β} ∈ D(S), alors on a par l’égalité (3.2.13) :

(3.2.14)  ⟨S_{j}(∑_{α≥0} T^{∗α}x_{α}), y⟩ = ⟨∑_{α≥0} T^{∗α}x_{α}, ∑_{β≥0} T^{∗β}N_{j}^{∗}y_{β}⟩.

Par conséquent, on obtient de (3.2.14) : (3.2.15)

|⟨S_{j}(∑_{α≥0} T^{∗α}x_{α}), y⟩| = | ∑_{α,β≥0}⟨T^{β}x_{α}, T^{α}N_{j}^{∗}y_{β}⟩| ≤ || ∑_{α≥0} T^{∗α}x_{α}|| || ∑_{β≥0} T^{∗β}N_{j}^{∗}y_{β}||.

Donc, on déduit de l’inégalité précédente que pour tout j = 1, ⋯, m, l’inclusion D(S) ⊂ D(S_{j}^{∗}) est satisfaite.

\underline{Etape 4 :} On peut calculer explicitement l’opérateur S_{j}^{∗} sur l’espace D(S) qui nous intéresse. Avec les mêmes notations et en utilisant le calcul ci-dessus, on obtient :

(3.2.16)  ⟨x, S_{j}^{∗}y⟩ = ⟨S_{j}(∑_{α≥0} T^{∗α}x_{α}), ∑_{β≥0} T^{∗β}y_{β}⟩ = ⟨∑_{α≥0} T^{∗α}x_{α}, ∑_{β≥0} T^{∗β}N_{j}^{∗}y_{β}⟩.

Enfin, grâce à la densité du domaine de S_{j} dans K, on obtient une écriture pour l’adjoint S_{j}^{∗} :

(3.2.17)  S_{j}^{∗}(∑_{β≥0} T^{∗β}y_{β}) = ∑_{β≥0} T^{∗β}N_{j}^{∗}y_{β}.

\underline{Etape 5 :} Maintenant, il ne nous reste plus qu’à prouver que le multi-opérateur S_{1}, ⋯, S_{m} est formellement normal sur D(S). Pour ce faire, on prend x = ∑_{α≥0} T^{∗α}x_{α} et on a :

||S_{j}x||^{2} = ⟨S_{j}(∑_{α≥0} T^{∗α}x_{α}), S_{j}(∑_{β≥0} T^{∗β}x_{β})⟩ = ∑_{α,β≥0}⟨T^{∗α}N_{j}x_{α}, T^{∗β}N_{j}x_{β}⟩.

Par la normalité de T et la stabilité de D, l’expression précédente devient :

∑_{α,β≥0}⟨A^{β}N_{j}x_{α}, A^{α}N_{j}x_{β}⟩.

Enfin, en utilisant la commutativité ainsi que le théorème FPR, on a :

∑_{α,β≥0}⟨N_{j}A^{β}x_{α}, N_{j}A^{α}x_{β}⟩ = ∑_{α,β≥0}⟨N_{j}^{∗}A^{β}x_{α}, N_{j}^{∗}A^{α}x_{β}⟩.

Comme tous les éléments x_{α} et y_{β} sont dans D ⊂ D(N_{j}) = D(N_{j}^{∗}), ils sont en particulier dans D(A^{δ}N_{j}^{∗}) pour tout multi-indice positif δ. Par conséquent, on a N_{j}^{∗}A^{β}x_{α} = A^{β}N_{j}^{∗}x_{α} et N_{j}^{∗}A^{α}x_{β} = A^{α}N_{j}^{∗}x_{β}. D’où, en utilisant l’étape 4, le calcul ci-dessus devient :

(3.2.18)  ||S_{j}x||^{2} = ∑_{α,β≥0}⟨T^{∗α}N_{j}^{∗}x_{α}, T^{∗β}N_{j}^{∗}x_{β}⟩ = ||S_{j}^{∗}x||^{2}.

En conclusion, on obtient que S est un multi-opérateur formellement normal sur D(S). On a construit S tel que (T, S) soit commutatif sur D(S) et comme de plus T est normal, il en découle que (T, S) est également formellement normal sur D(S) (car D(S) est invariant par les T_{i}, i = 1, ⋯, s) et prolonge (A, N|_{D}). Ceci achève la démonstration du théorème.

3.2.9 Remarques :

(1) Pour le résultat précédent, on a construit en fait une extension formellement normale de N|_{D} qui � commute � avec l’extension normale minimale du multi-opérateur A.

(2) Si on se place dans le cas de multi-opérateurs bornés, on obtient un résultat qui généralise la proposition 2 de [Slo] où le cas d’un opérateur A sous-normal et d’un opérateur B normal est démontré.

On utilise le théorème 3.2.8 pour donner une condition de sous-normalité pour un multi-opérateur formé par la juxtaposition de deux multi-opérateurs normaux (ou sous-normaux). On utilisera, en particulier des résultats récents (parus en 2001) de J. Eschmeier et F.-H. Vasilescu sur les extensions auto-adjointes d’opérateurs symétriques (voir le théorème 3.2 de [Es-Vas]).

3.2.10 Corollaire : Soit A = (A_{1}, ⋯, A_{s}) un multi-opérateur sous-normal borné défini sur un espace de Hilbert H. Soit N = (N_{1}, ⋯, N_{m}) un multi-opérateur normal (non nécessairement borné), défini dans le même espace, tel que I + ∑_{1≤j≤m} N_{j}^{∗}N_{j}, défini sur D, admette une image dense (où D est un sous-espace dense inclus dans ∩_{i=1}^{m}D(N_{i}) tel que l’on ait N_{i}(D) ⊂ D, A_{j}(D) ⊂ D et N_{i}^{∗}(D) ⊂ D). On suppose, enfin, que l’on a A_{j}N_{i} ⊂ N_{i}A_{j} (i = 1, ⋯, m; j = 1, ⋯, s). Alors le multi-opérateur (A, N|_{D}) admet une extension normale.

Démonstration. On utilise les notations de la démonstration du théorème 3.2.8. Soit U l’opérateur défini sur le domaine D(U) par :

(3.2.19)  UX = ∑_{1≤j≤m} S_{j}^{∗}S_{j}X, ∀X ∈ D(U) = D(S).

L’opérateur U est bien défini du fait de la double inclusion suivante (que nous avons déjà vérifiée plus haut) : S_{j}(D(S)) ⊂ D(S) ⊂ D(S_{j}^{∗}). On commence par calculer explicitement ⟨(I + U)X, X⟩ (on notera X par l’expression ∑_{α≥0} T^{∗α}x_{α}) :

⟨(I + U)X, X⟩ = || ∑_{α≥0} T^{∗α}x_{α}||^{2} + ∑_{1≤j≤m} ∑_{α,β≥0}⟨T^{∗α}N_{j}^{∗}N_{j}x_{α}, T^{∗β}x_{β}⟩.

Par la normalité de T, on a :

|| ∑_{α≥0} T^{∗α}x_{α}||^{2} + ∑_{1≤j≤m} ∑_{α,β≥0}⟨T^{β}N_{j}^{∗}N_{j}x_{α}, T^{α}x_{β}⟩.

Par la stabilité de l’espace D, cette expression devient :

|| ∑_{α≥0} T^{∗α}x_{α}||^{2} + ∑_{1≤j≤m} ∑_{α,β≥0}⟨A^{β}N_{j}^{∗}N_{j}x_{α}, A^{α}x_{β}⟩.

Enfin, par l’hypothèse de commutativité ainsi que le théorème FPR, ceci peut s’écrire :

(3.2.20)  ⟨(I + U)X, X⟩ = || ∑_{α≥0} T^{∗α}x_{α}||^{2} + ∑_{1≤j≤m} || ∑_{α≥0} T^{∗α}N_{j}x_{α}||^{2}.

Grâce à la définition de S_{j}^{∗} sur D(S) et puisque l’on a supposé N_{i}^{∗}(D) ⊂ D, on obtient (I + U)D(U) ⊂ D(U). De plus, par le calcul précédent, on voit que l’opérateur U est injectif. Soit Y de la forme ∑_{α≥0} T^{∗α}y_{α} ∈ D(U) et soit X de la forme ∑_{α≥0} T^{∗α}x_{α}, on a :

(3.2.21)  (I + U)X = ∑_{α≥0} T^{∗α}(I + ∑_{1≤j≤m} N_{j}^{∗}N_{j})x_{α}.

Par conséquent, grâce à l’hypothèse de densité de l’image de I + ∑_{1≤j≤m} N_{j}^{∗}N_{j}, on obtient la même propriété pour l’image de I + U, op—’erateur défini sur l’espace vectoriel D(S) (on utilise également la continuité des opérateurs (T_{i}^{∗})_{i}). Comme les opérateurs S_{j} vérifient D(S_{j}) ⊂ D(S_{j}^{∗}), on décompose chaque opérateur comme C_{j}+iB_{j} avec D(B_{j}) = D(C_{j}) (voir le lemme 2.2 de [Ot] pour de telles décompositions, voir aussi [Es-Vas]), où les opérateurs (C_{j})_{j} et (B_{j})_{j} sont symétriques. En fait, on a :

C_{j} = \frac{S_{j} + S_{j}^{∗}}{2} et B_{j} = \frac{S_{j} − S_{j}^{∗}}{2i} .

De plus, comme D(S) est invariant par chaque S_{j} et chaque S_{j}^{∗} puisque N_{i}^{∗}(D) ⊂ D, on obtient :

D(S) ⊂ ⋂_{i=1}^{m} D^{∞}(S_{j}) ∩ ⋂_{i=1}^{m} D^{∞}(S_{j}^{∗}).

On a également, grâce à la commutativité du multi-opérateur N et à sa normalité, S_{j}S_{k}x = S_{k}S_{j}x et S_{j}S_{k}^{∗}x = S_{k}^{∗}S_{j}x pour tout x ∈ D(S). On en conclut que :

B_{j}^{∗}C_{k}x = B_{j}C_{k}x = C_{k}B_{j}x = C_{k}^{∗}B_{j}x, ∀x ∈ D(S).

Ceci implique que pour tout x ∈ D(S), on a S_{j}^{∗}S_{j}x = C_{j}^{2}x + B_{j}^{2}x. Donc, en utilisant le théorème 3.2 de [Es-Vas], on obtient que l’opérateur U qui s’écrit :

Ux = ∑_{j=1}^{m} S_{j}^{∗}S_{j}x = ∑_{j=1}^{m} C_{j}^{2}x + B_{j}^{2}x, ∀x ∈ D(S),

est essentiellement auto-adjoint. Et par une généralisation d’un résultat de Nelson (voir [Nel] et [Pu-Vas2] également), on obtient que (\overline{C_{1}}, ⋯, \overline{C_{m}}, \overline{B_{1}}, ⋯, \overline{B_{m}}) est une famille commutative d’opérateurs auto-adjoints. Si (x, y) est un bi-point dans le graphe de \overline{C_{j}}, il existe une suite (x_{n})_{n≥0} dans D(C_{j}) telle que l’on ait x_{n} → x et C_{j}x_{n} = \overline{C_{j}}x_{n} → y = \overline{C_{j}}x. On écrit x_{n} = ∑_{I} T^{∗I}z_{I,n}, et on a :

T_{k}C_{j}x_{n} = ∑_{I≥0} T_{k}T^{∗I} \frac{N_{j} + N_{j}^{∗}}{2} z_{I,n} = ∑_{I≥0} T^{∗I} \frac{N_{j} + N_{j}^{∗}}{2} T_{k}z_{I,n} = C_{j}T_{k}x_{n}

(pour vérifier la relation T_{k}(N_{j} + N_{j}^{∗})z_{I,n} = (N_{j} + N_{j}^{∗})T_{k}z_{I,n}, on doit juste remarquer que z_{I,n} est dans D ⊂ H et utiliser le théorème FPR ainsi que l’invariance de D par N_{j}^{∗}). La suite (T_{k}C_{j}x_{n})_{n≥0} converge vers T_{k}\overline{C_{j}}x parce que l’opérateur T_{k} est continu. Donc, (T_{k}x_{n}, C_{j}T_{k}x_{n}) est dans le graphe de \overline{C_{j}} qui est fermé et cette suite converge vers le bi-point (T_{k}x, T_{k}\overline{C_{j}}x). En conséquence, (T_{k}x, T_{k}\overline{C_{j}}x) est dans le graphe de \overline{C_{j}}. Ceci implique, en particulier, que T_{k}x est dans le domaine D(\overline{C_{j}}) et qu’il vérifie \overline{C_{j}}T_{k}x = T_{k}\overline{C_{j}}x. Bien sûr la même opération peut être faite pour les fermetures canoniques des opérateurs B_{k}. Ensuite, il suffit de poser :

R_{j} = \overline{C_{j}} + i\overline{B_{j}}, j = 1, ⋯, m.

Ceci entraîne que le multi-opérateur R = (R_{1}, ⋯, R_{m}) est normal. De plus, R satisfait T_{k}R_{j} ⊂ R_{j}T_{k}. Donc, pour tout ensemble borélien σ_{j} (si E_{j} est la mesure spectrale associée à R_{j}), on a T_{k}E_{j}(σ_{j}) = E_{j}(σ_{j})T_{k} (voir le théorème 13.33 de [Ru]). Si F_{k} est la mesure spectrale associée à T_{k}, alors E_{j} et F_{k} commutent dans le sens :

(3.2.22)  F_{k}(τ_{k})E_{j}(σ_{j}) = E_{j}(σ_{j})F_{k}(τ_{k}),

où τ_{k} est un ensemble borélien de ℂ. Pour tout couple d’ensembles boréliens de la forme σ = σ_{1} × ⋯ × σ_{m} et τ = τ_{1} × ⋯ × τ_{s}, on a F (τ)E(σ) = E(σ)F (τ), puisque F (τ) = F_{1}(τ_{1}) ⋯ F_{s}(τ_{s}) et E(σ) = E_{1}(σ_{1}) ⋯ E_{m}(σ_{m}). Enfin, on approxime chaque ensemble borélien par des éléments de cette forme. Finalement, on en conclut que la famille (T, R) est une famille commutative d’opérateurs normaux qui prolonge (A, N|_{D}).

3.2.11 Remarques :

(1) Dans le cas d’opérateurs bornés, on sait que si A est sous-normal et commute avec un opérateur normal B, (et si N est l’extension normale minimale de A) il existe une unique extension normale de B qui commute avec N (voir la proposition 2 de [Slo]).

(2) Le fait de supposer plus de conditions sur le multi-opérateur N dans le corollaire précédent 3.2.10 semble nécessaire. En effet, on sait que si on a deux opérateurs commutatifs sous-normaux bornés S et T, et si S admet une extension sous-normale qui commute avec l’extension normale minimale de T, ceci n’est pas équivalent au fait que le multi-opérateur (S, T) soit sous-normal (voir le problème 2 de [Abr]).

(3) La normalité formelle dans le cas d’un seul opérateur peut être liée à la normalité. En effet, E.A. Coddington donne des conditions nécessaires et suffisantes pour qu’un opérateur formellement normal soit normal (voir [Cod]). Mais ceci n’est pas toujours valable, en fait il existe des opérateurs formellement normaux qui n’admettent pas d’extensions normales (voir par exemple [Ot-Sch]).

Partie III.3 Sous-normalité jointe

Dans cette troisième section dédiée aux opérateurs non bornés, nous nous intéresserons au problème de la sous-normalité proprement dite. On donnera plusieurs critères de sous-normalité jointe. Dans toute cette partie, on s’occupera de multi-opérateurs ayant un sous-espace invariant et dense. Les premiers critères utilisent des solutions du problème des moments sur des ensembles non bornés dans le cas de plusieurs variables. On donne en particulier des caractérisations en terme d’existence de multi-suites de formes sesquilinéaires vérifiant certaines conditions de positivité (voir [Vas4] pour des résultats similaires). Nous donnons également un critère basé sur une méthode due à Stochel et Szafraniec où le cas d’un seul opérateur a été traité (voir [St-Sz2]). Cette dernière nécessite entre autres choses la notion de sous-normalité formelle traitée précédemment.

On donne également une première application de ces critères au cas de multiopérateurs formés d’applications linéaires bijectives. Ces résultats généralisent des propositions publiées en 1989 par les derniers auteurs cités.

Avant de commencer proprement dit, on introduit plusieurs notations et remarques nécessaires. Soit λ une forme sesquilinéaire, on note par λ^{−} le conjugué de λ : c’est-à-dire la forme définie par :

∀(x, y), λ^{−}(x, y) = \overline{λ(x, y)};

\overline{λ} n’est plus sesquilinéaire.

On travaillera avec des 3n-suites de formes sesquilinéaires Θ = (Θ_{α,β,δ})_{α,β,δ∈ℤ_{+}^{n}} définies sur un sous-espace vectoriel D de H, vérifiant pour tout multi-indice (α, β, δ) ∈ (ℤ_{+}^{n})^{3} et pour tout couple (x, y) dans D × D :

(3.3.1)  \begin{matrix}(i) & Θ_{0,0,0}(∗, ∗) = ⟨∗, ∗⟩|_{D×D}, \\ (ii) & Θ_{α,β,δ} = Θ_{β,α,δ}^{−} ∘ W, \end{matrix}

où ⟨∗, ∗⟩ est le produit scalaire sur H et où W est l’involution sur H^{2} donnée par W (x, y) = (y, x). On peut associer à cette multi-suite Θ une forme hermitienne unitale Λ_{Θ} sur F ⊗ D, où F est l’algèbre des fractions rationelles en (z̄, z) avec des dénominateurs de la forme (1 + |z_{1}|^{2})^{ω_{1}} ⋯ (1 + |z_{n}|^{2})^{ω_{n}}.

3.3.1 Définition : En reprenant ce qui vient d’être dit, soit Λ_{Θ} une forme hermitienne définie sur F ⊗ D. On dira que Λ_{Θ} est unitale si, pour tout x ∈ D, on a :

Λ_{Θ}(1 ⊗ x, 1 ⊗ x) = ||x||^{2}.

Afin de ne pas alourdir les notations, on notera par (1 + |z|^{2})^{ω} l’expression (1 + |z_{1}|^{2})^{ω_{1}} ⋯ (1+|z_{n}|^{2})^{ω_{n}} où ω est le multi-indice négatif (ω_{1}, ⋯, ω_{n}). Si on considère dans l’algèbre F la famille génératrice (z̄^{α}z^{β}(1+|z|^{2})^{−δ})_{α,β,δ∈ℤ_{+}^{n}}, alors pour toute paire (ϕ, ψ) dans (F ⊗D)^{2}, ϕ = ∑_{α,β,δ} z̄^{α}z^{β}(1+|z|^{2})^{−δ}⊗x_{α,β,δ} et ψ = ∑_{α,β,δ} z̄^{α}z^{β}(1+|z|^{2})^{−δ}⊗y_{α,β,δ}, on définit Λ_{Θ} par :

Λ_{Θ}(ϕ, ψ) = ∑_{α,β,δ,α′,β′,δ′} Θ_{α+β′,β+α′,δ+δ′}(x_{α,β,δ}, y_{α′,β′,δ′}).

Enfin, la multi-suite Θ sera dite de type positive si la forme associée Λ_{Θ} est semidéfinie positive.

Du fait que Θ_{0,0,0} est la restriction du produit scalaire sur H, on peut affirmer que l’application linéaire D ∋ x → 1 ⊗ x ∈ F ⊗ D est une isométrie, qui peut s’étendre par continuité à H tout entier. Ceci permet d’identifier D comme un sous-espace de F ⊗ D. Pour plus de détails, on peut se référer à l’égalité (1.10′) et à l’exemple 1.5.1 de [Vas4].

Soit (e_{1}, ⋯, e_{n}) la base canonique de ℝ^{n}. On peut alors donner la caractérisation de sous-normalité jointe suivante (on peut noter qu’une autre version de ce résultat a été donnée par F.-H. Vasilescu, voir le théorème 3.4 de [Vas4]) :

3.3.2 Théorème : Soit T = (T_{1}, ⋯, T_{n}) un multi-opérateur non nécessairement borné défini dans un espace de Hilbert H. Soit D ⊂ D(T_{1})∩⋯∩D(T_{n}) un sous-espace vectoriel, dense dans H et invariant par T_{1}, ⋯, T_{n}. Il existe un espace de Hilbert K contenant H et un multi-opérateur normal N = (N_{1}, ⋯, N_{n}) défini dans K tels que l’on ait D ⊂ D(N_{1}) ∩ ⋯ ∩ D(N_{n}) et T_{j}x = N_{j}x pour tout élément x dans D et pour tout j dans {1, ⋯, n} si et seulement si il existe une 3n-suite Θ = (Θ_{α,β,δ})_{α,β,δ∈ℤ_{+}^{n}} de formes sesquilinéaires définies sur D × D vérifiant les cinq propriétés suivantes :

(1) Θ_{0,0,0}(∗, ∗) = ⟨∗, ∗⟩|_{D×D}.
(2) Θ_{0,e_{j},0}(x, y) = ⟨T^{e_{j}}x, y⟩ pour tout (x, y) ∈ D × D et pour tout j ∈ {1, ⋯, n}.
(3) Θ_{e_{j},e_{j},0}(x, x) = Θ_{e_{j},0,0}(T^{e_{j}}x, x) = ||T^{e_{j}}x||^{2}, j ∈ {1, ⋯, n}, x ∈ D.
(4) Θ_{α,β,δ} = Θ_{α,β,δ+e_{j}} + Θ_{α+e_{j},β+e_{j},δ+e_{j}} pour tout α, β, δ ∈ ℤ_{+}^{n} et pour tout

j ∈ {1, ⋯, n}.

(5) Θ est de type positive.

Démonstration. On suit les lignes de la démonstration du théorème 3.4 de [Vas4] (voir également [Pu-Vas2] et [Vas5] pour des méthodes similaires). Comme il existe des différences importantes dans la démonstration, on donnera tous les détails. On commence par supposer que le multi-opérateur T |_{D} = (T_{1}|_{D}, ⋯, T_{n}|_{D}) admette une extension normale N, définie dans un espace de Hilbert K contenant H. De plus, par notre hypothèse d’invariance, on a l’inclusion :

D ⊂ D^{∞}(N).

Soit E la mesure spectrale (jointe) associée au multi-opérateur normal N. On définit les formes sesquilinéaires Θ_{α,β,δ} sur D ⊗ D par :

(3.3.2) Θ_{α,β,δ}(x, y) = ⟨∫_{σ(N)} z̄^{α}z^{β}(1 + |z|^{2})^{−δ}dE(z)x, y⟩, ∀α, β, δ ∈ ℤ_{+}^{n}, ∀(x, y) ∈ D^{2}.

En particulier, pour tout (x, y) dans D^{2}, on a :

(3.3.3)  Θ_{0,0,0}(x, y) = ⟨∫_{σ(N)} 1dE(z)x, y⟩ = ⟨x, y⟩.

Ceci entraîne (1). De façon similaire, on obtient la condition (2) :

Θ_{0,e_{j},0}(x, y) = ⟨∫_{σ(N)} z^{e_{j}}dE(z)x, y⟩ = ⟨N^{e_{j}}x, y⟩ = ⟨T^{e_{j}}x, y⟩.

Pour la propriété (3), on a :

Θ_{e_{j},e_{j},0}(x, x) = ⟨∫_{σ(N)} z̄^{e_{j}}z^{e_{j}}dE(z)x, x⟩ = ⟨N^{∗e_{j}}N^{e_{j}}x, x⟩ = ||N^{e_{j}}x||^{2} = ||T^{e_{j}}x||^{2},

et

⟨N^{∗e_{j}}N^{e_{j}}x, x⟩ = ⟨∫_{σ(N)} z̄^{e_{j}}dE(z)N^{e_{j}}x, x⟩ = Θ_{e_{j},0,0}(T^{e_{j}}x, x).

Et pour chaque j ∈ {1, ⋯, n}, l’égalité suivante est évidente :

z̄^{α}z^{β}(1 + |z|^{2})^{−δ} = z̄^{α}z^{β}(1 + |z|^{2})^{−δ−e_{j}} + z̄^{α+e_{j}}z^{β+e_{j}}(1 + |z|^{2})^{−δ−e_{j}}.

Or cette relation appliquée au calcul fonctionnel de N entraîne trivialement (4). Enfin pour la condition (5), si on prend ϕ = ∑_{α,β,δ} z̄^{α}z^{β}(1 + |z|^{2})^{−δ} ⊗ x_{α,β,δ} dans F ⊗ D, on obtient :

\begin{aligned}Λ_{Θ}(ϕ, ϕ) & = ∑_{α,β,δ,α′,β′,δ′} Θ_{α+β′,β+α′,δ+δ′}(x_{α,β,δ}, x_{α′,β′,δ′}) \\ & = ∑_{α,β,δ,α′,β′,δ′}⟨∫_{σ(N)} z̄^{α+β′}z^{β+α′}(1 + |z|^{2})^{−δ−δ′}dE(z)x_{α,β,δ}, x_{α′,β′,δ′}⟩. \end{aligned}

Cette dernière expresssion n’est autre que :

∑_{α,β,δ,α′,β′,δ′}⟨∫_{σ(N)} z̄^{α}z^{β}(1 + |z|^{2})^{−δ}dE(z) ∫_{σ(N)} z̄^{β′}z^{α′}(1 + |z|^{2})^{−δ′}dE(z)x_{α,β,δ}, x_{α′,β′,δ′}⟩

Comme on sait que l’adjoint de l’opérateur ∫_{σ(N)} z̄^{β′}z^{α′}(1 + |z|^{2})^{−δ′}dE(z) n’est autre que ∫_{σ(N)} \overline{z̄^{β′}z^{α′}(1 + |z|^{2})^{−δ′}}dE(z), (voir [Du-Schw] théorème 6 p.1196), on obtient l’inégalité suivante :

Λ_{Θ}(ϕ, ϕ) = || ∑_{α,β,δ} ∫_{σ(N)} z̄^{α}z^{β}(1 + |z|^{2})^{−δ}dE(z)x_{α,β,δ}||^{2} ≥ 0.

Pour l’implication réciproque, on suppose que Λ_{Θ} est semi-définie positive sur F ⊗ D. Si on écrit chaque z_{j} = u_{j} + iv_{j}, alors F peut être vu comme l’algèbre des fractions rationelles à 2n variables réelles où les dénominateurs sont de la forme ∏_{j=1}^{n}(1 + u_{j}^{2} + v_{j}^{2})^{δ_{j}}. On notera par U_{1}, ⋯, U_{n}, V_{1}, ⋯, V_{n} les opérateurs multiplication par les variables indépendantes u_{1}, ⋯, u_{n}, v_{1}, ⋯, v_{n} respectivemenet sur F ⊗ D/N_{Θ} (où N_{Θ} est l’espace de tous les éléments ϕ ∈ F ⊗ D satisfaisant à Λ_{Θ}(ϕ, ϕ) = 0). On peut vérifier que les opérateurs (I + U_{j}^{2} + V_{j}^{2}) sont positifs et avec le même domaine dense F ⊗ D/N_{Θ}, qui est en particulier invariant par chaque U_{1}, ⋯, U_{n}, V_{1}, ⋯, V_{n} dans l’espace de Hilbert H_{Λ} associé à Λ_{Θ} (où H_{Λ} est la complétion de F ⊗ D/N_{Θ} et où ||.||_{Λ} est la norme hermitienne associée, pour plus de détails on peut se référer à [Ge-Na], [Du-Schw], [Fu], etc.). En effet, grâce à la linéarité de Λ_{Θ} et en utilisant le fait que les différentes variables u_{1}, ⋯, u_{n}, v_{1}, ⋯, v_{n} sont réelles, on obtient :

(3.3.4)

⟨[I + U_{j}^{2} + V_{j}^{2}]ϕ, ϕ⟩_{Λ} = Λ_{Θ}([I + U_{j}^{2} + V_{j}^{2}]ϕ, ϕ)
= Λ_{Θ}(ϕ, ϕ) + Λ_{Θ}(u_{j}ϕ, u_{j}ϕ) + Λ_{Θ}(v_{j}ϕ, v_{j}ϕ)
= ||ϕ||_{Λ}^{2} + ||u_{j}ϕ||_{Λ}^{2} + ||v_{j}ϕ||_{Λ}^{2} ≥ 0.

De plus, ces opérateurs (I + U_{j}^{2} + V_{j}^{2}) sont inversibles sur leur domaine de définition puisque l’algèbre F est l’ensemble de toutes les fractions rationnelles avec des dénominateurs de ce type. L’invariance de F ⊗D/N_{Θ} est également évidente. Egalement, pour chaque (j, k) ∈ {1, ⋯, n}^{2}, en utilisant la commutativité de U_{1}, ⋯, U_{n}, V_{1}, ⋯, V_{n}, on a l’égalité suivante :

(3.3.5) \begin{aligned}W_{j,k} & = (I + U_{j}^{2} + V_{j}^{2})(I + U_{k}^{2} + V_{k}^{2}) \\ & = I + U_{j}^{2} + V_{j}^{2} + U_{k}^{2} + V_{k}^{2} + (U_{j}U_{k})^{2} + (V_{j}V_{k})^{2} + (U_{j}V_{k})^{2} + (V_{j}U_{k})^{2}. \end{aligned}

Grâce aux remarques précédentes, ces opérateurs W_{j,k} sont tous positifs, inversibles et définis sur l’espace vectoriel dense F ⊗ D/N_{Θ} qui est invariant par tous les W_{j,k}. On peut donc appliquer le lemme 2.2 de [Pu-Vas2], donc les fermetures canoniques \overline{W_{j,k}} des W_{j,k} sont des opérateurs auto-adjoints. Maintenant, en appliquant la proposition 2.1 de cette même référence (qui généralise un résultat de [Nel]), on obtient que les fermetures \overline{U_{j}}, \overline{V_{j}}, \overline{U_{k}}, \overline{V_{k}}, \overline{U_{j}U_{k}}, \overline{V_{j}V_{k}}, \overline{U_{j}V_{k}}, \overline{V_{j}U_{k}}, des U_{j}, V_{j}, U_{k}, V_{k}, U_{j}U_{k}, V_{j}V_{k}, U_{j}V_{k}, V_{j}U_{k}, respectivement, sont des opérateurs auto-adjoints commutatifs. En particulier, \overline{U_{j}}, \overline{V_{j}}, \overline{U_{k}} et \overline{V_{k}}, commutent pour tout couple (j, k) ∈ \{1, ⋯, n\}^{2}. Finalement, on obtient que les opérateurs U_{1}, ⋯, U_{n}, V_{1}, ⋯, V_{n} sont essentiellement auto-adjoints, et de plus leurs fermetures canoniques commutent. On pose alors les opérateurs :

(3.3.6)  N_{j} = \overline{U_{j}} + i\overline{V_{j}}, j = 1, ⋯, n.

Ces opérateurs (N_{1}, ⋯, N_{n}) commutent et sont normaux. Soit F la mesure spectrale associée à cette famille d’opérateurs normaux. Alors, si r(U_{1}, ⋯, U_{n}, V_{1}, ⋯, V_{n}) est l’opérateur défini sur F ⊗ D/N_{Θ} par :

r(U_{1}, ⋯, U_{n}, V_{1}, ⋯, V_{n})(ϕ + N_{Θ}) = rϕ + N_{Θ},

pour tout r ∈ F et ϕ ∈ F ⊗ D. Alors on obtient les inclusions suivantes :

(3.3.7)  r(U_{1}, ⋯, U_{n}, V_{1}, ⋯, V_{n}) ⊂ r(\overline{U_{1}}, ⋯, \overline{U_{n}}, \overline{V_{1}}, ⋯, \overline{V_{n}}),

pour tout élément r dans F où r(\overline{U_{1}}, ⋯, \overline{U_{n}}, \overline{V_{1}}, ⋯, \overline{V_{n}}) est donné par le calcul fonctionnel de la famille commutative d’opérateurs auto-adjoints. En effet, si r est un polynôme, cette affirmation est triviale. Maintenant, soit g_{β} = (1 + u_{1}^{2} + v_{1}^{2})^{−β_{1}} ⋯ (1 + u_{n}^{2} + v_{n}^{2})^{−β_{n}} avec β ∈ ℤ_{+}^{n}. On a g_{β}(U_{1}, ⋯, U_{n}, V_{1}, ⋯, V_{n}) ⊂ g_{β}(\overline{U_{1}}, ⋯, \overline{U_{n}}, \overline{V_{1}}, ⋯, \overline{V_{n}}), puisque :

g_{β}(\overline{U_{1}}, ⋯, \overline{V_{n}})[g_{−β}(U_{1}, ⋯, U_{n}, V_{1}, ⋯, V_{n}) − g_{−β}(\overline{U_{1}}, ⋯, \overline{U_{n}}, \overline{V_{1}}, ⋯, \overline{V_{n}})] = 0,

sur F ⊗ D. En combinant les deux remarques précédentes, on obtient bien (3.3.7). Maintenant, comme on a Λ_{Θ}(z^{α} ⊗ x, 1 ⊗ y) = ⟨N^{α}(1 ⊗ x), (1 ⊗ y)⟩, on en déduit :

(3.3.8)  Λ_{Θ}(z^{α} ⊗ x, 1 ⊗ y) = ∫_{σ(N)} z^{α}dF_{1⊗x,1⊗y}.

En utilisant le plongement naturel de H dans H_{Λ}, on peut identifier l’opérateur T_{j} dans H et l’opérateur défini par 1 ⊗ x → 1 ⊗ T_{j}x. En conclusion, pour tout j ∈ {1, ⋯, n} et pour tout couple (x, y) ∈ D^{2} on obtient :

\begin{aligned}||T_{j}x − N_{j}x||_{Λ}^{2} & = ||T_{j}x||_{Λ}^{2} + ||N_{j}x||_{Λ}^{2} − 2ℜ⟨T_{j}x, N_{j}x⟩_{Λ} \\ & = Θ_{e_{j},e_{j},0}(x, x) + ⟨N_{j}^{∗}N_{j}x, x⟩_{Λ} − 2ℜΘ_{0,e_{j},0}(x, N_{j}x) \end{aligned}

= Λ_{Θ}(z^{e_{j}} ⊗ x, z^{e_{j}} ⊗ x) + ∫_{σ(N)} z^{e_{j}}z̄^{e_{j}}dF_{1⊗x,1⊗x} − 2ℜΛ_{Θ}(z^{e_{j}} ⊗ x, 1 ⊗ N_{j}x)

= 2Λ_{Θ}(z^{e_{j}} ⊗ x, z^{e_{j}} ⊗ x) − 2Λ_{Θ}(z^{e_{j}} ⊗ x, 1 ⊗ N_{j}x) = 0.

(où ℜ représente bien sûr la partie réelle d’un nombre complexe). Par conséquent, on a :

∀x ∈ D, T_{j}x = N_{j}x.

Le multi-opérateur T |_{D} = (T_{1}|_{D}, ⋯, T_{n}|_{D}) admet donc bien une extension normale.

3.3.3 Remarque : Au début de cette section, à partir d’une 3n-suite de formes sesquilinéaires, on a défini une forme hermitienne unitale Λ_{Θ} sur F ⊗ D. De manière similaire, soit Δ = (Δ_{α,β,δ})_{α,β,δ∈ℤ_{+}^{n}} une 3n-suite d’applications linéaires sur un sousespace D inclus dans H, vérifiant pour chaque élément (α, β, δ) ∈ (ℤ_{+}^{n})^{3} et pour tout couple (x, y) ∈ D × D les deux propriétés suivantes :

(3.3.9)  \begin{matrix}(iii) & Δ_{0,0,0} = I|_{D}, \\ (iv) & ⟨Δ_{α,β,δ}x, y⟩ = ⟨x, Δ_{β,α,δ}y⟩. \end{matrix}

Alors, on peut associer à cette multi-suite une forme hermitienne Λ_{Δ} sur F ⊗ D en posant pour tout couple (ϕ, ψ) dans (F ⊗ D)^{2} (avec les représentations ϕ = ∑_{α,β,δ} z̄^{α}z^{β}(1 + |z|^{2})^{−δ} ⊗ x_{α,β,δ} et ψ = ∑_{α,β,δ} z̄^{α}z^{β}(1 + |z|^{2})^{−δ} ⊗ y_{α,β,δ}) :

Λ_{Δ}(ϕ, ψ) = ∑_{α,β,δ,α′,β′,δ′}⟨Δ_{α+β′,β+α′,δ+δ′}x_{α,β,δ} , y_{α′,β′,δ′}⟩.

De plus, cette multi-suite Δ sera dite de type positive si la forme associée Λ_{Δ} est semi-définie positive.

3.3.4 Corollaire : Soit T = (T_{1}, ⋯, T_{n}) un multi-opérateur défini sur un espace de Hilbert H. Soit D ⊂ D(T_{1}) ∩ ⋯ ∩ D(T_{n}) un sous-espace, dense dans H et invariant par chaque T_{1}, ⋯, T_{n}. Il existe un espace de Hilbert K contenant H et un multiopérateur normal N = (N_{1}, ⋯, N_{n}) défini dans K tels que D ⊂ D(N_{1}) ∩ ⋯ ∩ D(N_{n}) et T_{j}x = N_{j}x pour tout élément x dans D et pour tout j dans {1, ⋯, n} si et seulement si il existe une 3n-suite Δ = (Δ_{α,β,δ})_{α,β,δ∈ℤ_{+}^{n}} d’applications linéaires sur D vérifiant les cinq propriétés suivantes :

(1′) Δ_{0,0,0} = I|_{D}.
(2′) Δ_{0,e_{j},0}x = T^{e_{j}}x pour tout x ∈ D et pour tout j ∈ {1, ⋯, n}.
(3′) ⟨Δ_{e_{j},e_{j},0}x, x⟩ = ⟨Δ_{e_{j},0,0}T^{e_{j}}x, x⟩ = ||T^{e_{j}}x||^{2}, j ∈ {1, ⋯, n}, x ∈ D.
(4′) Δ_{α,β,δ} = Δ_{α,β,δ+e_{j}} + Δ_{α+e_{j},β+e_{j},δ+e_{j}} pour tout α, β, δ ∈ ℤ_{+}^{n} et pour tout
j ∈ {1, ⋯, n}.
(5′) Δ est de type positive.

Démonstration. On suppose que T |_{D} = (T_{1}|_{D}, ⋯, T_{n}|_{D}) admette une extension normale N, définie dans un espace de Hilbert K qui contient H. Soit E la mesure spectrale associée à cette extension N et soit P_{H} la projection orthogonale de K sur H. On définit les opérateurs Δ_{α,β,δ} par :

(3.3.10) Δ_{α,β,δ}x = P_{H} ∫_{σ(N)} z̄^{α}z^{β}(1 + |z|^{2})^{−δ}dE(z)x, ∀α, β, δ ∈ ℤ_{+}^{n}, ∀x ∈ D.

En posant les formes sesquilinéaires Ω_{α,β,δ}(x, y) = ⟨Δ_{α,β,δ}x, y⟩ pour tout α, β, δ ∈ ℤ_{+}^{n}, x, y ∈ D, on obtient une 3n-suite Ω = (Ω_{α,β,δ})_{α,β,δ∈ℤ_{+}^{n}} de formes sesquilinéaires sur D × D. On peut vérifier sans trop de difficultés que les propriétés (1′)-(5′) sont bien satisfaites, ce sont les mêmes types de calculs que dans le théorème 3.3.2 (en utilisant en plus la densité de D dans H).

Pour l’implication inverse, il suffit d’utiliser le théorème 3.3.2 avec la 3n-suite Ω = (Ω_{α,β,δ})_{α,β,δ∈ℤ_{+}^{n}} de formes sesquilinéaires sur D × D définie ci-dessus. Les conditions (iii) et (iv) sur la multi-suite Δ impliquent clairement les conditions (i) et (ii) sur la multi-suite Ω. Il en est de même pour les hypothèses (1′)-(5′) sur Δ qui impliquent que Ω vérifie les hypothèses (1)-(5) du théorème 3.3.2.

Les résultats de cette section nous donne des conditions nécessaires et suffisantes pour décider si un multi-opérateur T |_{D} = (T_{1}|_{D}, ⋯, T_{n}|_{D}) est ou non, sous-normal. Néanmoins, dans ces formes, ces conditions ne sont pas assez explicites puisqu’elles ne dépendent pas uniquement du multi-opérateur donné T |_{D} mais aussi de l’existence d’une multi-suite de formes sesquilinéaires ou d’applications linéaires, avec des propriétés particulières. Dans la suite, on va donner des applications plus précises et plus explicites où ces critères peuvent s’appliquer, des situations où n’interviennent que des conditions sur le multi-opérateur donné T |_{D}.

Avant de donner un autre critère de sous-normalité, on donne un exemple où ces derniers résultats s’appliquent. On va donner des relations entre la sous-normalité d’un multi-opérateur (où chaque opérateur � coordonnée � est inversible) et la sousnormalité du multi-opérateur défini par leurs inverses. Même si on connaît des résultats pour un opérateur (voir le corollaire 2 de [St-Sz2]), le résultat semble être nouveau pour des uplets d’opérateurs. Il existe des uplets d’opérateurs permutables sous-normaux qui n’admettent pas d’extension normale. A. Lubin a donné un exemple d’un couple d’opérateurs sous-normaux n’ayant pas d’extension normale (jointe) (voir [Lub2] et [Abr], voir aussi [Lub3]).

3.3.5 Corollaire : Soit T = (T_{1}, ⋯, T_{n}) un multi-opérateur défini dans un espace de Hilbert H. Soit D un sous-espace dense inclus dans ∩_{i=1}^{n}D(T_{i}) tel que T_{i}D = D pour tout i = 1, ⋯, n. On suppose que chaque T_{i} est bijectif sur D. Alors, T |_{D} = (T_{1}|_{D}, ⋯, T_{n}|_{D}) est sous-normal si et seulement si T^{−1}|_{D} = (T_{1}^{−1}|_{D}, ⋯, T_{n}^{−1}|_{D}) est sous-normal.

Démonstration. Si le multi-opérateur T |_{D} est sous-normal, il existe une 3n-suite de formes linéaires définies sur D, (Θ_{α,β,δ})_{α,β,δ} vérifiant les propriétés (1) à (5) du théorème 3.3.2 (comme T |_{D} est sous-normal, T |_{D} est également permutable. On peut donc décrire sans ambiguïté les puissances de T |_{D}). On peut décrire une de ces multi-suites (voir (3.3.2)) :

Θ_{α,β,δ}(x, y) = ⟨∫_{σ(N)} z̄^{α}z^{β}(1 + |z|^{2})^{−δ}dE(z)x, y⟩, ∀α, β, δ ∈ ℤ_{+}^{n}, ∀(x, y) ∈ D^{2},

où E est la mesure spectrale associée à l’extension normale N de T |_{D}. Dans un premier temps, on peut donner deux propriétés supplémentaires vérifiées par cette multi-suite : pour tout (x, y) ∈ D^{2} et pour j = 1, ⋯, n, on a :

(3.3.11) \begin{aligned}Θ_{α,β,δ}(T_{j}x, y) & = ⟨∫_{σ(N)} z̄^{α}z^{β}(1 + |z|^{2})^{−δ}dE(z)N_{j}x, y⟩ \\ & = ⟨∫_{σ(N)} z̄^{α}z^{β+e_{j}}(1 + |z|^{2})^{−δ}dE(z)x, y⟩ = Θ_{α,β+e_{j},δ}(x, y). \end{aligned}

De façon similaire, on a également pour tout (x, y) ∈ D^{2} et pour j = 1, ⋯, n :

Θ_{α,β,δ}(x, T_{j}y) = Θ_{α+e_{j},β,δ}(x, y).

Maintenant, on définit la multi-suite Δ = (Δ_{α,β,δ}) de formes sesquilinéaires sur D, par l’égalité suivante :

(3.3.12) Δ_{α,β,δ}(x, y) = Θ_{α,β,δ}(T^{δ−2β}x, T^{δ−2α}y), ∀α, β, δ ∈ ℤ_{+}^{n}, ∀(x, y) ∈ D^{2}.

Alors, on va vérifier que cette nouvelle multi-suite satisfait aux conditions (1) à (5) du théorème 3.3.2 pour le multi-opérateur T^{−1}|_{D} = (T_{1}^{−1}|_{D}, ⋯, T_{n}^{−1}|_{D}). Dans un premier temps, on a évidemment :

Δ_{0,0,0}(x, y) = Θ_{0,0,0}(x, y) = ⟨x, y⟩.

En ce qui concerne la propriété (2), il suffit de voir :

Δ_{0,e_{j},0}(x, y) = Θ_{0,e_{j},0}(T_{j}^{−2}x, y) = ⟨T_{j}T_{j}^{−2}x, y⟩ = ⟨T_{j}^{−1}x, y⟩.

La troisième relation découle des deux séries d’égalités suivantes :

\begin{aligned}Δ_{e_{j},e_{j},0}(x, x) & = Θ_{e_{j},e_{j},0}(T_{j}^{−2}x, T_{j}^{−2}x) = ||T_{j}^{−1}x||^{2} \\ Δ_{e_{j},0,0}(T_{j}^{−1}x, x) & = Θ_{e_{j},0,0}(T_{j}^{−1}x, T_{j}^{−2}x) = Θ_{e_{j},0,0}(T_{j}T_{j}^{−2}x, T_{j}^{−2}x) = ||T_{j}^{−1}x||^{2}. \end{aligned}

La quatrième s’obtient grâce au calcul qui suit, pour tout couple (x, y) ∈ D :

−Δ_{α,β,δ}(x, y) + Δ_{α,β,δ+e_{j}}(x, y) + Δ_{α+e_{j},β+e_{j},δ+e_{j}}(x, y)
= −Θ_{α,β,δ}(T^{δ−2β}x, T^{δ−2α}y) + Θ_{α,β,δ+e_{j}}(T^{δ+e_{j}−2β}x, T^{δ+e_{j}−2α}y)
+Θ_{α+e_{j},β+e_{j},δ+e_{j}}(T^{δ−e_{j}−2β}x, T^{δ−e_{j}−2α}y)
= −Θ_{α+e_{j},β+e_{j},δ}(T^{δ−e_{j}−2β}x, T^{δ−e_{j}−2α}y) + Θ_{α+2e_{j},β+2e_{j},δ+e_{j}}(T^{δ−e_{j}−2β}x, T^{δ−e_{j}−2α}y)
+Θ_{α+e_{j},β+e_{j},δ+e_{j}}(T^{δ−e_{j}−2β}x, T^{δ−e_{j}−2α}y).
= −Θ_{a,b,c}(u, v) + Θ_{a+e_{j},b+e_{j},c+e_{j}}(u, v) + Θ_{a,b,c+e_{j}}(u, v) = 0,

où on a posé a = α+e_{j}, b = β +e_{j}, c = δ, u = T^{δ−e_{j}−2β}x et v = T^{δ−e_{j}−2α}y. Enfin, pour la condition de positivité, on doit montrer que, pour toute famille presque nulle x = (x_{α,β,δ})_{α,β,δ} d’éléments dans D, la somme ∑_{α,β,δ,α′,β′,δ′} Δ_{α+β′,β+α′,δ+δ′}(x_{α,β,δ}, x_{α′,β′,δ′}) est positive. Soient α_{0} = (max{α_{1}}, ⋯, max{α_{n}}) et β_{0} = (max{β_{1}}, ⋯, max{β_{n}}). Alors, cette somme peut s’écrire :

∑_{α,β,δ,α′,β′,δ′} Θ_{α+β′,β+α′,δ+δ′}(T^{δ+δ′−2β−2α′}x_{α,β,δ}, T^{δ+δ′−2β′−2α}x_{α′,β′,δ′})

= ∑_{α,β,δ,α′,β′,δ′} Θ_{α+β′,β+α′,δ+δ′}(T^{δ+δ′−2β_{0}−2α_{0}+2(β_{0}−β)+2(α_{0}−α′)}x_{α,β,δ},

T^{δ+δ′−2β_{0}−2α_{0}+2(β_{0}−β′)+2(α_{0}−α)}x_{α′,β′,δ′})

= ∑_{α,β,δ,α′,β′,δ′} Θ_{α+β′+δ+2(α_{0}−α),β+α′+δ′+2(α_{0}−α′),δ+δ′}(T^{δ−2β_{0}−2α_{0}+2(β_{0}−β)}x_{α,β,δ},

T^{δ′−2β_{0}−2α_{0}+2(β_{0}−β′)}x_{α′,β′,δ′}).

Donc, si l’on pose a = α+δ+2(α_{0}−α), b = β, c = δ, et y_{a,b,c} = T^{δ−2β_{0}−2α_{0}+2(β_{0}−β)}x_{α,β,δ}, la formule précédente n’est autre que :

∑_{a,b,c,a′,b′,c′} Θ_{a+b′,b+a′,c+c′}(y_{a,b,c}, y_{a′,b′,c′})

qui est positif puisque Θ satisfait à la propriété (5). Par conséquent, on peut appliquer le théorème 3.3.2. Ceci entraîne que le multi-opérateur T^{−1}|_{D} = (T_{1}^{−1}|_{D}, ⋯, T_{n}^{−1}|_{D}) est sous-normal.

De manière évidente, vu ce qui vient d’être démontré, T^{−1}|_{D} sous-normal implique que T |_{D} est sous-normal également.

3.3.6 Remarque : Dans le corollaire précédent, on ne suppose pas que les inverses des opérateurs (T_{i}|_{D})_{i} soient bornés. Ce théorème est une généralisation d’un résultat obtenu dans [St-Sz2] en 1989 (voir corollaire 2b), où le cas d’un seul opérateur a été étudié. On peut noter que ce corollaire peut se démontrer directement par la proposition suivante :

3.3.7 Proposition : Soit T = T_{1}, ⋯, T_{n} un multi-opérateur défini dans un espace de Hilbert H et soit D un sous-espace dense vérifiant D ⊂ ∩_{j=1}^{n}D(T_{j}) et T_{j}(D) = D. Si T est sous-normal et chaque T_{j} inversible sur D, on a pour tout x ∈ D :

T_{j}^{−1}x = ∫_{σ(N)} g_{j}(z)dE(z, \overline{z})x, j = 1, ⋯, n,

où N est une extension normale de T de mesure spectrale E et où la fonction g_{j} est donnée par : g_{j}(z) = z_{j}^{−1}χ_{{z_{j}≠0}}(z). En particulier, le multi-opérateur T^{−1}|_{D} = (T_{1}^{−1}|_{D}, ⋯, T_{n}^{−1}|_{D}) est sous-normal.

Démonstration. Les fonctions (g_{j})_{j} sont des fonctions boréliennes, définies sur ℂ^{n}, on peut donc définir les opérateurs K_{j} grâce au calcul fonctionnel par les égalités suivantes :

K_{j} = ∫_{σ(N)} g_{j}(z)dE(z, \overline{z}), j = 1, ⋯, n.

On pose alors les fonctions ϕ_{m,j} : z → z_{j}^{−1}χ_{{|z_{j}|≥1/m}}(z). On a évidemment la suite (ϕ_{m,j}(z))_{m} qui converge vers g_{j}(z) quand m tend vers +∞. Soit x ∈ D, on obtient :

∫_{σ(N)} ϕ_{m,j}(z)dE(z, \overline{z})x = ∫_{σ(N)} ϕ_{m,j}(z)dE(z, \overline{z})T_{j}T_{j}^{−1}x

= ∫_{σ(N)} ϕ_{m,j}(z)dE(z, \overline{z}) ∫_{σ(N)} z_{j}dE(z, \overline{z})T_{j}^{−1}x

= ∫_{σ(N)∩\{|z_{j}|≥1/m\}} 1dE(z, \overline{z})T_{j}^{−1}x = E(\{|z_{j}| ≥ 1/m\})T_{j}^{−1}x.

Cette dernière expression converge vers E({z_{j} ≠ 0})T_{j}^{−1}x. En particulier, on montre l’inclusion D ⊂ D(K_{j}) et K_{j}x = E({z_{j} ≠ 0})T_{j}^{−1}x. Si on note par P_{j} la projection orthogonale E({z_{j} ≠ 0}), on veut montrer que P_{j}x = x pour tout x ∈ D. Pour ce faire, on pose y = T_{j}^{−1}x, et on obtient :

P_{j}x = E({z_{j} ≠ 0})x = E({z_{j} ≠ 0})T_{j}T_{j}^{−1}x = E({z_{j} ≠ 0})N_{j}y
= E(\{z_{j} ≠ 0\}) ∫_{σ(N)} z_{j}dE(z, \overline{z})y = ∫_{\{z_{j}≠0\}} z_{j}dE(z, \overline{z})y

= ∫_{σ(N)} z_{j}dE(z, \overline{z})y = N_{j}y = T_{j}y = x.

Et donc on obtient le résultat voulu.

De prime abord, on aurait eu envie de prendre des extensions minimales, pour obtenir des extensions normales également inversibles. Malheureusement, ceci est délicat dans le cas non borné (voir en particulier [St-Sz3]), même pour un seul opérateur. De plus, même si on obtient des résultats sur une notion de minimalité pour des multiopérateurs (voir la dernière section), on obtiendra des conditions sur le spectre joint. Or ici, il faudrait que chaque composante de l’extension normale soit inversible.

3.3.8 Exemple : Si z_{1}, ⋯, z_{n} sont des nombres complexes non nuls tels que leurs modules vérifient |z_{1}|^{−1} < 1, ⋯, |z_{n}|^{−1} < 1, on a l’égalité :

(3.3.13)  \overline{z}^{α}(1 + |z|^{2})^{−δ}z^{β} = ∑_{κ≥0} f_{κ}(δ)\overline{z}^{α−δ−κ}z^{β−δ−κ},

pour tout multi-indice positif α, β, δ, κ, où on pose f_{κ}(δ) = ∏_{i=1}^{n} a_{κ_{i}}(δ_{i}), avec (a_{k}(0))_{k≥0} = (1, 0, ⋯) et a_{k}(m) = (−1)^{k}(m + k − 1)![m!(k − 1)!]^{−1} pour m ≠ 0. Les séries sont absolument convergentes. Cette représentation suggère la définition suivante : soit T = (T_{1}, ⋯, T_{n}) un multi-opérateur non borné, et soit D un sous-espace dense inclus dans D(T_{1}) ∩ ⋯ ∩ D(T_{n}) tel que T soit commutatif sur D. On suppose, de plus, que chaque élément composant T est inversible et que la norme de chaque T_{i}^{−1} est strictement plus petite que 1. On suppose, enfin, que T_{i}D = D pour tout entier i. Alors, on peut construire explicitement une multi-suite de formes sesquilinéaires Θ : on peut définir pour tout multi-indice positif α, β, δ et pour chaque couple (x, y) dans D^{2} :

(3.3.14)  Θ_{α,β,δ}(T)(x, y) = ∑_{κ≥0} f_{κ}(δ)⟨T^{β−δ−κ}x, T^{α−δ−κ}y⟩.

Les conditions sur les normes des T_{i}^{−1} impliquent que les séries (3.3.14) sont absolument convergentes. De plus, on peut vérifier que les propriétés (1) à (4) du théorème 3.3.2 sont bien satisfaites.

\underline{Proposition :} Soit T = (T_{1}, ⋯, T_{n}) un multi-opérateur défini dans un espace de Hilbert H et soit D un sous-espace dense vérifiant D ⊂ ∩_{j=1}^{n}D(T_{j}) et T_{j}(D) = D. Supposons que chaque T_{j} admette un inverse de norme strictement plus petite que 1. Les assertions suivantes sont équivalentes :

(i) T est sous-normal (ii) ∑_{I,J≥0}⟨T^{−I}x_{J}, T^{−J}x_{I}⟩ ≥ 0, pour toute famille presque nulle de D

(iii) ∑_{α,β,δ,α′,β′,δ′} ∑_{|k|≥0} f_{k}(δ + δ′)⟨T^{α′+β−δ−δ′−k}x_{α,β,δ}, T^{α+β′−δ−δ′−k}x_{α′,β′,δ′}⟩ ≥ 0, pour

toute famille presque nulle de D

Démonstration. Pour l’équivalence entre (i) et (ii), il nous suffit d’utiliser le critère de Itô (appliqué aux opérateurs inverses qui sont continus) combiné avec le corollaire 3.3.5. Le fait que (iii) implique (i) provient du théorème 3.3.2. En effet, si on utilise les Θ_{α,β,δ}(T)(x, y) définies plus haut au (3.3.14), on a déjà affirmé que les propriétés (1) à (4) de ce théorème étaient vérifiées. Il est facile de voir que la condition (5) est équivalente à l’hypothèse de positivité (iii). Il ne nous reste plus qu’à prouver que la sous-normalité implique la positivité (iii). Avec les notations de la proposition 3.3.7, la somme (iii) devient :

∑ ∑_{|k|≥0} f_{k}(δ + δ′)⟨∫ z^{α′+β}g(z)^{δ+δ′+k}dE(z, \overline{z})x_{α,β,δ}, ∫ z^{α+β′}g(z)^{δ+δ′+k}dE(z, \overline{z})x_{α′,β′,δ′}⟩,

où bien sûr on pose g(z) = (g_{1}(z), ⋯, g_{n}(z)), pour tout z ∈ ℂ^{n}. Cette expression peut s’écrire également :

\begin{matrix}∑_{α,β,δ,α′,β′,δ′} ∑_{|k|≥0} f_{k}(δ + δ′)⟨∫ z^{α′+β}\overline{z}^{α+β′}|g(z)|^{2δ+2δ′+2k}dE(z, \overline{z})x_{α,β,δ}, x_{α′,β′,δ′}⟩ \\ = ∑_{α,β,δ,α′,β′,δ′} ∑_{|k|≥0} f_{k}(δ + δ′)⟨∫ |g(z)|^{2δ+2δ′+2k}dE(z, \overline{z})T^{α′+β}x_{α,β,δ}, T^{α+β′}x_{α′,β′,δ′}⟩. \end{matrix}

De plus, on a la série à coefficients positifs suivante :

∑_{|k|≥0}(−1)^{|k|}f_{k}(δ + δ′) ∫ |g(z)|^{2δ+2δ′+2k}d⟨E(z, \overline{z})T^{α′+β}x_{α,β,δ}, T^{α+β′}x_{α′,β′,δ′}⟩

≤ ∑_{|k|≥0}(−1)^{|k|}f_{k}(δ + δ′)||T^{−1}||^{2δ+2δ′+2k}||T^{α′+β}x_{α,β,δ}||.||T^{α+β′}x_{α′,β′,δ′}||

≤ \frac{||T^{α′+β}x_{α,β,δ}||.||T^{α+β′}x_{α′,β′,δ′}||}{(1 − ||T_{1}^{−1}||^{2})^{δ_{1}+δ′_{1}} ⋯ (1 − ||T_{n}^{−1}||^{2})^{δ_{n}+δ′_{n}}} ||T^{−1}||^{2δ+2δ′}

Grâce à la convergence précédente, on peut appliquer le théorème de convergence dominée de Lebesgue pour obtenir que la formule (iii) peut se mettre sous la forme :

∑_{α,β,δ,α′,β′,δ′}⟨∫ ∑_{|k|≥0} f_{k}(δ + δ′)z^{α′+β}\overline{z}^{α+β′}|g(z)|^{2δ+2δ′+2k}dE(z, \overline{z})x_{α,β,δ}, x_{α′,β′,δ′}⟩.

Si on définit la fonction h_{a}(z) = ∑_{|k|≥0} f_{k}(a)|g(z)|^{2k}, cette fonction est intégrable donc définie presque partout pour la mesure d⟨E(z, \overline{z})x_{α,β,δ}, x_{α′,β′,δ′}⟩ = dμ(z, \overline{z}). En effet, on a :

\begin{aligned}∫ |h_{a}(z)|dμ(z, \overline{z}) & ≤ ∫ ∑_{|k|≥0}(−1)^{|k|}f_{k}(a)|g(z)|^{2k}dμ(z, \overline{z}) \\ & ≤ \frac{||T^{α′+β}x_{α,β,δ}||.||T^{α+β′}x_{α′,β′,δ′}||}{(1 − ||T_{1}^{−1}||^{2})^{a_{1}} ⋯ (1 − ||T_{n}^{−1}||^{2})^{a_{n}}} < +∞. \end{aligned}

Il en est de même pour la fonction ∑_{|k|≥0} |f_{k}(a)|.|g(z)|^{2k}. On fait le produit de Dirichlet de h_{a}(z) et de h_{b}(z) pour obtenir :

∑_{|k|≥0} f_{k}(a)|g(z)|^{2k} ∑_{|k|≥0} f_{k}(b)|g(z)|^{2k} = ∑_{|k|≥0} f_{k}(a + b)|g(z)|^{2k}.

Par conséquent, la série (iii) devient :

∑_{α,β,δ,α′,β′,δ′}⟨∫ z^{α′+β}\overline{z}^{α+β′}h_{δ}(z)h_{δ′}(z)|g(z)|^{2δ+2δ′}dE(z, \overline{z})x_{α,β,δ}, x_{α′,β′,δ′}⟩

= ∑⟨∫ z^{β}\overline{z}^{α}h_{δ}(z)|g(z)|^{2δ}dE(z, \overline{z})x_{α,β,δ}, ∫ z^{β′} \overline{z}^{α′}h_{δ′}(z)|g(z)|^{2δ′}dE(z, \overline{z})x_{α′,β′,δ′}⟩

= || ∑_{α,β,δ} ∫ z^{β}\overline{z}^{α}h_{δ}(z)|g(z)|^{2δ}dE(z, \overline{z})x_{α,β,δ}||^{2} ≥ 0.

Et donc, la sous-normalité de T implique bien la condition (iii).

On utilise, maintenant, le théorème 3.2.2 sur la sous-normalité formelle jointe pour obtenir un nouveau critère de sous-normalité pour des multi-opérateurs non bornés. On étudiera à nouveau des multi-opérateurs avec des domaines communs denses qui restent invariants par chaque opérateur composant le n-uplet. Pour ce faire, on adapte la démonstration du théorème 3 de J. Stochel et F.H. Szafraniec donnée dans [St-Sz2]. Mais avant ceci, on a besoin d’un résultat sur les extensions autoadjointes d’opérateurs symétriques (voir le théorème 4.1 de [Sli] pour deux opérateurs symétriques et des résultats de R.T. Powers dans [Po]).

3.3.9 Définition : Soit S = (S_{1}, ⋯, S_{m}) un m-uplet d’opérateurs symétriques définis sur un espace de Hilbert séparable H. Soit D un sous-espace linéaire dense qui reste invariant par chaque S_{i}, tel que S_{i}S_{j} = S_{j}S_{i} sur D (i, j = 1, ⋯, m). Soit, aussi, A l’algèbre de tous les éléments de la forme p(S_{1}, ⋯, S_{m}) où p décrit les polynômes en m variables. On dira que l’algèbre A est complétement fortement positive sur D (voir définition 5.4 de [Po]) si l’implication suivante est vraie :

on suppose que (p_{i,j})_{i,j≥0} est une famille finie de polynômes en m variables telle que pour tout (x_{1}, ⋯, x_{m}) on a :

(3.3.15)  ∑_{i,j≥0} p_{i,j}(x_{1}, ⋯, x_{m})\overline{λ}_{i}λ_{j} ≥ 0, ∀λ_{i} ∈ ℂ,

Alors, on a pour toute famille finie (f_{i})_{i} dans D :

(3.3.16)  ∑_{i,j≥0}⟨p_{i,j}(S_{1}, ⋯, S_{m})f_{i}, f_{j}⟩ ≥ 0.

3.3.10 Lemme : Soit A = (A_{1}, ⋯, A_{m}) un multi-opérateur défini dans un espace de Hilbert séparable H tel que chaque A_{i} soit symétrique. Soit D un sous-espace linéaire dense qui reste invariant par chaque A_{i}, tel que A_{i}A_{j} = A_{j}A_{i} sur D (i, j = 1, ⋯, m). Si l’algèbre engendrée par les (A_{i})_{i} est complétement fortement positive sur D, les opérateurs (A_{i}|_{D})_{i=1,···,m} admettent des extensions qui sont auto-adjointes telles que leurs mesures spectrales commutent.

Démonstration. Soit A l’algèbre de tous les polynômes en (A_{1}, ⋯, A_{m}). Soit également, I une représentation de cette algèbre A :

I : A → Opérateurs sur D
T → T |_{D}.

Alors l’identité I est une représentation auto-adjointe de la ∗-algèbre A sur l’espace de Hilbert H. Comme A est complétement fortement positive sur D, en appliquant le corollaire 5.5 de [Po], I est une représentation standard. Donc, les opérateurs A_{1}|_{D}, ⋯, A_{m}|_{D} sont essentiellement auto-adjoints et leurs fermetures canoniques admettent des projections spectrales qui commutent.

3.3.11 Théorème : Soit S = (S_{1}, ⋯, S_{m}) un multi-opérateur défini dans un espace de Hilbert séparable H. Soit D un sous-espace vectoriel dense inclus dans H tel que S_{i}(D) ⊂ D et S_{i}S_{j} = S_{j}S_{i} sur D (i, j = 1, ⋯, m). Alors, le multi-opérateur S|_{D} = (S_{1}|_{D}, ⋯, S_{m}|_{D}) est sous-normal si et seulement si on a l’implication suivante :

Si {a_{i,j}^{P,Q}, i, j ∈ ℤ_{+}, P, Q ∈ ℤ_{+}^{m}} est une famille finie de nombres complexes,

(i)  ∑_{i,j≥0} ∑_{P,Q≥0} a_{i,j}^{P,Q} \overline{λ_{i}} λ_{j} \overline{z}^{Q} z^{P} ≥ 0, ∀λ_{i} ∈ ℂ, ∀z ∈ ℂ^{m},

implique l’inégalité

(ii)  ∑_{i,j≥0} ∑_{P,Q≥0} ∑_{K,L≥0} a_{i,j}^{P,Q} ⟨S^{K+P} f_{j,L}, S^{L+Q}f_{i,K}⟩ ≥ 0,

où {f_{i,K}, i ∈ ℤ_{+}, K ∈ ℤ_{+}^{m}} est une famille presque nulle d’éléments dans D.

Démonstration. On suit la preuve du théorème 3 dans [St-Sz2], en utilisant le théorème 3.2.2 et le lemme précédent 3.3.10. Afin de faciliter la lecture, on écrira tous les détails de la démonstration. Premièrement, on suppose que S|_{D} admette une extension normale N. Comme D est invariant par chaque S_{j}, on a l’inclusion D ⊂ ∩_{j=1,···,m}D^{∞}(N_{j}). De plus, on a D ⊂ ∩_{j=1,···,m}D^{∞}(N_{j}^{∗}). En effet, par le théorème 6 p.1196 de [Du-Schw], on a pour un multi-opérateur normal :

\begin{aligned}x ∈ D^{α}(N) & ⇔ ∫ |z^{α}|^{2}⟨dE(\overline{z}, z)x, x⟩ < +∞ ⇔ ∫ |\overline{z}^{α}|^{2}⟨dE(\overline{z}, z)x, x⟩ < +∞ \\ & ⇔ x ∈ D^{α}(N^{∗}). \end{aligned}

Soit P(\overline{z}, z) le polynôme ∑_{i,j≥0} ∑_{P,Q≥0} a_{i,j}^{P,Q} \overline{λ_{i}} λ_{j} \overline{z}^{Q} z^{P} , et on suppose qu’il ne prend que des valeurs positives pour tout z = (z_{1}, ⋯, z_{m}) ∈ ℂ^{m}, où les (λ_{i})_{i} sont des nombres complexes. Alors, on obtient pour toute famille {f_{i,K}, i ∈ ℤ_{+}, K ∈ ℤ_{+}^{m}} presque nulle dans D :

∑_{i,j≥0} ∑_{P,Q≥0} ∑_{K,L≥0} a_{i,j}^{P,Q}⟨S^{K+P} f_{j,L}, S^{L+Q}f_{i,K}⟩ = ∑_{i,j≥0} ∑_{P,Q≥0} ∑_{K,L≥0} a_{i,j}^{P,Q}⟨N^{K+P} f_{j,L}, N^{L+Q}f_{i,K}⟩

= ∑_{i,j≥0} ∑_{P,Q≥0} ∑_{K,L≥0} a_{i,j}^{P,Q} ⟨N^{P} N^{∗L}f_{j,L}, N^{Q}N^{∗K}f_{i,K}⟩.

Si on pose h_{i} = ∑_{K≥0} N^{∗K}f_{i,K} pour tout i ≥ 0, l’expression précédente devient :

(3.3.17)  ∑_{i,j≥0} ∑_{P,Q≥0} a_{i,j}^{P,Q} ⟨N^{P} h_{j}, N^{Q}h_{i}⟩.

Enfin, si l’on pose

(3.3.18)  P_{i,j}(\overline{z}, z) = ∑_{P,Q≥0} a_{i,j}^{P,Q} \overline{z}^{Q} z^{P} ,

la formule du départ peut s’écrire sous la forme :

(3.3.19)  ∑_{i,j≥0}⟨P_{i,j}(N, N^{∗})h_{j}, h_{i}⟩ = ∑_{i,j≥0} ∫ P_{i,j}(\overline{z}, z)d⟨E(\overline{z}, z)h_{j}, h_{i}⟩,

où E est la mesure spectrale associée au multi-opérateur N. On définit maintenant la mesure μ par :

μ(τ) = ∑_{i=1}^{l}⟨E(τ)h_{i}, h_{i}⟩, ∀τ ∈ Bor(ℂ^{m}).

Bien sûr, cette mesure est positive. Par le théorème de Radon-Nikodyn, on montre que toutes les mesures complexes ⟨E(∗)h_{i}, h_{j}⟩ (i, j = 1, ⋯, l) sont absolument continues et donc il existe une famille (F_{i,j}) de fonctions boréliennes qui vérifie :

⟨E(τ)h_{i}, h_{j}⟩ = ∫_{τ} F_{i,j}(\overline{z}, z)dμ(\overline{z}, z),

pour tout borélien de ℂ^{m}. Si (λ_{i})_{i=1,···,l} est une famille de nombres complexes, on a :

∫_{τ} ∑_{i,j=1}^{l} F_{i,j}(\overline{z}, z)\overline{λ_{i}}λ_{j}dμ(\overline{z}, z) = ∑_{i,j=1}^{l} \overline{λ_{i}}λ_{j}⟨E(τ)h_{i}, h_{j}⟩ = ⟨E(τ) ∑_{i=1}^{l} λ_{i}h_{i}, E(τ) ∑_{j=1}^{l} λ_{j}h_{j}⟩.

Comme ceci est vrai pour tout τ, on en déduit l’inégalité :

(3.3.20)  ∑_{i,j=1}^{l} F_{i,j}(\overline{z}, z)\overline{λ_{i}}λ_{j} ≥ 0,

ceci μ-presque partout. Donc la matrice (F_{i,j}(\overline{z}, z))_{i,j} est positive quelles que soient les valeurs de z ∈ supp(μ). Si la propriété (i) est supposée, on obtient :

∑_{i,j≥0} \overline{λ_{i}} λ_{j}P_{i,j}(\overline{z}, z) ≥ 0, ∀λ_{i} ∈ ℂ, ∀z ∈ ℂ^{m},

et donc la matrice (P_{i,j}(\overline{z}, z))_{i,j} est également positive. Par une propriété classique du produit de Schur, on obtient que la matrice (P_{i,j}F_{i,j}) est positive μ-presque partout. En appliquant ce résultat à la famille de nombres complexes (1, ⋯, 1), on a alors :

(3.3.21)  ∑_{i,j=1}^{l} F_{i,j}(\overline{z}, z)P_{i,j}(\overline{z}, z) ≥ 0, μ-presque partout.

Or on a la relation suivante :

∑_{i,j≥0}⟨P_{i,j}(N, N^{∗})h_{j}, h_{i}⟩ = ∑_{i,j≥0} ∫ F_{i,j}(\overline{z}, z)P_{i,j}(\overline{z}, z)dμ(\overline{z}, z) ≥ 0.

Ceci achève la démonstration de la première implication.

Supposons maintenant que (i) implique (ii), et prenons comme famille de nombres complexes a_{0,0}^{0,0} = 1 et a_{i,j}^{P,Q} = 0 si non. Alors l’expression (i) devient |λ_{0}|^{2}. Par conséquent, on obtient par l’implication :

∑_{K,L≥0}⟨S^{K}f_{0,L}, S^{L}f_{0,K}⟩ ≥ 0,

pour toute famille presque nulle {f_{0,K}, K ∈ ℤ_{+}^{m}} dans D. Donc S vérifie le critère de Itô sur D. Grâce à la proposition 3.2.2, il existe un multi-opérateur formellement normal N = (N_{1}, ⋯, N_{m}) (vérifiant les conditions (i)-(iii) de cette proposition) qui prolonge S|_{D}. Chaque opérateur N_{j} peut se mettre sous la forme A_{j} + iB_{j} où A_{j} = (N_{j} + N_{j}^{∗})/2 et B_{j} = (N_{j} − N_{j}^{∗})/2i sont des opérateurs symétriques ayant pour domaines D(N_{j}) = D(A_{j}) = D(B_{j}). Grâce à ces propriétés (i)-(iii), ces opérateurs A_{1}, ⋯, A_{m}, B_{1}, ⋯, B_{m} sont commutatifs sur D′ (où D′ est défini dans la proposition 3.2.2). De plus, par le lemme 3.3.10, il nous suffit de montrer que ces opérateurs sont complètement fortement positifs sur D′. Soit (P_{i,j})_{i,j} un nombre fini de polynômes en 2m variables tels que pour chaque (x_{1}, ⋯, x_{m}, y_{1}, ⋯, y_{m}) on ait :

(3.3.22)  ∑_{i,j≥0} P_{i,j}(x_{1}, ⋯, x_{m}, y_{1}, ⋯, y_{m})\overline{λ}_{i}λ_{j} ≥ 0, ∀λ_{i} ∈ ℂ.

Alors on en déduit, pour tout f_{i} dans D′ :

∑_{i,j≥0}⟨P_{i,j}(A_{1}, ⋯, A_{m}, B_{1}, ⋯, B_{m})f_{i}, f_{j}⟩ = ∑_{i,j≥0}⟨Q_{i,j}(N, N^{∗})f_{i}, f_{j}⟩

où :

(3.3.23)  Q_{i,j}(\overline{z}, z) = P_{i,j}(x_{1}, ⋯, x_{m}, y_{1}, ⋯, y_{m}) = ∑_{P,Q≥0} a_{i,j}^{P,Q} \overline{z}^{Q} z^{P} ≥ 0,

si z_{j} = x_{j} + iy_{j}. Par conséquent, on obtient :

∑_{i,j≥0}⟨Q_{i,j}(N, N^{∗})f_{i}, f_{j}⟩ = ∑_{i,j≥0} ∑_{P,Q≥0} a_{i,j}^{P,Q}⟨N^{P} N^{∗Q}f_{i}, f_{j}⟩.

En utilisant la remarque 3.2.3, chaque f_{i} peut s’écrire ∑_{L} N^{∗L}g_{i,L} avec g_{i,L} ∈ D. On en déduit que l’expression précédente devient :

∑_{i,j≥0} ∑_{P,Q≥0} ∑_{K,L≥0} a_{i,j}^{P,Q}⟨N^{P} N^{∗Q}N^{∗L}g_{i,L}, N^{∗K}g_{j,K}⟩.

En utilisant la propriété (iii) de la proposition 3.2.2, on a :

∑_{i,j≥0}⟨Q_{i,j}(N, N^{∗})f_{i}, f_{j}⟩ = ∑_{i,j≥0} ∑_{P,Q≥0} ∑_{K,L≥0} a_{i,j}^{P,Q}⟨S^{P +K}g_{i,L}, S^{Q+L}g_{j,K}⟩ ≥ 0.

En conclusion, la famille (A_{1}, ⋯, A_{m}, B_{1}, ⋯, B_{m}), qui est commutative sur D′, est complètement fortement positive sur ce même espace. Il nous suffit alors d’appliquer le lemme 3.3.10 pour obtenir la sous-normalité voulue, en posant bien sûr N_{j} = \overline{A_{j}}+i\overline{B_{j}} (j = 1, ⋯, m).

Comme conséquence directe de cette caractérisation, on peut donner une autre preuve du corollaire 3.3.5 basée sur la méthode employée par J. Stochel et F.H. Szafraniec dans le corollaire 2 de [St-Sz2].

Autre démonstration du corollaire 3.3.5. : Soit (a_{i,j}^{P,Q}) une famille presque nulle de nombres complexes telle que l’on ait :

∑_{i,j≥0} ∑_{P,Q≥0} a_{i,j}^{P,Q} \overline{λ_{i}} λ_{j} \overline{z}^{Q} z^{P} ≥ 0, ∀λ_{i} ∈ ℂ, ∀z ∈ ℂ^{m}.

Dans ces conditions, il existe un multi-indice N qui majore tous les (P, Q) tel que a_{i,j}^{P,Q} ≠ 0. On définit alors une nouvelle famille en posant : b_{i,j}^{P,Q} = a_{i,j}^{N−P,N−Q}. Alors, on vérifie :

(3.3.24) \begin{aligned}∑_{i,j≥0} ∑_{P,Q≥0} b_{i,j}^{P,Q} \overline{λ_{i}} λ_{j} \overline{z}^{Q} z^{P} & = ∑_{i,j≥0} ∑_{P,Q≥0} a_{i,j}^{N−P,N−Q} \overline{λ_{i}} λ_{j} \overline{z}^{Q} z^{P} \\ & = ∑_{i,j≥0} ∑_{P′,Q′≥0} a_{i,j}^{P′,Q′} \overline{λ_{i}} λ_{j} \overline{z}^{N−Q′} z^{N−P′} \\ & = |z|^{2N} ∑_{i,j≥0} ∑_{P′,Q′≥0} a_{i,j}^{P′,Q′} \overline{λ_{i}} λ_{j} (\frac{1}{\overline{z}})^{Q′} (\frac{1}{z})^{P′} ≥ 0 \end{aligned}

Ceci est valable dès que chaque coordonnée de z est non nulle. Dans le cas contraire, on reprend le même procédé en ne s’occupant que des coordonnées non nulles de z. Si on suppose maintenant que le multi-opérateur S|_{D} est sous-normal, on doit montrer l’inégalité suivante :

∑_{i,j≥0} ∑_{P,Q≥0} ∑_{K,L≥0} a_{i,j}^{P,Q} ⟨(S^{−1})^{K+P} f_{j,L}, (S^{−1})^{L+Q}f_{i,K}⟩ ≥ 0.

Comme la famille (a_{i,j}^{P,Q}) est presque nulle, on choisit un multi-indice R tel que a_{i,j}^{P,Q} ne soit pas nul uniquement lorsque P, Q ≤ R. On pose alors les vecteurs g_{j,L} = (S^{−1})^{N+R}f_{j,R−L} pour tout j entier et pour tout L ≥ 0 (on a une famille finie en L). Dans ces conditions, la partie de gauche dans l’expression précédente devient :

(3.3.25)  \begin{matrix}∑_{i,j≥0} ∑_{P,Q≥0} ∑_{K,L≥0} a_{i,j}^{P,Q} ⟨(S^{−1})^{K+P} S^{N+R}g_{j,R−L}, (S^{−1})^{L+Q}S^{N+R}g_{i,R−K} \\ = ∑_{i,j≥0} ∑_{P,Q≥0} ∑_{K′,L′≥0} a_{i,j}^{P,Q} ⟨S^{N+K′−P} g_{j,L′}, (S^{−1})^{N+L′−Q}g_{i,K′}⟩ \\ = ∑_{i,j≥0} ∑_{P′,Q′≥0} ∑_{K′,L′≥0} b_{i,j}^{P′,Q′} ⟨S^{K′+P′}g_{j,L′}, S^{L′+Q′}g_{i,K′}⟩. \end{matrix}

Grâce au théorème 3.3.11, cette dernière équation est positive puisque S|_{D} est sousnormal et que l’on a la positivité de ∑_{i,j≥0} ∑_{P,Q≥0} b_{i,j}^{P,Q} \overline{λ_{i}} λ_{j} \overline{z}^{Q} z^{P} , par ce qui a été fait

précédemment. On en conclut que le multi-opérateur (S_{1}^{−1}|_{D}, ⋯, S_{m}^{−1}|_{D}) est sousnormal par le théorème 3.3.11. Ceci prouve le corollaire 3.3.5.

Si (η_{α})_{α∈A} est une famille arbitraire de vecteurs dans un espace H, on notera par V ect(η_{α})_{α∈A} l’espace vectoriel engendré par cette famille.

3.3.12 Notation : On commence par donner quelques notations qui simplifieront les écritures. Si Kr désigne le symbole de Kronecker sur ℤ, pour tous multi-indices I = (i_{1}, ⋯, i_{m}) et J = (j_{1}, ⋯, j_{m}) dans ℤ^{m}, on notera par Kr(I, J) la valeur suivante :

Kr(I, J) = Kr(i_{1}, j_{1}) ⋯ Kr(i_{m}, j_{m}).

3.3.13 Exemple : Nous allons maintenant donner un exemple de multi-opérateur sur lequel le théorème 3.3.11 s’applique. On reprend un exemple de Stochel et Szafraniec (voir entre autres [St-Sz2], [St-Sz3], [Ot]) que l’on adapte au cas de plusieurs variables. On se place dans L^{2}(ℝ^{m}). On définit la famille de fonctions de Chebyshev-Hermite (voir [Ak-Gl]) dans le cas de plusieurs variables :

(3.3.26)  f_{P} (x_{1}, ⋯, x_{m}) = e^{(x_{1}^{2}+···+x_{m}^{2})/2} \frac{∂^{|P |}}{∂x_{1}^{p_{1}} ⋯ ∂x_{m}^{p_{m}}} (e^{−(x_{1}^{2}+···+x_{m}^{2})}), ∀P ≥ 0.

On définit H comme étant le complété de l’espace engendré par les (f_{P})_{P ≥0} en accord avec la norme de L^{2}(ℝ^{m}). On pose alors, sur l’espace vectoriel V ect(f_{P})_{P ≥0}, le multiopérateur commutatif A = (A_{1}, ⋯, A_{m}) défini par :

(3.3.27)  A_{j} = \frac{1}{\sqrt{2}}(x_{j} − \frac{∂}{∂x_{j}}); j = 1, ⋯, m.

On a alors pour tout multi-indice P positif : (3.3.28)

\begin{aligned}\sqrt{2}A_{j}(f_{P}) & = x_{j}f_{P} − x_{j}f_{P} − e^{(x_{1}^{2}+···+x_{m}^{2})/2} \frac{∂^{|P |+1}}{∂x_{1}^{p_{1}} ⋯ ∂x_{j}^{p_{j}+1} ⋯ ∂x_{m}^{p_{m}}} (e^{−(x_{1}^{2}+···+x_{m}^{2})}) \\ & = −f_{P +e_{j}}. \end{aligned}

Par récurrence, on montre donc que :

(3.3.29)  A^{N}(f_{P}) = (\frac{−1}{\sqrt{2}})^{|N|}f_{P +N}, ∀P, N ≥ 0.

On en conclut que A est un multi-shift à poids commutatif (que l’on peut appeler multiopérateur de création, en accord avec la dénomination de Stochel et Szafraniec). En remarquant que, pour chaque fonction de notre famille, on peut séparer les variables et en utilisant les calculs de [Ak-Gl], on a pour tout couple de multi-indices positifs (P, Q) :

(3.3.30)  ∫_{ℝ^{m}} f_{P} (t)f_{Q}(t)dt = \{ \begin{matrix}0 & si P ≠ Q \\ 2^{|P |}P!\sqrt{π}^{m} & si non, \end{matrix}

où bien entendu P! = p_{1}! ⋯ p_{m}!.

Si {a_{i,j}^{P,Q}, i, j ∈ ℤ_{+}, P, Q ∈ ℤ_{+}^{m}} est une famille finie de nombres complexes qui vérifie :

∑_{i,j≥0} ∑_{P,Q≥0} a_{i,j}^{P,Q} \overline{λ_{i}} λ_{j} \overline{z}^{Q} z^{P} ≥ 0, ∀λ_{i} ∈ ℂ, ∀z ∈ ℂ^{m}.

Soit (g_{j,L})_{j,L} une famille finie de vecteurs de l’ensemble de définition du multi-opérateur étudié. Alors, pour tout couple (j, L) ∈ ℤ_{+} × ℤ_{+}^{m}, on peut écrire g_{j,L} = ∑_{M≥0} b_{j,L,M}f_{M} (les (f_{M})_{M} étant justement les fonctions de Chebyshev-Hermite). Pour appliquer le théorème 3.3.11, on doit prouver que l’expression suivante est positive :

(3.3.31)  ∑_{i,j≥0} ∑_{P,Q≥0} ∑_{K,L≥0} a_{i,j}^{P,Q} ⟨A^{K+P} g_{j,L}, A^{L+Q}g_{i,K}⟩.

Par ce qui vient d’être dit, l’expression précédente (3.3.31) peut s’écrire :

∑_{i,j≥0} ∑_{P,Q≥0} ∑_{K,L≥0} ∑_{M,N≥0} a_{i,j}^{P,Q} b_{j,L,M} \overline{b_{i,K,N}}⟨A^{K+P} f_{M}, A^{L+Q}f_{N}⟩.

En utilisant la formule (3.3.29), on obtient pour (3.3.31) :

∑_{i,j≥0} ∑_{P,Q≥0} ∑_{K,L≥0} ∑_{M,N≥0} a_{i,j}^{P,Q} b_{j,L,M} \overline{b_{i,K,N}}(\frac{−1}{\sqrt{2}})^{|K+P +L+Q|}⟨f_{M+K+P} , f_{N+L+Q}⟩.

Grâce à la formule intégrale (3.3.30), la formule (3.3.31) n’est autre que :

∑ a_{i,j}^{P,Q} b_{j,L,M} \overline{b_{i,K,N}} (\frac{−1}{\sqrt{2}})^{|K+P +L+Q|} 2^{|M+K+P |}(M + K + P)!

×\sqrt{π}^{m}Kr(M + K + P, N + L + Q),

où Kr est défini à partir du symbole de Kronecker (voir notation 3.3.12). De plus comme tous les multi-indices sont positifs, on peut travailler sur leur module sans danger. On obtient donc comme écriture équivalente à (3.3.31) :

∑ a_{i,j}^{P,Q} b_{j,L,M} \overline{b_{i,K,N}}(−1)^{|K+P +L+Q|}\sqrt{2}^{|M+N|}(M+K+P)!\sqrt{π}^{m}Kr(M+K+P, N+L+Q).

On va maintenant transformer la formule précédente en utilisant des reésentations intégrales. Il est bien connu que (n!) est une suite de moments de Steiltjes. On a donc :

(3.3.32)  p_{1}! ⋯ p_{m}! = ∫_{ℝ_{+}^{m}} t_{1}^{p_{1}} ⋯ t_{m}^{p_{m}}e^{−(t_{1}+···+t_{m})}dt_{1} ⋯ dt_{m}.

De la même manière, on transforme le symbole de Kronecker :

(3.3.33)  Kr(M + K + P, N + L + Q) = ∫_{𝕋^{m}} u^{M+K+P} \overline{u}^{N+L+Q}dσ(u_{1}, ⋯, u_{m}),

où 𝕋 est le Tore et où σ est la mesure de probabilité sur 𝕋^{m}. Alors, gâce à (3.3.32) et (3.3.33), l’expression (3.3.31) devient maintenant :

\begin{matrix}∑ a_{i,j}^{P,Q} b_{j,L,M} \overline{b_{i,K,N}}(−1)^{|K+P +L+Q|}\sqrt{2}^{|M+N|}\sqrt{π}^{m} ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{M+K+P} e^{−(t_{1}+···+t_{m})}dt_{1} ⋯ dt_{m} \\ × ∫_{𝕋^{m}} u^{M+K+P} \overline{u}^{N+L+Q}dσ(u). \end{matrix}

On peut, de plus, remarquer que lorsque M + K + P = N + L + Q, l’expression (−1)^{|K+P +L+Q|} peut s’écrire (−1)^{|K+P +L+Q+M+K+P +N+L+Q|}, ce qui n’est rien d’autre que (−1)^{|M+N|}. En utilisant le changement de variables t_{j} = x_{j}^{2} pour (j = 1, ⋯, m), l’expression (3.3.31) peut se mettre sous la forme :

\begin{matrix}∑ a_{i,j}^{P,Q} b_{j,L,M} \overline{b_{i,K,N}} (−1)^{|M+N|} \sqrt{2}^{|M+N|} \sqrt{π}^{m} ∫_{𝕋^{m}} u^{M+K+P} \overline{u}^{N+L+Q}dσ(u) \\ × ∫_{ℝ_{+}^{m}} x^{M+K+P} x^{N+L+Q}2^{m}x_{1} ⋯ x_{m}e^{−(x_{1}^{2}+···+x_{m}^{2})}dx_{1} ⋯ dx_{m}. \end{matrix}

Si on note dρ(x, u) la mesure 2^{m}x_{1} ⋯ x_{m}e^{−(x_{1}^{2}+···+x_{m}^{2})}dx_{1} ⋯ dx_{m}dσ(u) et si l’on pose :

λ_{j}(x, u) = ∑_{L,M≥0} b_{j,L,M}(−\sqrt{2})^{|M|}u^{M} \overline{u}^{L}x^{M+L},

l’expression (3.3.31) devient :

\sqrt{π}^{m} ∫_{ℝ_{+}^{m}×𝕋^{m}} ∑_{i,j≥0} ∑_{P,Q≥0} a_{i,j}^{P,Q}λ_{j}(x, u) \overline{λ_{i}(x, u)}(xu)^{P} (\overline{xu})^{Q}dρ(x, u),

où la multi-variable (xu) est bien évidemment (x_{1}u_{1}, ⋯, x_{m}u_{m}). Par notre hypothèse, la fonction que l’on intégre est toujours positive. Il s’ensuit que son intégrale vérifie la même propriété (et donc aussi (3.3.31)). Par conséquent, on a bien prouvé qu’ici la condition (i) du théorème 3.3.11 implique la condition (ii). On peut appliquer ce théorème pour conclure que notre multi-opérateur est sous-normal. Pour une autre preuve de ceci, on peut se référer à l’exemple 3.4.21 où l’on applique le théorème 3.4.3 sur des familles de Shifts à poids.

Maintenant que l’on a donné trois caractérisations de la sous-normalité jointe pour les multi-opérateurs non bornés, on va mettre à profit deux d’entre elles pour donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’un (m + p)-uplet formé de deux uplets sous-normaux reste sous-normal. En général cette propriété est fausse, même pour deux opérateurs : il existe des opérateurs commutatifs bornés sous-normaux tels que le bi-opérateur formé ne soit pas sous-normal (voir, pour plus de détails et un exemple, [Lub2]).

Ceci nous permet également de donner une application au corollaire 3.3.4.

3.3.14 Théorème : Soient T |_{D} = (T_{1}|_{D}, ⋯, T_{m}|_{D}) et S|_{D} = (S_{1}|_{D}, ⋯, S_{p}|_{D}) deux multi-opérateurs sous-normaux (où D ⊂ D(T_{1})∩⋯∩D(T_{m})∩D(S_{1})∩⋯∩D(S_{p}) est un sous-espace vectoriel dense et invariant par chaque S_{i} et chaque T_{j}). Le multi-opérateur (T_{1}|_{D}, ⋯, T_{m}|_{D}, S_{1}|_{D}, ⋯, S_{p}|_{D}) est sous-normal si et seulement si il existe une famille de formes sesquilinéaires Θ = (Θ_{α_{1},β_{1},δ_{1}})_{α_{1},β_{1},δ_{1}≥0} (associée à T |_{D}) vérifiant les conditions du théorème 3.3.2 et une famille d’opérateurs non bornés Δ = (Δ_{α_{2},β_{2},δ_{2}})_{α_{2},β_{2},δ_{2}≥0} (associée à S|_{D}) vérifiant les conditions du corollaire 3.3.4 telles que, pour chaque famille presque nulle de vecteurs (x_{a,b,d})_{a,b,d} dans D, on ait :

(3.3.34)  ∑_{a,b,d,a′,b′,d′} Θ_{α_{1}+β′_{1},β_{1}+α′_{1},δ_{1}+δ′_{1}}(Δ_{α_{2}+β′_{2},β_{2}+α′_{2},δ_{2}+δ′_{2}}x_{a,b,d}, x_{a′,b′,d′}) ≥ 0,

où a, b, et d sont, respectivement, les multi-indices (α_{1}, α_{2}), (β_{1}, β_{2}) et (δ_{1}, δ_{2}).

Démonstration. On va appliquer le théorème 3.3.2 (on utilisera également toutes les notations utilisées pour les résultats 3.3.2 et 3.3.4). Pour ce faire, on définit la famille de formes sesquilinéaires Ψ = (Ψ_{a,b,d})_{a,b,d≥0} par l’égalité :

(3.3.35)  Ψ_{a,b,d}(x, y) = Θ_{α_{1},β_{1},δ_{1}}(Δ_{α_{2},β_{2},δ_{2}}x, y),

où a = (α_{1}, α_{2}), b = (β_{1}, β_{2}) et d = (δ_{1}, δ_{2}) sont dans ℤ_{+}^{m+p}. Pour tout couple (x, y) ∈ D^{2}, on a Ψ_{0,0,0}(x, y) = Θ_{0,0,0}(Δ_{0,0,0}x, y) = ⟨x, y⟩. Ceci nous donne la condition (1) du théorème 3.3.2. Pour tout j ∈ {1, ⋯, m}, on définit f_{j,0} par (e_{j}, 0, ⋯, 0) où (e_{1}, ⋯, e_{m}) est la base canonique de ℂ^{m}. De manière similaire, soit f_{0,k} = (0, ⋯, 0, c_{k}) où (c_{1}, ⋯, c_{p}) est la base canonique de ℂ^{p}. Alors, on a :

(3.3.36)  Ψ_{0,f_{j,0},0}(x, y) = Θ_{0,e_{j},0}(x, y) = ⟨T_{j}x, y⟩.

De manière semblable, on obtient :

(3.3.37)  Ψ_{0,f_{0,k},0}(x, y) = Θ_{0,0,0}(Δ_{0,c_{k},0}x, y) = ⟨S_{k}x, y⟩.

Par conséquent, la condition (2) est aussi satisfaite. En ce qui concerne la troisième, soit x ∈ D, on peut écrire :

Ψ_{f_{j,0},f_{j,0},0}(x, x) = Θ_{e_{j},e_{j},0}(x, x) = ||T_{j}x||^{2} = Θ_{e_{j},0,0}(T_{j}x, x) = Ψ_{f_{j,0},0,0}(T_{j}x, x).

On a également :

Ψ_{f_{0,k},f_{0,k},0}(x, x) = ⟨Δ_{c_{k},c_{k},0}x, x⟩ = ||S_{k}x||^{2} = ⟨Δ_{c_{k},0,0}S_{k}x, x⟩ = Ψ_{f_{0,k},0,0}(S_{k}x, x).

Pour la quatrième condition, on sait :

(3.3.38)

Ψ_{a,b,d+f_{j,0}}(x, y) + Ψ_{a+f_{j,0},b+f_{j,0},d+f_{j,0}}(x, y)
= Θ_{α_{1},β_{1},δ_{1}+e_{j}} (Δ_{α_{2},β_{2},δ_{2}}x, y) + Θ_{α_{1}+e_{j},β_{1}+e_{j},δ_{1}+e_{j}}(Δ_{α_{2},β_{2},δ_{2}}x, y)
= Θ_{α_{1},β_{1},δ_{1}}(Δ_{α_{2},β_{2},δ_{2}}x, y) = Ψ_{a,b,d}(x, y).

De plus, on vérifie aussi :

(3.3.39)

Ψ_{a,b,d+f_{0,k}}(x, y) + Ψ_{a+f_{0,k},b+f_{0,k},d+f_{0,k}}(x, y)
= Θ_{α_{1},β_{1},δ_{1}}(Δ_{α_{2},β_{2},δ_{2}+c_{k}}x, y) + Θ_{α_{1},β_{1},δ_{1}}(Δ_{α_{2}+c_{k},β_{2}+c_{k},δ_{2}+c_{k}}x, y)
= Θ_{α_{1},β_{1},δ_{1}}((Δ_{α_{2},β_{2},δ_{2}+c_{k}} + Δ_{α_{2}+c_{k},β_{2}+c_{k},δ_{2}+c_{k}})x, y)
= Θ_{α_{1},β_{1},δ_{1}}(Δ_{α_{2},β_{2},δ_{2}}x, y) = Ψ_{a,b,d}(x, y).

Enfin, on peut remarquer que la dernière condition pour pouvoir appliquer le théorème 3.3.2 est exactement la positivité supposée dans l’énoncé :

(3.3.40)  \begin{matrix}∑_{a,b,d,a′,b′,d′} Ψ_{a+b′,b+a′,d+d′}(x_{a,b,d}, x_{a′,b′,d′}) \\ = ∑_{a,b,d,a′,b′,d′} Θ_{α_{1}+β′_{1},β_{1}+α′_{1},δ_{1}+δ′_{1}}(Δ_{α_{2}+β′_{2},β_{2}+α′_{2},δ_{2}+δ′_{2}}x_{a,b,d}, x_{a′,b′,d′}) ≥ 0. \end{matrix}

Pour l’implication inverse, on prend une extension normale (N_{[1]}, N_{[2]}) de (S|_{D}, T |_{D}). Il suffit alors d’utiliser la commutativité des mesures spectrales des deux multi-opérateurs normaux N_{[1]} et N_{[2]} qui sont des extensions normales de S|_{D} et T |_{D} respectivement. C’est exactement comme dans le théorème 3.3.2 et le corollaire 3.3.4.

Enfin pour terminer cette section dédiée à la sous-normalité jointe, on va s’occuper de quelques cas particuliers : on s’intéressera à des multi-opérateurs dont les vecteurs analytiques sont denses dans H.

3.3.15 Définition : Soit S = (S_{1}, ⋯, S_{m}) un multi-opérateur vérifiant S_{i}S_{j}x = S_{j}S_{i}x pour tout x dans D(S_{i}S_{j}) ∩ D(S_{j}S_{i}). En accord avec la définition pour le cas d’un seul opérateur, on dira qu’un élément f est un vecteur analytique (f ∈ A(S)) si f ∈ D^{∞}(S_{1}) ∩ ⋯ ∩ D^{∞}(S_{m}) et vérifie :

(3.3.41)  ∑_{P ≥0} \frac{||S^{P} f||}{P!}t^{P} < +∞,

pour un élément t = (t_{1}, ⋯, t_{m}) de (ℝ_{+}^{∗})^{m}. On peut vérifier que A(S) est un espace vectoriel invariant pour la composition par les S_{i}, i = 1, ⋯, m.

3.3.16 Lemme : Soit S = (S_{1}, ⋯, S_{m}) un multi-opérateur de H tel que le domaine commun de chaque S_{i} (i = 1, ⋯, m) soit D(S_{i}) = D = A(S) et que S soit commutaif sur D. On suppose de plus que pour tout f ∈ D, il existe une mesure positive μ_{f} à support dans ℝ_{+}^{m} ayant des moments à tous les ordres telle que l’on ait :

(3.3.42)  ||S^{P} f||^{2} = ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{P} dμ_{f}(t) ∀P ≥ 0.

Alors, il existe des mesures complexes μ_{f,g} (f, g ∈ D) vérifiant les conditions suivantes : (i) μ_{af} = |a|^{2}μ_{f}, a ∈ ℂ (ii) μ_{f,f} = μ_{f}

(iii) ⟨S^{P} f, S^{P} g⟩ = ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{P} dμ_{f,g}(t) ∀P ≥ 0

(iv) μ_{f,g}(σ) = \overline{μ_{g,f}(σ)}, ∀σ ∈ Bor(ℝ_{+}^{m})

(v) μ_{f,g} est linéaire par rapport au premier indice et antilinéaire par rapport au second.

Démonstration. Afin de simplifier les notations, on notera α_{P} = ||S^{P} f||^{2}. D’après l’hypothèse, on obtient en particulier pour tout j = 1, ⋯, m :

∑_{n≥1} \frac{α_{ne_{j}}^{1/2}}{n!} t_{j}^{n} < +∞.

Ceci implique que (voir par exemple [St-Sz2]) :

∑_{n≥1} α_{ne_{j}}^{−1/2n} = +∞.

Par le critère de Carleman, la suite (α_{ne_{j}})_{n≥0} est une suite de moments de Stieltjes déterminée (voir [S-T]). Ceci est vrai pour tout j = 1, ⋯, m. Par un résultat de L.C. Petersen (voir [Pet], théorème 3), la multi-suite (α_{P})_{P ≥0} est également déterminée. Or, nous avons :

||S^{P} (af)||^{2} = ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{P} dμ_{af}(t) = |a|^{2}||S^{P} f||^{2} = |a|^{2} ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{P} dμ_{f}(t), ∀P ≥ 0.

Et donc par unicité de la mesure de représentation, on a l’égalité (i). Par similarité avec la formule de polarisation, on définit les mesures complexes :

(3.3.43) μ_{f,g}(σ) = \frac{1}{4}[μ_{f+g}(σ) − μ_{f−g}(σ) + iμ_{f+ig}(σ) − iμ_{f−ig}(σ)], ∀σ ∈ Bor(ℝ_{+}^{m}).

On obtient alors pour tout multi-indice positif P :

\begin{aligned}∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{P} dμ_{f,f}(t) & = ||S^{P} f||^{2} + \frac{1}{4}||S^{P} (f + if)||^{2} − \frac{1}{4}||S^{P} (f − if)||^{2} \\ & = ||S^{P} f||^{2} = ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{P} dμ_{f}(t). \end{aligned}

Et à nouveau, par unicité de la mesure de représentation, on a la relation (ii). La formule (iii) provient directement de la construction des mesures qui est la même que la formule de polarisation. De plus, on a les trois égalités suivantes :

(3.3.44)  \{ \begin{matrix}||S^{P} (g − f)||^{2} = ||S^{P} (f − g)||^{2}, \\ ||S^{P} (g + if)||^{2} = ||S^{P} (f − ig)||^{2}, \\ ||S^{P} (g − if)||^{2} = ||S^{P} (f + ig)||^{2}. \end{matrix}

Par unicité de la mesure de représentation, ces trois égalités donnent μ_{g−f} = μ_{f−g}, μ_{g+if} = μ_{f−ig} et μ_{g−if} = μ_{f+ig}. On obtient finalement par (3.3.43) :

μ_{f,g}(σ) = \overline{μ_{g,f}(σ)}, ∀σ ∈ Bor(ℝ_{+}^{m}).

Il ne reste plus qu’à prouver la linéarité par rapport au premier indice et l’antilinéarité par rapport au second. On décompose cette partie en quatre étapes :

\underline{Etape 1 : μ_{f+h,g} = μ_{f,g} + μ_{h,g}} Comme on a ⟨S^{P} (f + h), S^{P} g⟩ = ⟨S^{P} f, S^{P} g⟩ + ⟨S^{P} h, S^{P} g⟩, en utilisant la formule de polarisation de μ_{f,g}, on obtient :

∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{P} (dμ_{f+h+g} − dμ_{f+h−g} + idμ_{f+h+ig} − idμ_{f+h−ig})

= ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{P} (dμ_{f+g} − dμ_{f−g} + idμ_{f+ig} − idμ_{f−ig} + dμ_{h+g} − dμ_{h−g} + idμ_{h+ig} − idμ_{h−ig}).

En séparant partie réelle et partie imaginaire, on a alors :

(3.3.45)  ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{P} dν^{1} = ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{P} dν^{2} et ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{P} dν^{3} = ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{P} dν^{4},

où les mesures ν_{1}, ν_{2}, ν_{3} et ν_{4} sont positives et données par les formules :

\{ \begin{matrix}ν_{1} = μ_{f+h+g} + μ_{f−g} + μ_{h−g} \\ ν_{2} = μ_{f+h−g} + μ_{f+g} + μ_{h+g} \end{matrix} et \{ \begin{matrix}ν_{3} = μ_{f+h+ig} + μ_{f−ig} + μ_{h−ig}, \\ ν_{4} = μ_{f+h−ig} + μ_{f+ig} + μ_{h+ig}. \end{matrix}

Si on pose α_{P} = ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{P} dν_{1} = ||S^{P} (f + h + g)||^{2} + ||S^{P} (f − g)||^{2} + ||S^{P} (h − g)||^{2}, les

vecteurs f + h + g, f − g et h − g sont des vecteurs analytiques. Donc il existe des nombres réels t_{f+h+g}, t_{f−g} et t_{h−g} tels que l’on ait ∑_{P ≥0} ||S^{P} k||t_{k}^{P} /P! < +∞, pour k = f + h + g, f − g, h − g. Par conséquent, on obtient l’inégalité suivante :

∑_{P ≥0} \frac{α_{P}^{1/2}}{P!} t_{inf}^{P} ≤ ∑_{P ≥0} \frac{||S^{P} (f + h + g)|| + ||S^{P} (f − g)|| + ||S^{P} (h − g)||}{P!}t_{inf}^{P} < +∞.

Par la remarque initiale, la multi-suite (α_{P})_{P ≥0} est une suite déterminée de moments. On en déduit que ν_{1} = ν_{2} car les deux mesures sont positives. De la même manière, on prouve que ν_{3} = ν_{4}. A nouveau, en utilisant l’écriture de polarisation, on a :

(3.3.46)  μ_{f+h,g} = μ_{f,g} + μ_{h,g}.

Etape 2 : μ_{af,g} = aμ_{f,g} pour a ∈ ℝ_{+}. A nouveau, on démarre d’une égalité triviale : a⟨S^{P} f, S^{P} g⟩ = ⟨S^{P} (af), S^{P} g⟩. On obtient le même genre de décomposition que précédemment avec :

\{ \begin{matrix}ν_{1} = aμ_{f+g} + μ_{af−g} \\ ν_{2} = aμ_{f−g} + μ_{af+g} \end{matrix} et \{ \begin{matrix}ν_{3} = aμ_{f+ig} + μ_{af−ig}, \\ ν_{4} = aμ_{f−ig} + μ_{af+ig}. \end{matrix}

Comme A(S) est un espace vectoriel, on peut réitérer le même procédé pour obtenir que ν_{1} = ν_{2} et ν_{3} = ν_{4}. Ceci nous donne que μ_{af,g} = aμ_{f,g}.

Pour les deux dernières étapes, c’est à peu près la même méthode, on raisonne avec a négatif et pour a = i. La propriété (v) s’obtient alors en utilisant (iv).

On peut alors appliquer le lemme 3.3.16 pour obtenir une version amoindrie d’un résultat de [St-Sz2] (théorème 7) où le cas d’un seul opérateur a été traité par d’autres méthodes.

3.3.17 Théorème : Soit S = (S_{1}, ⋯, S_{m}) un multi-opérateur défini dans H et soit D ⊂ A(S) un sous-espace dense et invariant tel que S est commutatif sur D. Les propositions suivantes sont équivalentes :

(i) Il existe un multi-opérateur normal N de K ⊃ H tel que ||S^{α}f|| = ||N^{α}f|| pour tout f ∈ D et pour tout α ≥ 0.

(ii) ||S^{α}f||^{2} = ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{α}dμ_{f}(t), ∀α ≥ 0, f ∈ D, où les μ_{f} sont des mesures positives.

Démonstration.

(i) ⇒ (ii) Si E est la mesure spectrale de l’opérateur normal N, on a :

\begin{aligned}||S^{α}f||^{2} & = ||N^{α}f||^{2} = ⟨N_{m}^{∗α_{m}} ⋯ N_{1}^{∗α_{1}}N_{1}^{α_{1}} ⋯ N_{m}^{α_{m}}f, f⟩ \\ & = ∫_{ℂ^{m}} |z_{1}|^{2α_{1}} ⋯ |z_{m}|^{2α_{m}}d⟨E(z, z̄)f, f⟩ = ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{α}dμ_{f}(t). \end{aligned}

(ii) ⇒ (i) Si ϕ est la fonction de ℝ_{+}^{m} dans ℝ_{+}^{m} définie par ϕ(t_{1}, ⋯, t_{m}) = (t_{1}^{2}, ⋯, t_{m}^{2}). On pose ρ_{f,g}(σ) = μ_{f,g}(ϕ^{−1}(σ)) pour tout borélien (les mesures utilisées proviennent des μ_{f} par la même méthode que dans le lemme précédent). On définit alors pour tout f et g dans D :

(3.3.47)  Θ_{α,β,δ}(f, g) = ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{α+β}(1 + t^{2})^{−δ}dρ_{f,g}(t).

Par le lemme précédent, les formes Θ_{α,β,δ} sont des formes sesquilinéaires sur D. De plus, on a :

Θ_{α,β,δ}(f, g) = ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{α+β}(1 + t^{2})^{−δ}dρ_{f,g}(t) = \overline{∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{α+β}(1 + t^{2})^{−δ}dρ_{g,f}(t)} = \overline{Θ_{β,α,δ}(g, f)}.

Donc la condition (ii) de l’introduction de cette section (voir (3.3.1)) est vérifiée. De plus, on peut noter que l’on a les deux égalités suivantes :

Θ_{0,0,0}(f, g) = ∫_{ℝ_{+}^{m}} dμ_{f,g}(t) = ⟨f, g⟩ et Θ_{α,α,0}(f, f) = ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{α}dμ_{f,f}(t) = ||S^{α}f||^{2}.

Bien sûr, on a également pour tout j = 1, ⋯, m : Θ_{α,β,δ} = Θ_{α+e_{j},β+e_{j},δ+e_{j}} + Θ_{α,β,δ+e_{j}}. Enfin, si ψ = ∑ \overline{z}^{α}z^{β}(1 + |z|^{2})^{−δ} ⊗ x_{α,β,δ}, on a :

(3.3.48)  Λ_{Θ}(ψ, ψ) = ∑_{α,β,δ,α′,β′,δ′} Θ_{α+β′,β+α′,δ+δ′}(x_{α,β,δ}, x_{α′,β′,δ′}).

En utilisant le théorème de dilatation de Naimark, il existe un espace de Hilbert K, un opérateur V : D → K et une mesure spectrale E sur ℝ_{+}^{m} dans K tels que l’on ait :

(3.3.49)  μ_{f,g}(σ) = ⟨E(σ)V f, V g⟩, f, g ∈ D, σ ∈ Bor(ℝ_{+}^{m}).

Alors on obtient :

Λ_{Θ}(ψ, ψ) = ∑_{α,β,δ,α′,β′,δ′}⟨∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{α+β′+β+α′}}{(1 + t^{2})^{δ+δ′}} dE(t)V x_{α,β,δ}, V x_{α′,β′,δ′}⟩

= ∑_{α,β,δ,α′,β′,δ′}⟨∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{α+β}}{(1 + t^{2})^{δ}} dE(t)V x_{α,β,δ}, ∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{α′+β′}}{(1 + t^{2})^{δ′}} dE(t)V x_{α′,β′,δ′}⟩

= || ∑_{α,β,δ} ∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{α+β}}{(1 + t^{2})^{δ}} dE(t)V x_{α,β,δ}||^{2} ≥ 0.

Puis, on utilise la méthode du théorème 3.3.2 (voir également [Vas4] et [Vas5]) pour construire l’opérateur normal N = (N_{1}, ⋯, N_{m}). La propriété sur Θ_{0,0,0} permet d’identifier H comme un sous-espace fermé de K. Enfin, par la définition de la norme sur K, on obtient l’égalité Θ_{α,α,0}(x, x) = ||N^{α}x||_{Λ}^{2}. Or nous avons vu que Θ_{α,α,0}(x, x) = ||S^{α}x||^{2}, d’où ||N^{α}x||_{Λ} = ||S^{α}x|| pour tout x ∈ D. En effet, N^{α}(1 ⊗ x) = z^{α} ⊗ x et

(3.3.50) ||N^{α}x||_{Λ}^{2} = ||N^{α}(1 ⊗ x)||_{Λ}^{2} = Λ_{Θ}(z^{α} ⊗ x, z^{α} ⊗ x) = Θ_{α,α,0}(x, x) = ||S^{α}x||^{2}.

Avec les mêmes méthodes, on peut donner un résultat sur des familles d’opérateurs symétriques (mais ici sans une égalité avec les normes).

3.3.18 Proposition : Soit B = (B_{1}, ⋯, B_{m}) un multi-opérateur de H composé d’opérateurs symétriques. Soit D un espace vectoriel dense inclus dans A(B). Il existe un espace de Hilbert K ⊃ H et un multi-opérateur auto-adjoint A = (A_{1}, ⋯, A_{m}) qui prolonge B|_{D} et dont le spectre joint est inclus dans ℝ_{+}^{m} si et seulement si :

(i) ||B^{P} x||^{2} = ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{P} dμ_{x}(t), ∀x ∈ D et ∀P ≥ 0.

(ii) Λ_{Θ}(t_{j}ψ, ψ) ≥ 0, ∀ψ = ∑ t^{α}(1 + t^{2})^{−δ} ⊗ x_{α,δ} où Λ_{Θ} est définie comme dans le théorème 3.3.2.

(iii) ⟨B_{j}x, y⟩ = ∫_{ℝ_{+}^{m}} t_{j}dρ_{x,y}(t) où ρ_{x,y} est la mesure associée à x et y (voir le lemme

3.3.16).

Démonstration. Si A est une extension auto-adjointe de B|_{D} et si E est la mesure spectrale de l’opérateur A, on a :

(3.3.51)  ||B^{P} f||^{2} = ||A^{P} f||^{2} = ∫_{ℝ^{m}} t^{2P} d⟨E(t)f, f⟩ = ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{P} dμ_{f}(t).

De plus, on a pour tout j = 1, ⋯, m :

Λ_{Θ}(t_{j}ψ, ψ) = ∑_{α,δ,α′,δ′} Θ_{α+e_{j}+α′,δ+δ′}(x_{α,δ}, x_{α′,δ′}) =

∑_{α,δ,α′,δ′}⟨∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{α+e_{j}+α′}}{(1 + t^{2})^{δ+δ′}} dE(t)x_{α,δ}, x_{α′,δ′}⟩

= || ∑_{α,δ} ∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{α+e_{j}/2}}{(1 + t^{2})^{δ}} dE(t)x_{α,δ}||^{2} ≥ 0.

Enfin, on en conclut :

(3.3.52)  ⟨B_{j}x, y⟩ = ⟨A_{j}x, y⟩ = ∫_{ℝ_{+}^{m}} t_{j}d⟨E(t)x, y⟩ = ∫_{ℝ_{+}^{m}} t_{j}dρ_{x,y}(t).

Inversement, la même famille que dans le théorème précédent vérifie les propriétés (1), (3) et (5) du théorème 2.2 de [Vas4]. La propriété (2) est vérifiée par l’hypothèse (iii). Pour (4), c’est la même astuce que précédemment. En utilisant le théorème Naimark, il existe un espace de Hilbert K, un opérateur V : D → K et une mesure spectrale E sur ℝ_{+}^{m} dans K tels que l’on ait :

(3.3.53)  \begin{aligned}Λ_{Θ}(t_{j}ψ, ψ) & = ∑_{α,δ,α′,δ′}⟨∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{α+e_{j}+α′}}{(1 + t^{2})^{δ+δ′}} dE(t)V x_{α,δ}, V x_{α′,δ′}⟩ \\ & = || ∑_{α,δ} ∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{α+e_{j}/2}}{(1 + t^{2})^{δ}} dE(t)V x_{α,δ}||^{2} ≥ 0. \end{aligned}

Enfin, les positivités (ii) nous permettent de localiser le spectre de l’extension autoadjointe dans ℝ_{+}^{m}.

3.3.19 Remarque : Les deux résultats précédents sont basés sur le lemme 3.3.16. On peut noter que dans ce lemme, on n’a pas besoin que les vecteurs soient analytiques dans le sens donné au (3.3.41) de la définition 3.3.15 mais uniquement dans le sens ∑_{n≥0} ||S_{j}^{n}f||t_{j}^{n}/n! < +∞ pour j = 1, ⋯, m. En effet, c’est juste la finitude de ces séries qui nous permet d’appliquer le résultat de L.C. Petersen. Par contre, si on ne demande que la finitude de ces suites, on n’a plus l’invariance de l’espace par les S_{j} et on ne peut plus appliquer nos critères de sous-normalité.

On termine cette section avec une généralisation au cas multi-opératoriel de la proposition 3 de [St-Sz2] (voir aussi le théorème 35 de [St-Sz5]). Dans notre cas, nous appliquons une autre méthode basée sur le théorème 3.3.2.

3.3.20 Proposition : Soit S = (S_{1}, ..., S_{n}) un multi-opérateur ayant un vecteur cyclique f. Si on note l’espace vectoriel dense D = V ect{S^{α}f, α ∈ ℤ_{+}^{n}}, alors S|_{D} est sous-normal si et seulement si il existe une mesure positive μ à support dans ℂ^{n} telle que l’on ait pour tous multi-indices α, β positifs :

⟨S^{α}f, S^{β}f⟩ = ∫_{ℂ^{m}} z^{α}\overline{z}^{β}dμ(z, \overline{z}).

Démonstration. Si S|_{D} est sous-normal (d’extension normale N), on obtient :

⟨S^{α}f, S^{β}f⟩ = ⟨N^{∗β}N^{α}f, f⟩ = ∫_{ℂ^{m}} z^{α}\overline{z}^{β}dμ(z, \overline{z}),

where dμ(z, \overline{z}) = d⟨E(z, \overline{z})f, f⟩ and E is the spectral measure of N.

Réciproquement, pour tous multi-indices α, β, δ, a, b dans ℤ_{+}^{n}, on pose :

(3.3.54)  Θ_{α,β,δ}(S^{a}f, S^{b}f) = ∫_{ℂ^{m}} z^{β+a}\overline{z}^{α+b}(1 + |z|^{2})^{−δ}dμ(z, \overline{z}).

Comme le sous-espace vectoriel D est invariant par les S_{i} (i = 1, ⋯, n), peut essayer d’appliquer le thórème 3.3.2. On vérifie donc que la multi-suite Θ = (Θ_{α,β,δ})_{α,β,δ} vérifie les conditions (1) à (5) de ce théorème. Bien évidemment, on a :

(3.3.55)  Θ_{0,0,0}(S^{a}f, S^{b}f) = ∫_{ℂ^{m}} z^{a}\overline{z}^{b}dμ(z, \overline{z}) = ⟨S^{a}f, S^{b}f⟩.

De plus, on vérifie facilement que :

(3.3.56)  Θ_{0,e_{j},0}(S^{a}f, S^{b}f) = ∫_{ℂ^{m}} z^{a+e_{j}} \overline{z}^{b}dμ(z, \overline{z}) = ⟨S_{j}S^{a}f, S^{b}f⟩,

qui est exactement la condition (2). Pour la troisième, on obtient :

(3.3.57)  \{ \begin{matrix}Θ_{e_{j},e_{j},0}(S^{a}f, S^{a}f) = ∫_{ℂ^{m}} z^{a+e_{j}} \overline{z}^{a+e_{j}}dμ(z, \overline{z}) = ||S^{a+e_{j}}f||^{2}, \\ et \\ Θ_{e_{j},0,0}(S_{j}S^{a}f, S^{a}f) = ∫_{ℂ^{m}} z^{a+e_{j}} \overline{z}^{a+e_{j}}dμ(z, \overline{z}). \end{matrix}

La propriété (4) découle directement des relations qui existent entre les fonctions que l’on intégre. Il reste enfin à prouver que la multi-suite Θ = (Θ_{α,β,δ})_{α,β,δ} est de type positif. Soit X = ∑_{α,β,δ} z^{β}\overline{z}^{α}(1 + |z|^{2})^{−δ} ⊗ S^{a}f, (où a = a(α, β, δ)) alors nous avons :

(3.3.58)  \begin{aligned}Λ_{Θ}(X, X) & = ∑_{α,α′,β,β′,δ,δ′} Θ_{α+β′,β+α′,δ+δ′}(S^{a}f, S^{a′}f) \\ & = ∑_{α,α′,β,β′,δ,δ′} ∫_{ℂ^{m}} z^{β+α′+a}\overline{z}^{α+β′+a′}(1 + |z|^{2})^{−(δ+δ′)}dμ(z, \overline{z}) \\ & = ∫_{ℂ^{m}} | ∑_{α,β,δ} \frac{z^{β+a}\overline{z}^{α}}{(1 + |z|^{2})^{δ}} |^{2}dμ(z, \overline{z}) ≥ 0. \end{aligned}

En conclusion, le multi-opérateur S|_{D} est sous-normal.

Ce dernier résultat traite des multi-opérateurs admettant un vecteur cyclique. On remarque que dans notre caractérisation de sous-normalité interviennent tous les produits scalaires ⟨S^{α}f, S^{β}f⟩. Dans des cas particuliers, les shifts à poids, on verra dans la section qui suit que l’on demande uniquement des conditions sur les ⟨S^{α}f, S^{α}f⟩.

Partie III.4 Sous-normalité et multi-shifts à poids

L’étude des shifts à poids nous permet, entre autres choses, de donner des exemples et contre-exemples à certains problèmes. Pour n’en citer qu’un, on peut noter qu’il existe des shifts à poids S hyponormaux tels que p(S) ne soit pas hyponormal où p est un polynôme (voir [Fa]).Ceci donne un intérêt à l’étude de ces opérateurs.

Dans cette partie, nous mettrons à profit les critères de sous-normalité jointe que nous avons prouvés dans la section précédente. Nous utiliserons essentiellement le théorème 3.3.2. Pour ce faire nous nous occuperons uniquement de multi-shifts (unilatéraux comme bilatéraux) à poids commutatifs et non bornés. Des caractérisations pour un shift à poids borné sont données par J. Stampfli et C. Berger (voir [Sta], [Hal3] et [Lam]). C’est ensuite A. Lubin qui généralise la caractérisation au cas de mulit-shifts à poids continus en 1977 dans [Lub]. En 1989, J. Stochel et F.H. Szafraniec donnent le pendant du résultat de C. Berger dans le cas d’un multi-shift non borné. Dans ce qui suit nous montrerons que la caractérisation est en fait valable pour un multi-shift à poids non nécessairement borné. Pour ce faire on utilisera une méthode complétement différente de celles utilisées pour démontrer les résultats cités, basée sur le théorème 3.3.2.

Dans un second temps, on caractérisera les multi-shifts à poids non bornés bilatéraux qui admettent une extension normale. En particulier, on prouvera des résultats qui généralisent le cas d’un seul multi-shift.

Enfin, nous généraliserons les méthodes de [St-Sz4] afin de donner un moyen de construire un grand nombre d’exemples de multi-opérateurs sous-normaux. En particulier, nous montrerons par une nouvelle méthode que le multi-opérateur de création, qui est souvent utilisé en Physique (voir par exemples [St-Sz2], [St-Sz4], [Ot], etc.), est sous-normal.

Dans cette partie III-4, les méthodes sont souvent longues et demandent des calculs quelquefois fastidieux mais la majeure partie des résultats peut s’énoncer de manière simple et concise.

On rappelle qu’un opérateur S est appelé shift à poids unilatéral sur un espace de Hilbert séparable H (non nécessairement borné) si, pour une base orthonormale (ξ_{n})_{n≥0} de H, on a :

S(ξ_{n}) = λ_{n}ξ_{n+1}, n ≥ 0.

Alors, on définit le domaine D(S) de S comme étant l’espace vectoriel engendré par le vecteur cyclique ξ_{0}.

3.4.1 Définition : Soit H un espace de Hilbert séparable avec une base orthonormale (ξ_{i_{1},···,i_{m}})_{i_{1},···,i_{m}≥0}. On dit que le multi-opérateur S = (S_{1}, ⋯, S_{m}) est un multishift à poids unilatéral si :

(3.4.1)  S_{j}(ξ_{i_{1},···,i_{m}}) = λ_{i_{1},···,i_{m}}^{(j)}ξ_{i_{1},···,i_{j}+1,···,i_{m}},

où λ_{i_{1},···,i_{m}}^{(j)} sont des nombres complexes non nuls pour tout i_{1} ≥ 0, ⋯, i_{m} ≥ 0 et j = 1, ⋯, m. En particulier, chaque opérateur est défini sur l’espace vectoriel engendré par les vecteurs (ξ_{i_{1},···,i_{m}})_{i_{1},···,i_{m}≥0}.

De plus, le multi-opérateur S = (S_{1}, ⋯, S_{m}) est commutatif si et seulement si on a pour chaque (i_{1}, ⋯, i_{m}) et pour chaque couple (j, k) :

(3.4.2)  λ_{i_{1},···,i_{m}}^{(j)}λ_{i_{1},···,i_{j}+1,···,i_{m}}^{(k)} = λ_{i_{1},···,i_{m}}^{(k)}λ_{i_{1},···,i_{k}+1,···,i_{m}}^{(j)}.

Dans ce cas, on peut définir sans ambiguïté les puissances successives de S.

3.4.2 Notations : Enfin, comme dans le deuxième chapitre, on notera par (1 + t^{2})^{β} l’expression (1 + t_{1}^{2})^{β_{1}} ⋯ (1 + t_{m}^{2})^{β_{m}} où β est un multi-indice positif (β_{1}, ⋯, β_{m}). De manière similaire, on notera par (1 + t)^{β} l’expression (1 + t_{1})^{β_{1}} ⋯ (1 + t_{m})^{β_{m}}.

3.4.3 Théorème : Soit H un espace de Hilbert séparable avec une base orthonormale (ξ_{i_{1},···,i_{m}})_{i_{1},···,i_{m}≥0}, et soit S = (S_{1}, ⋯, S_{m}) un multi-shift à poids commutatif non nécessairement borné défini sur le domaine commun V ect(ξ_{i_{1},···,i_{m}})_{i_{1},···,i_{m}≥0}. Alors, les propositions suivantes sont équivalentes :

(i) S est un multi-opérateur sous-normal.

(ii) ||S^{P} ξ_{0}||^{2} = ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{P} dμ(t), ∀P ≥ 0 où μ est une mesure positive sur ℝ_{+}^{m}.

Démonstration.

(ii) ⇒ (i) On veut appliquer le théorème 3.3.2. Pour ce faire, on définit les formes sesquilinéaires (Θ_{α,β,δ})_{α,β,δ}, pour chaque multi-indice positif α, β, δ, I, et J, en posant :

(3.4.3)  Θ_{α,β,δ}(S^{I}ξ_{0}, S^{J}ξ_{0}) = Kr(I + β, J + α) ∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{I+J+α+β}}{(1 + t^{2})^{δ}} dρ(t_{1}, ⋯, t_{m}),

où ρ est la mesure positive sur ℝ_{+}^{m} vérifiant les égalités suivantes pour tout multi-indice positif M :

(3.4.4)  ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{M}dμ(t) = ∫_{ℝ_{+}^{m}} v^{2M}dρ(v).

On notera par (e_{1}, ⋯, e_{m}) la base canonique de ℂ^{m}. Enfin, on étend par linéarité ces formes sesquilinéaires (Θ_{α,β,δ})_{α,β,δ} à l’espace vectoriel D(S) qui est en fait V ect(ξ_{P})_{P ≥0} = V ect(S^{P} ξ_{0})_{P ≥0} complet (P est un multi-indice). On peut alors vérifier facilement que l’on a la propriété (ii) de (3.3.1) :

Θ_{α,β,δ}(S^{I}ξ_{0}, S^{J}ξ_{0}) = Θ_{β,α,δ}^{−}(S^{J}ξ_{0}, S^{I}ξ_{0}).

Maintenant, on va commencer par montrer que ces formes sesquilinéaires sont bien définies et vérifient les propriétés (1) jusqu’à (5) du théorème 3.3.2.

Ces formes sont bien définies puisque les vecteurs (S^{P} ξ_{0})_{P ≥0} sont linéairement indépendants. Egalement, grâce à la linéarité des formes, il nous suffit de vérifier les conditions (1), (2), (4) et la première partie de la (3) sur ces vecteurs de base (S^{P} ξ_{0})_{P ≥0}. Pour la propriété (1), on prend I et J deux multi-indices positifs et on montre :

\begin{aligned}Θ_{0,0,0}(S^{I}ξ_{0}, S^{J}ξ_{0}) & = Kr(I, J) ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{I+J}dρ(t) = Kr(I, J) ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{I}dμ(t) \\ & = Kr(I, J) ||S^{I}ξ_{0}||^{2} = ⟨S^{I}ξ_{0}, S^{J}ξ_{0}⟩. \end{aligned}

En ce qui concerne la condition (2), pour chaque k dans {1, ⋯, m}, un calcul simple nous donne :

\begin{aligned}Θ_{0,e_{k},0}(S^{I}ξ_{0}, S^{J}ξ_{0}) & = Kr(I + e_{k}, J) ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{I+e_{k}+J}dρ(t) = Kr(I + e_{k}, J) ||S^{I+e_{k}}ξ_{0}||^{2} \\ & = ⟨S^{I+e_{k}}ξ_{0}, S^{J}ξ_{0}⟩ = ⟨S^{I}S_{k}ξ_{0}, S^{J}ξ_{0}⟩. \end{aligned}

Pour la propriété (3), on commence par obtenir :

Θ_{e_{k},0,0}(S_{k}S^{I}ξ_{0}, S^{I}ξ_{0}) = Kr(I + e_{k}, I + e_{k}) ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{I+2e_{k}+I}dρ(t) = Θ_{e_{k},e_{k},0}(S^{I}ξ_{0}, S^{I}ξ_{0}).

De plus, si on écrit x = ∑_{I≥0} ζ_{I}S^{I}ξ_{0}, on a l’expression :

Θ_{e_{k},e_{k},0}(x, x) = ∑_{I,J} ζ_{I} \overline{ζ_{J}} Θ_{e_{k},e_{k},0}(S^{I}ξ_{0}, S^{J}ξ_{0})

= ∑_{I,J} ζ_{I} \overline{ζ_{J}} Kr(I + e_{k}, J + e_{k}) ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{I+2e_{k}+J}dρ(t)

= ∑_{I,J} ζ_{I} \overline{ζ_{J}} Kr(I, J) ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{I+e_{k}}dμ(t) = ∑_{I} |ζ_{I}|^{2} ||S^{I+e_{k}}ξ_{0}||^{2}

= || ∑_{I} ζ_{I} S^{I+e_{k}}ξ_{0}||^{2} = ||S_{k}x||^{2},

puisque la famille (S^{I}ξ_{0})_{I} est une famille orthogonale. On montre maintenant la relation (4), on démarre de l’expression Θ_{α,β,δ+e_{k}}(S^{I}ξ_{0}, S^{J}ξ_{0}) + Θ_{α+e_{k},β+e_{k},δ+e_{k}}(S^{I}ξ_{0}, S^{J}ξ_{0}) qui peut se mettre sous la forme :

= Kr(I + β, J + α) ∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{I+J+α+β}}{(1 + t^{2})^{δ+e_{k}}} dρ(t)

+Kr(I + β + e_{k}, J + α + e_{k}) ∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{I+J+α+β+2e_{k}}}{(1 + t^{2})^{δ+e_{k}}} dρ(t)

= Kr(I + β, J + α) ∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{I+J+α+β}(1 + t_{k}^{2})}{(1 + t^{2})^{δ+e_{k}}}dρ(t)

= Kr(I + β, J + α) ∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{I+J+α+β}}{(1 + t^{2})^{δ}} dρ(t) = Θ_{α,β,δ}(S^{I}ξ_{0}, S^{J}ξ_{0}).

Par conséquent, sur l’ensemble V ect(S^{P} ξ_{0})_{P ≥0}, on obtient l’égalité suivante :

Θ_{α,β,δ} = Θ_{α,β,δ+e_{k}} + Θ_{α+e_{k},β+e_{k},δ+e_{k}}.

Pour la dernière condition (5), on prend une famille (x_{α,β,δ})_{α,β,δ} finie, de vecteurs, incluse dans l’espace vectoriel V ect(S^{P} ξ_{0})_{P ≥0}. On peut évidemment écrire chacun de ces vecteurs x_{α,β,δ} sous la forme ∑_{J} ζ_{α,β,δ,J}S^{J}ξ_{0}. Avec ces notations, l’expression :

∑_{α,β,δ,α′,β′,δ′} Θ_{α+β′,β+α′,δ+δ′}(x_{α,β,δ}, x_{α′,β′,δ′}) peut s’écrire :

∑_{α,β,δ,α′,β′,δ′,J,K} ζ_{α,β,δ,J} \overline{ζ_{α′,β′,δ′,K}} Θ_{α+β′,β+α′,δ+δ′}(S^{J}ξ_{0}, S^{K}ξ_{0})

= ∑ ζ_{α,β,δ,J} \overline{ζ_{α′,β′,δ′,K}} Kr(J + β + α′, K + α + β′) ∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{J+K+α+β+α′+β′}}{(1 + t^{2})^{δ+δ′}} dρ(t)

= ∑ ζ_{α,β,δ,J} \overline{ζ_{α′,β′,δ′,K}} Kr(J + β − α, K − α′ + β′) ∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{J+K+α+β+α′+β′}}{(1 + t^{2})^{δ+δ′}} dρ(t)

= ∫_{ℝ_{+}^{m}} ∑_{α,β,δ,α′,β′,δ′,J,K} ζ_{α,β,δ,J} \overline{ζ_{α′,β′,δ′,K}} ∫_{𝕋^{m}} u^{J+β−α}\overline{u^{K+β′−α′}}dσ(u)\frac{t^{J+K+α+β+α′+β′}}{(1 + t^{2})^{δ+δ′}} dρ(t)

= ∫_{ℝ_{+}^{m}} ∫_{𝕋^{m}} | ∑_{α,β,δ,J} ζ_{α,β,δ,J} \frac{t^{J+α+β}}{(1 + t^{2})^{δ}} u^{J+β−α}|^{2}dρ(t)dσ(u) ≥ 0,

où σ est la mesure normalisée de Lebesgue définie sur le Tore 𝕋^{m} (voir la repésentation intégrale (3.3.33) utilisée dans l’exemple 3.3.13). Enfin, on conclut en appliquant le théorème 3.3.2.

(i) ⇒ (ii) Si S est multi-opérateur sous-normal et si N est une extension normale de S, on obtient pour tout multi-indice positif P :

\begin{aligned}⟨S^{P} ξ_{0}, S^{P} ξ_{0}⟩ & = ⟨N^{P} ξ_{0}, N^{P} ξ_{0}⟩ = ⟨N_{m}^{∗p_{m}} ⋯ N_{1}^{∗p_{1}}N_{1}^{p_{1}} ⋯ N_{m}^{p_{m}}ξ_{0}, ξ_{0}⟩ \\ & = ∫_{ℂ^{m}} |z_{1}|^{2p_{1}} ⋯ |z_{m}|^{2p_{m}}d⟨E(z_{1}, ⋯, z_{m})ξ_{0}, ξ_{0}⟩, \end{aligned}

où E est la mesure spectrale associée au multi-opérateur normal N. Et donc, si l’on pose :

μ(τ) = ⟨E(ϕ^{−1}(τ))ξ_{0}, ξ_{0}⟩,

pour chaque ensemble borélien τ de ℝ_{+}^{m}, où ϕ est défini par :

ϕ : ℂ^{m} ∋ (z_{1}, ⋯, z_{m}) → (|z_{1}|^{2}, ⋯, |z_{m}|^{2}) ∈ ℝ_{+}^{m},

on obtient que ||S^{P} ξ_{0}||^{2} = ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{P} dμ(t) pour chaque multi-indice P ≥ 0 où μ est une

mesure positive.

3.4.4 Remarques :

(1) On peut remarquer qu’il existe des nombres complexes non nuls (χ_{P})_{P ≥0} tels que :

S^{P} ξ_{0} = S_{1}^{p_{1}} ⋯ S_{m}^{p_{m}}ξ_{0} = χ_{p_{1},···,p_{m}}ξ_{p_{1},···,p_{m}},

où les χ_{p_{1},···,p_{m}} sont donnés par :

\{ \begin{matrix}1 si P = 0 \\ ∏_{i_{1}=0}^{p_{1}−1} λ_{i_{1},p_{2}−1,..,p_{m}−1}^{(1)} ⋯ ∏_{i_{m}=0}^{p_{m}−1} λ_{0,···,0,i_{m}}^{(m)} si P ≥ (1, ⋯, 1) \\ ∏_{i_{c_{1}}=0}^{p_{c_{1}}−1} λ_{0,..,i_{c_{1}},0,..,p_{c_{k}} −1,..,0}^{(c_{1})} ⋯ ∏_{i_{c_{k}} =0}^{p_{c_{k}} −1} λ_{0,..,0,i_{c_{k}} ,..,0}^{(c_{k})} if P = (0, .., p_{c_{1}}, 0, .., p_{c_{k}}, .., 0), p_{c_{j}} > 0. \end{matrix}

Par conséquent, la condition (ii) de l’hypothèse précédente est équivalente au fait que la multi-suite

(3.4.5)  (|χ_{p_{1},···,p_{m}}|^{2})_{p_{1},···,p_{m}≥0},

soit une multi-suite de moments de Stieltjes.

(2) Soient H_{1}, ⋯, H_{m} des espaces de Hilbert séparables et soit H le produit tensoriel (algébrique) H_{1} ⊗ ⋯ ⊗ H_{m}, qui n’est pas nécessairement un espace de Hilbert. Soit K la complétion de H (dans ce cas H est un sous-espace dense de K). Soit aussi (ξ_{i_{1},···,i_{m}} = ξ_{i_{1}} ⊗ ⋯ ⊗ ξ_{i_{m}}) une base orthonormale de H, où les (ξ_{i_{j}}) sont les bases orthonormales des H_{j} respectivement pour chaque j dans {1, ⋯, n}. On notera par S_{j} le shift à poids unilatéral défini sur H_{j}. On peut identifier l’opérateur S_{j} sur H_{j} avec l’opérateur I ⊗ ⋯ ⊗ I ⊗ S_{j} ⊗ I ⊗ ⋯ ⊗ I défini sur H. Alors, S = (S_{1}, ⋯, S_{m}) est un multi-opérateur sur V ect(ξ_{i_{1},···,i_{m}})_{i_{1},···,i_{m}≥0} qui est l’espace linéaire engendré par la base (ξ_{i_{1},···,i_{m}})_{i_{1},···,i_{m}≥0}. Donc on peut appliquer le théorème précédent à ce type d’espaces.

(3) Pour des multi-opérateurs, on peut montrer que la condition (ii) du théorème précédent implique les conditions � à la Itô � où � à la Lubin � (voir [It] et [Lub3], respectivement). Mais ces dernières conditions ne sont pas équivalentes parce qu’il existe des formes linéaires semi-définies positives sur ℝ[t_{1}, ⋯, t_{n}] qui ne sont pas des suites de moments (voir des exemples dans [BCJ], [Fr], [Sch] etc).

Comme conséquence du théorème 3.4.3, on obtient le corollaire suivant qui est un résultat obtenu par J. Stochel et F.H. Szafraniec (voir [St-Sz2], théorème 4).

3.4.5 Corollaire : Soit S un shift à poids unilatéral (non nécessairement borné) défini dans un espace de Hilbert séparable H. Alors, les assertions suivantes sont équivalentes :

(i) S is subnormal.

(ii) ∑_{j,k=0}^{n}⟨S^{k}f_{j}, S^{j}f_{k}⟩ ≥ 0, ∀f_{0}, ⋯, f_{n} ∈ V ect(ξ_{n})_{n≥0}.

(iii) ∑_{j,k=0}^{n}⟨S^{j+k}f_{j}, S^{j+k}f_{k}⟩ ≥ 0, ∀f_{0}, ⋯, f_{n} ∈ V ect(ξ_{n})_{n≥0}.

(iv) ||S^{n}ξ_{0}||^{2} = ∫_{0}^{+∞} t^{n}dμ(t), ∀n ≥ 0 où μ est une mesure positive avec des moments

à tout ordre.

Le théorème 3.4.3 nous donne l’équivalence (i) ⟺ (iv) (dont la preuve est différente de celle donnée dans [St-Sz2]). Les autres équivalences sont des démonstrations classiques (sur le problème de Stieltjes unidimensionel) que l’on peut, par exemple, trouver dans l’article [St-Sz2].

Maintenant que nous nous sommes occupé des multi-shifts à poids unilatéraux commutatifs (non nécessairement bornés), notre but est de donner des résultats similaires pour les multi-shifts à poids bilatéraux (toujours commutatifs et non nécessairement bornés). Ici se poseront des problèmes de définition pour nos formes linéaires, on aura donc besoin d’introduire des nouvelles conditions et définitions.

Soit S un shift à poids bilatéral et soit ξ = (ξ_{n})_{n∈ℤ} une base orthonormée de H. Cela signifie qu’il existe une suite x = (x_{n})_{n∈ℤ} de nombres complexes telle que l’on ait :

S(ξ_{n}) = x_{n}ξ_{n+1}.

Si tous les x_{n} sont non nuls, alors (S^{n}ξ_{0})_{n∈ℤ} engendre l’espace de Hilbert H. Et, si on pose D(S) = V ect(ξ_{n})_{n∈ℤ}, on obtient ∩_{n∈ℤ}D(S^{n}) = D(S), qui est un sous-espace dense dans H. Comme dans le début de cette partie, on peut définir des multi-shifts à poids bilatéraux :

Supposons que H soit un espace de Hilbert séparable munie d’une base orthonormée (ξ_{i_{1},···,i_{m}})_{i_{1},···,i_{m}∈ℤ}, on dit que S = (S_{1}, ⋯, S_{m}) est un multi-shift à poids bilatéral si pour chaque multi-indice (i_{1}, ⋯, i_{m}) ∈ ℤ^{m} et pour chaque j ∈ {1, ⋯, m} on a :

(3.4.6)  S_{j}(ξ_{i_{1},···,i_{m}}) = λ_{i_{1},···,i_{m}}^{(j)}ξ_{i_{1},···,i_{j}+1,···,i_{m}},

où les λ_{i_{1},···,i_{m}}^{(j)} sont des nombres complexes non nuls pour tout multi-indice i_{1}, ⋯, i_{m} et tout j = 1, ⋯, m. En particulier, le multi-opérateur est commutatif si on a des égalités similaires au début de la section (voir (3.4.2)). Dans ce cas, le multi-opérateur S est défini sur l’espace vectoriel engendré par les vecteurs de la forme (S^{α}ξ_{0})_{α∈ℤ^{m}}.

3.4.6 Définitions : Soient (r_{1,k})_{k≥0}, ⋯, (r_{m,k})_{k≥0} des suites d’entiers. On dira que ces suites satisfont à la condition (∗) s’il existe une fonction strictement croissante φ, de ℕ dans ℕ, qui vérifie la condition :

(∗)  lim_{k→∞} r_{j,φ(k)} = +∞, j = 1, ⋯, m.

Cette condition (∗) peut être vue comme une sorte de sup r_{k} = +∞ quand on est dans le cas de plusieurs suites.

Si K = (k_{1}, ⋯, k_{m}) et L = (l_{1}, ⋯, l_{m}) sont deux multi-indices positifs, et si (r_{1,k})_{k≥0}, ⋯, (r_{m,k})_{k≥0} sont des suites d’entiers, on pose par R_{K} le m-uplet (r_{1,k_{1}}, ⋯, r_{m,k_{m}}) et :

max(K, L) = (max(k_{1}; l_{1}), ⋯, max(k_{m}; l_{m})).

De plus, on écrira par A_{R}(K, L) le multi-indice positif (a_{1}, ⋯, a_{m}) défini par :

a_{j} \{ \begin{matrix}= k_{j} si r_{j,k_{j}} ≥ r_{j,l_{j}} \\ = l_{j} si non . \end{matrix}

(en particulier, on a A_{R}(K, K) = K). Enfin, si S est un muti-shift bilatéral commutatif, on notera par f_{K} l’élément suivant :

(3.4.7)  f_{K} = S^{−2r_{1,k_{1}}e_{1}···−2r_{m,km}e_{m}}ξ_{0} = S^{−2R_{K}}ξ_{0}.

3.4.7 Définition : Soit (μ_{k_{1},···,k_{m}})_{k_{1},···,k_{m}≥0} une multi-suite de mesures positives à supports dans ℝ_{+}^{m}. On dira que cette multi-suite vérifie la condition (∗∗) en respectant la multi-suite (r_{1,k}, ⋯, r_{m,k})_{k≥0} d’entiers si on a l’égalité suivante pour tout multiindice positif β :

(∗∗)  ∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{P +2R_{K′}−2R_{K}}}{(1 + t)^{β}} dμ_{K′}(t) = ∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{P}}{(1 + t)^{β}} dμ_{K}(t),

quand P et P + 2R_{K′} − 2R_{K} sont tous les deux positifs.

3.4.8 Lemme : Soit H un espace de Hilbert séparable et soit (ξ_{i_{1},···,i_{m}})_{i_{1},···,i_{m}∈ℤ} une base orthonormale de H. On suppose que (r_{1,k})_{k≥0}, ⋯, (r_{m,k})_{k≥0} est une multi-suite d’entiers vérifiant la condition (∗). On suppose également qu’il existe une multi-suite de mesures positives (μ_{k_{1},···,k_{m}})_{k_{1},···,k_{m}≥0} à supports dans ℝ_{+}^{m} vérifiant la condition (∗∗) en respectant la multi-suite (r_{1,k}, ⋯, r_{m,k})_{k≥0}. Alors, on peut définir sans ambiguité les formes sesquilinéaires (Θ_{α,β,δ})_{α,β,δ} sur V ect(S^{I}f_{K})_{I,K≥0} = V ect(S^{I}ξ_{0})_{I∈ℤ^{m}}, où on a posé f_{K} = S^{−2r_{1,k_{1}}e_{1}···−2r_{m,km}e_{m}}ξ_{0} ( et où S est un multi-shift à poids bilatéral commutatif non nécessairement borné), par les formules suivantes :

(3.4.8) \begin{aligned}Θ_{α,β,δ}(S^{I}f_{K}, S^{J}f_{L}) & = & Kr(I + β − 2R_{K}, J + α − 2R_{L}) \\ & & × ∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{I+J+α+β−2R_{K}−2R_{L}+4max(R_{K},R_{L})}}{(1 + t^{2})^{δ}} dρ_{A_{R}(K,L)}(t). \end{aligned}

Démonstration. On rappelle que, jusqu’à la fin, on note par (e_{1}, ⋯, e_{m}) la base canonique de l’espace hermitien ℂ^{m}.

On suppose qu’il existe d’autres representations pour les deux vecteurs S^{I}f_{K} et S^{J}f_{L}. On les note alors S^{I′}f_{K′} et S^{J′}f_{L′}. Alors, on a évidemment :

(3.4.9)  \{ \begin{matrix}S^{I}S^{−2r_{1,k_{1}}e_{1}···−2r_{m,km}e_{m}}ξ_{0} = S^{I′}S^{−2r_{1,k′_{1}}e_{1}···−2r_{m,k′_{m}}e_{m}}ξ_{0}. \\ S^{J}S^{−2r_{1,l_{1}}e_{1}···−2r_{m,lm}e_{m}}ξ_{0} = S^{J′}S^{−2r_{1,l′_{1}}e_{1}···−2r_{m,l′_{m}}e_{m}}ξ_{0}. \end{matrix}

Comme le multi-opérateur S transforme chaque élément de la base orthonormale en un multiple (non nul) d’un autre élément de cette base, la condition (3.4.9) implique les deux égalités suivantes :

(3.4.10)  \{ \begin{matrix}i_{p} − 2r_{p,k_{p}} = i′_{p} − 2r_{p,k′_{p}} pour tout p ∈ \{1, ⋯, m\}. \\ j_{p} − 2r_{p,l_{p}} = j′_{p} − 2r_{p,l′_{p}} pour tout p ∈ \{1, ⋯, m\}. \end{matrix}

Alors, on en déduit :

Kr(I + β − 2R_{K}, J + α − 2R_{L}) = Kr(I′ + β − 2R_{K′}, J′ + α − 2R_{L′}).

Maintenant, en utilisant la formule (3.4.8), on a Θ_{α,β,δ}(S^{I}f_{K}, S^{J}f_{L}) qui est égal à :

\begin{aligned}& Kr(I + β − 2R_{K}, J + α − 2R_{L}) ∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{2I+2β−4R_{K}+4max(R_{K},R_{L})}}{(1 + t^{2})^{δ}} dρ_{A_{R}(K,L)}(t) \\ = & Kr(I + β − 2R_{K}, J + α − 2R_{L}) ∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{I+β−2R_{K}+2max(R_{K},R_{L})}}{(1 + t)^{δ}} dμ_{A_{R}(K,L)}(t) \end{aligned}

De plus, en appliquant (3.4.10), l’équation précédente peut se mettre sous la forme :

Kr(I′ + β − 2R_{K′}, J′ + α − 2R_{L′}) ∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{I′+β−2R_{K′}+2max(R_{K},R_{L})}}{(1 + t)^{δ}} dμ_{A_{R}(K,L)}(t).

En appliquant la condition (∗∗) à μ_{A_{R}(K,L)} et μ_{A_{R}(K′,L′)}, on obtient :

∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{I′+β−2R_{K′}+2max(R_{K′},R_{L′})}t^{2(max(R_{K},R_{L})−max(R_{K′},R_{L′}))}}{(1 + t)^{δ}} dμ_{A_{R}(K,L)}(t)

= ∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{I′+β−2R_{K′}+2max(R_{K′},R_{L′})}}{(1 + t)^{δ}} dμ_{A_{R}(K′,L′)}(t),

puisque I′+β−2R_{K′}+2max(R_{K′}, R_{L′}) et I′+β−2R_{K′}+2max(R_{K′}, R_{L′})+2(max(R_{K}, R_{L})− max(R_{K′}, R_{L′})) = I + β − 2R_{K} + 2max(R_{K}, R_{L}) sont positifs ou nuls en même temps (voir (3.4.10)). Ceci implique que Θ_{α,β,δ}(S^{I}f_{K}, S^{J}f_{L}) est égal à :

Kr(I′ + β − 2R_{K′}, J′ + α − 2R_{L′}) ∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{I′+β−2R_{K′}+2max(R_{K′},R_{L′})}}{(1 + t)^{δ}} dμ_{A_{R}(K′,L′)}(t)

= Kr(I′+β−2R_{K′}, J′+α−2R_{L′})×∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{I′+J′+β+α−2R_{K′}−2R_{L′}+4max(R_{K′},R_{L′})}}{(1 + t^{2})^{δ}} dρ_{A_{R}(K′,L′)}(t)

= Θ_{α,β,δ}(S^{I′}f_{K′}, S^{J′}f_{L′}).

Par conséquent les formes sesquilinéaires (Θ_{α,β,δ})_{α,β,δ} sont bien définies pour tout triplet de multi-indices positifs α, β et δ.

3.4.9 Théorème : Soit H un espace de Hilbert séparable et soit (ξ_{i_{1},···,i_{m}})_{i_{1},···,i_{m}∈ℤ} une base orthonormale de H. On note par S = (S_{1}, ⋯, S_{m}) un multi-shift à poids bilatéral commutatif non nécessairement borné défini sur V ect(ξ_{i_{1},···,i_{m}})_{i_{1},···,i_{m}∈ℤ}. Alors, les propositions suivantes sont équivalentes :

(i) S est un multi-opérateur sous-normal.

(ii) Pour chaque famille de suites (r_{1,k})_{k≥0}, ⋯, (r_{m,k})_{k≥0}, à valeurs entières vérifiant la condition (∗), on a :

||S^{−2r_{1,k_{1}}e_{1}···−2r_{m,km}e_{m}+P} ξ_{0}||^{2} = ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{P} dμ_{k_{1},···,k_{m}}(t), ∀P ≥ 0

où les (μ_{K} = μ_{k_{1},···,k_{m}})_{K≥0} sont des mesures positives avec des moments à tous les ordres qui vérifient la condition (∗∗) en respectant (r_{1,k_{1}}, ⋯, r_{m,k_{m}})_{k_{1},···,k_{m}≥0}.

(iii) Il existe une famille de suites (r_{1,k})_{k≥0}, ⋯, (r_{m,k})_{k≥0}, à valeurs entières vérifiant la condition (∗), telle que l’on ait :

||S^{−2r_{1,k_{1}}e_{1}···−2r_{m,km}e_{m}+P} ξ_{0}||^{2} = ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{P} dμ_{k_{1},···,k_{m}}(t), ∀P ≥ 0,

où les (μ_{K})_{K≥0} sont des mesures positives avec des moments à tous les ordres qui vérifient la condition (∗∗) en respectant (r_{1,k_{1}}, ⋯, r_{m,k_{m}})_{k_{1},···,k_{m}≥0}.

Démonstration.

(ii) ⇒ (iii) évident.

(iii) ⇒ (i) Soit (f_{K}) la famille définie à la définition 3.4.6 (voir (3.4.7)). On commence par calculer le produit scalaire ⟨S^{I}f_{K}, S^{J}f_{L}⟩ :

⟨S^{I}f_{K}, S^{J}f_{L}⟩ = ⟨S^{I−2R_{K}}ξ_{0}, S^{J−2R_{L}}ξ_{0}⟩
= ⟨S^{I−2R_{K}+2max(R_{K},R_{L})}S^{−2max(R_{K},R_{L})}ξ_{0},
S^{J−2R_{L}+2max(R_{K},R_{L})}S^{−2max(R_{K},R_{L})}ξ_{0}⟩
= Kr(I − 2R_{K}, J − 2R_{L}) ||S^{I−2R_{K}+2max(R_{K},R_{L})}f_{A_{R}(K,L)}||^{2}.

Alors, si l’hypothèse (iii) est vérifiée (sur les suites de moments de Stieltjes multidimensionels), le produit scalaire précédent ⟨S^{I}f_{K}, S^{J}f_{L}⟩ peut se mettre sous la forme :

(3.4.11)  Kr(I − 2R_{K}, J − 2R_{L}) ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{I+J−2R_{k}−2R_{L}+4max(R_{K},R_{L})}dρ_{A_{R}(K,L)}(t).

(Pour ce qui concerne la relation entre ρ et μ, on utilise le même lien que pour les multi-shifts unilatéraux, voir l’égalité (3.4.4)).

On a défini (voir (3.4.8)), pour chaque triplet de multi-indices positifs (α, β, δ) et pour chaque I, J, K, et L, Θ_{α,β,δ}(S^{I}f_{K}, S^{J}f_{L}) en posant :

Kr(I + β − 2R_{K}, J + α − 2R_{L}) ∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{I+J+α+β−2R_{K}−2R_{L}+4max(R_{K},R_{L})}}{(1 + t^{2})^{δ}} dρ_{A_{R}(K,L)}(t),

où ρ_{A_{R}(K,L)} est la mesure positive à support dans ℝ_{+}^{m} associée à μ_{A_{R}(K,L)} par (3.4.4). Par le lemme précédent 3.4.8, on sait que cette multi-suite de formes sesquilinéaires Θ = (Θ_{α,β,δ})_{α,β,δ≥0} est bien définie. On commence alors par vérifier les conditions

(1) à (5) du théorème 3.3.2. (Quand c’est suffisant, on vérifie juste les propriétés sur la famille génératrice (S^{I}f_{K})_{I,K≥0}. En effet, comme les suites d’entiers satisfont à la condition (∗), on obtient V ect(ξ_{P})_{P ∈ℤ^{m}} = V ect(S^{I}f_{K})_{I,K≥0}).

Pour la condition (1), on calcule Θ_{0,0,0}(S^{I}f_{K}, S^{J}f_{L}) :

Kr(I − 2R_{K}, J − 2R_{L}) ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{I+J−2R_{K}−2R_{L}+4max(R_{K},R_{L})}dρ_{A_{R}(K,L)}(t)

= Kr(I − 2R_{K}, J − 2R_{L}) ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{2I−4R_{K}+4max(R_{K},R_{L})}dρ_{A_{R}(K,L)}(t)

= ⟨S^{I}f_{K}, S^{J}f_{L}⟩,

grâce à l’égalité (3.4.11).

Pour la seconde condition, on doit montrer Θ_{0,e_{c},0}(S^{I}f_{K}, S^{J}f_{L}) = ⟨S^{I}S_{c}f_{K}, S^{J}f_{L}⟩. On démarre de la partie gauche de l’égalité qui n’est autre que :

Kr(I − 2R_{K} + e_{c}, J − 2R_{L}) ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{I+e_{c}+J−2R_{K}−2R_{L}+4max(R_{K},R_{L})}dρ_{A_{R}(K,L)}(t)

= Kr(I − 2R_{K} + e_{c}, J − 2R_{L}) ||S^{I+e_{c}−2R_{K}+2max(R_{K},R_{L})}f_{A_{R}(K,L)}||^{2}
= ⟨S^{I+e_{c}}f_{K}, S^{J}f_{L}⟩ = ⟨S^{I}S_{c}f_{K}, S^{J}f_{L}⟩.

En ce qui concerne la relation (3), on prend x dans V ect(S^{I}f_{K})_{I,K≥0}. Grâce à la condition (∗), il existe un multi-indice positif B tel que l’on puisse écrire x = ∑_{I≥0} ζ_{I} S^{I}f_{B}. Par conséquent, on a Θ_{e_{c},e_{c},0}(x, x) qui se met sous la forme : ∑_{I,J} ζ_{I} \overline{ζ_{J}} Θ_{e_{c},e_{c},0}(S^{I}f_{B}, S^{J}f_{B})

\begin{matrix}= & ∑_{I,J} ζ_{I} \overline{ζ_{J}} Kr(I − 2R_{B} + e_{c}, J − 2R_{B} + e_{c}) ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{I+2e_{c}+J}dρ_{B}(t) \\ = & ∑_{I,J} ζ_{I} \overline{ζ_{J}} Kr(I − 2R_{B}, J − 2R_{B}) ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{I+e_{c}}dμ_{B}(t) \\ = & ∑_{I} |ζ_{I}|^{2} ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{I+e_{c}}dμ_{B}(t) = ∑_{I} |ζ_{I}|^{2} ||S^{I+e_{c}}f_{B}||^{2} = ||S_{c} ∑_{I} ζ_{I} S^{I}f_{B}||^{2}, \end{matrix}

puisque la famille (S^{I}f_{B})_{I≥0} est une famille orthogonale. De plus, on a également la valeur Θ_{e_{c},0,0}(S_{c}S^{I}f_{K}, S^{I}f_{K}) :

\begin{matrix}= & Kr(I − 2R_{B} + e_{c}, J − 2R_{B} + e_{c}) ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{I+2e_{c}+I}dρ_{A_{R}(K,K)}(t) \\ = & Θ_{e_{c},e_{c},0}(S^{I}f_{K}, S^{I}f_{K}). \end{matrix}

Pour la quatrième condition, on doit maintenant simplifier l’expression suivante Θ_{α,β,δ+e_{c}}(S^{I}f_{K}, S^{J}f_{L}) +Θ_{α+e_{c},β+e_{c},δ+e_{c}}(S^{I}f_{K}, S^{J}f_{L}) qui est égale à :

Kr(I − 2R_{K} + β, J − 2R_{L} + α) ∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{I+J+α+β−2R_{K}−2R_{L}+4max(R_{K},R_{L})}}{(1 + t^{2})^{δ+e_{c}}} dρ_{A_{R}(K,L)}(t)

+Kr(I − 2R_{K} + β + e_{c}, J − 2R_{L} + α + e_{c}) ∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{I+J+α+β+2e_{c}−2R_{K}−2R_{L}+4max(R_{K},R_{L})}}{(1 + t^{2})^{δ+e_{c}}}

dρ_{A_{R}(K,L)}(t)

= Kr(I − 2R_{K} + β, J − 2R_{L} + α) ∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{I+J+α+β−2R_{K}−2R_{L}+4max(R_{K},R_{L})}}{(1 + t^{2})^{δ+e_{c}}}

(1 + t_{c}^{2})dρ_{A_{R}(K,L)}(t)

= Kr(I − 2R_{K} + β, J − 2R_{L} + α) ∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{I+J+α+β−2R_{K}−2R_{L}+4max(R_{K},R_{L})}}{(1 + t^{2})^{δ}} dρ_{A_{R}(K,L)}(t)

= Θ_{α,β,δ}(S^{I}f_{K}, S^{J}f_{L}).

Par conséquent, sur l’espace vectoriel V ect(S^{I}f_{K})_{I,K≥0}, on a l’égalité suivante :

Θ_{α,β,δ} = Θ_{α,β,δ+e_{c}} + Θ_{α+e_{c},β+e_{c},δ+e_{c}}.

Enfin, en ce qui concerne la condition de positivité (5), on doit montrer que la multi-suite de formes sesquilinéaires Θ est de type positive. Soit x = (x_{α,β,δ})_{α,β,δ} une multi-suite finie de vecteurs de V ect(S^{I}f_{K})_{I,K≥0}. Grâce à la propriété (∗) sur les suites d’entiers que nous utilisons, on peut trouver un multi-indice B positif tel que l’on puisse écrire :

x_{α,β,δ} = ∑_{J≥0} ζ_{α,β,δ,J}S^{J}f_{B}.

Avec cette représentation, on obtient ∑_{α,β,δ,α′,β′,δ′} Θ_{α+β′,β+α′,δ+δ′}(x_{α,β,δ}, x_{α′,β′,δ′}) qui est égal à :

∑_{α,β,δ,α′,β′,δ′,I,J} ζ_{α,β,δ,I} \overline{ζ_{α′,β′,δ′,J}} Θ_{α+β′,β+α′,δ+δ′}(S^{I}f_{B}, S^{J}f_{B})

= ∑_{α,β,δ,α′,β′,δ′,I,J} ζ_{α,β,δ,I} \overline{ζ_{α′,β′,δ′,J}} Kr(I − 2R_{B} + β + α′, J − 2R_{B} + α + β′)

× ∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{I+J+α+β+α′+β′−4R_{B}+4max(R_{B},R_{B})}}{(1 + t^{2})^{δ+δ′}} dρ_{B}(t)

= ∑_{α,β,δ,α′,β′,δ′,I,J} ζ_{α,β,δ,I} \overline{ζ_{α′,β′,δ′,J}} Kr(I − 2R_{B} + β − α, J − 2R_{B} − α′ + β′)

× ∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{I+J+α+β+α′+β′}}{(1 + t^{2})^{δ+δ′}} dρ_{B}(t)

= ∫_{ℝ_{+}^{m}} ∑_{α,β,δ,α′,β′,δ′,I,J} ζ_{α,β,δ,I} \overline{ζ_{α′,β′,δ′,J}} ∫_{𝕋^{m}} u^{I+β−α}\overline{u^{J+β′−α′}} \frac{t^{I+J+α+β+α′+β′}}{(1 + t^{2})^{δ+δ′}} dσ(u)dρ_{B}(t)

= ∫_{ℝ_{+}^{m}} ∫_{𝕋^{m}} | ∑_{α,β,δ,I} ζ_{α,β,δ,I} \frac{t^{I+α+β}}{(1+^{2})^{δ}} u^{I+β−α}|^{2}dρ(t)dσ(u),

où σ est la mesure de Lebesgue normalisée définie sur le Tore 𝕋^{m} (voir (3.3.33)). Donc, on obtient :

Λ_{Θ}(∑_{α,β,δ} z̄^{α}z^{β}(1 + |z|^{2})^{−δ} ⊗ x_{α,β,δ} , ∑_{α,β,δ} z̄^{α}z^{β}(1 + |z|^{2})^{−δ} ⊗ x_{α,β,δ}) ≥ 0.

En conclusion, on peut appliquer le théorème 3.3.2. Ceci entraîne que le multi-shift à poids bilatéral est sous-normal.

(i) ⇒ (ii) Si S est un multi-opérateur sous-normal et si N est une extension normale (commutative) de S, on a :

\begin{aligned}⟨S^{P} f_{K}, S^{P} f_{K}⟩ & = ⟨N^{P} f_{K}, N^{P} f_{K}⟩ = ⟨N_{m}^{∗p_{m}} ⋯ N_{1}^{∗p_{1}}N_{1}^{p_{1}} ⋯ N_{m}^{p_{m}}f_{K}, f_{K}⟩ \\ & = ∫_{ℂ^{m}} |z_{1}|^{2p_{1}} ⋯ |z_{m}|^{2p_{m}}d⟨E(z_{1}, ⋯, z_{m})f_{K}, f_{K}⟩, \end{aligned}

où E est la mesure spectrale associée au multi-opérateur normal N. Et donc, si on pose :

μ_{K}(τ) = ⟨E(ϕ^{−1}(τ))f_{K}, f_{K}⟩,

pour chaque ensemble τ de la tribu borélienne de ℝ_{+}^{m}, où ϕ a été donnée dans le théorème 3.4.3 (voir (i) ⇒ (ii)). Comme conséquence, on obtient :

||S^{P} f_{K}||^{2} = ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{P} dμ_{K}(t),

pour chaque P ≥ 0 où toutes les mesures (μ_{K})_{K} sont des mesures positives. Enfin, on doit prouver que ces mesures satisfont à la condition (∗∗).

Pour chaque multi-indice positif β, on note par (I + N^{∗}N)^{−β} le multi-opérateur ((I + N_{1}^{∗}N_{1})^{−β_{1}}, ⋯, (I + N_{m}^{∗}N_{m})^{−β_{m}}) qui est bien défini puisque chaque opérateur N_{j}^{∗}N_{j} est positif et que tous les opérateurs commutent. Par conséquent, on a :

\begin{aligned}⟨(I + N^{∗}N)^{−β}S^{P} f_{K}, S^{P} f_{K}⟩ & = ⟨N^{P} N^{∗P} (I + N^{∗}N)^{−β}f_{K}, f_{K}⟩ \\ & = ∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{P}}{(1 + t)^{β}} dμ_{K} = ∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{2P}}{(1 + t^{2})^{β}} dρ_{K}. \end{aligned}

De plus, si P + 2R_{K′} − 2R_{K} ≥ 0, on a (voir (3.4.7)) :

⟨(I + N^{∗}N)^{−β}S^{P} f_{K}, S^{P} f_{K}⟩ = ⟨(I + N^{∗}N)^{−β}S^{P +2R_{K′}−2R_{K}}f_{K′}, S^{P +2R_{K′}−2R_{K}}f_{K′}⟩

\begin{matrix}= ⟨N^{∗P +2R_{K′}−2R_{K}}(I + N^{∗}N)^{−β}N^{P +2R_{K′}−2R_{K}}f_{K′}, f_{K′}⟩ \\ = ∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{P +2R_{K′}−2R_{K}}}{(1 + t)^{β}} dμ_{K′} = ∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{P +2R_{K′}−2R_{K}}}{(1 + t)^{β}} dμ_{K}. \end{matrix}

Donc la condition (∗∗) est bien satisfaite pour cette famille de mesures.

On donne maintenant un corollaire qui est un cas particulier important du théorème 3.4.9 précédent. On prend juste comme multi-suite d’entiers qui vérifient la condition (∗) la multi-suite suivante (et sans doute la plus simple) :

(r_{1,k_{1}}, ⋯, r_{m,k_{m}} = K)_{K≥0}.

3.4.10 Corollaire : Soit H un espace de Hilbert séparable et soit (ξ_{i_{1},···,i_{m}})_{i_{1},···,i_{m}∈ℤ} une base orthonormale de H. Soit aussi S un multi-shift à poids bilatéral commutatif non nécessairement borné défini sur V ect(ξ_{i_{1},···,i_{m}}). Alors S est sous-normal si et seulement si il existe une multi-suite (μ_{K})_{K≥0} de mesures positives à support dans ℝ_{+}^{m} avec des moments à tous les ordres telles que les deux conditions suivantes soient vérifiées :

(i) ||S^{−2K+P} ξ_{0}||^{2} = ∫_{ℝ_{+}^{m}} t^{P} dμ_{K}(t), ∀P ≥ 0.

(ii) ∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{P +2(K′−K)}}{(1 + t)^{β}} dμ_{K′}(t) = ∫_{ℝ_{+}^{m}} \frac{t^{P}}{(1 + t)^{β}} dμ_{K}(t), pour chaque K et K′ vérifiant

P + 2(K′ − K) ≥ 0 et P ≥ 0.

3.4.11 Remarques :

(1) Comme dans le cas des multi-shifts unilatéraux, on peut montrer que les conditions (i) à (iii) du théorème 3.4.9 impliquent les conditions de positivité à la Itô et Lubin.

(2) Toujours comme dans le cas des multi-shifts unilatéraux, on peut utiliser le théorème précédemment cité pour des produits tensoriels (algébriques) d’espaces de Hilbert séparables en utilisant la même identification.

(3) De plus, on peut remplacer les conditions (ii) et (iii) dans le théorème 3.4.9 par des conditions sur les différents poids (λ_{i_{1},···,i_{m}}^{(j)})_{i_{1},···,i_{m},j} : savoir s’ils forment ou non des multi-suites de moments de Stieltjes.

Chaque multi-shift à poids bilatéral est inversible sur V ect(ξ_{i_{1},···,i_{m}})_{i_{1},···,i_{m}∈ℤ}. De plus, on a S_{j}(V ect(ξ_{i_{1},···,i_{m}})) qui est égal à V ect(ξ_{i_{1},···,i_{m}}). Donc, s’il existe un nombre positif tel que l’on ait :

(3.4.12)  |λ_{i_{1},···,i_{m}}^{(j)}| ≥ ω > 0,

chaque opérateur S_{j} admet un inverse borné. Quite à multiplier par un réel positif, l’hypothèse de l’exemple 3.3.8 est satisfaite. Par conséquent, la sous-normalité de S est équivalente à l’inégalité (iii) de la proposition de l’exemple 3.3.8.

Enfin, comme conséquence du théorème 3.4.9, on obtient un résultat de 1989 pour le cas d’un seul opérateur. On a juste à noter que la condition (∗) n’est autre que la notion de borne supérieure dans ce cas.

3.4.12 Corollaire : Soit S un shift à poids bilatéral (non nécessairement borné). Alors les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) S est sous-normal.

(ii) ∑_{j,k=0}^{n}⟨S^{k}f_{j}, S^{j}f_{k}⟩ ≥ 0, ∀f_{0}, ⋯, f_{n} ∈ V ect(ξ_{n})_{n∈ℤ}.

(iii) ∑_{j,k=0}^{n}⟨S^{j+k}f_{j}, S^{j+k}f_{k}⟩ ≥ 0, ∀f_{0}, ⋯, f_{n} ∈ V ect(ξ_{n})_{n∈ℤ}.

(iv) Pour chaque suite à valeurs entières, (r_{k})_{k≥0} vérifiant, sup_{k}(r_{k}) = +∞, on a :

||S^{−2r_{k}+n}ξ_{0}||^{2} = ∫_{0}^{+∞} t^{n}dμ_{k}(t), ∀n ≥ 0,

où les (μ_{k})_{k≥0} sont des mesures positives ayant des moments à tous les ordres vérifiant (∗∗) en respectant la suite (r_{k})_{k≥0}.

(v) Il existe une suite à valeurs entières, (r_{k})_{k≥0} vérifiant, sup_{k}(r_{k}) = +∞, on a :

||S^{−2r_{k}+n}ξ_{0}||^{2} = ∫_{0}^{+∞} t^{n}dμ_{k}(t), ∀n ≥ 0,

où les (μ_{k})_{k≥0} sont des mesures positives avec des moments de tout ordre vérifiant (∗∗) en respectant la suite (r_{k})_{k≥0}.

Démonstration. Les équivalences (i) ⇔ (iv) ⇔ (v) proviennent du théorème 3.4.9 et les équivalences (i) ⇔ (ii) ⇔ (iii) sont données par le théorème 5 de [St-Sz2].

3.4.13 Remarque : Si on choisit comme suite (r_{k}) vérifiant la condition sup(r_{k}) = +∞ la plus simple (r_{k} = k)_{k≥0}, on obtient comme conséquence du corollaire 3.4.12, un résultat similaire à celui de J. Stochel et F.H.Szafraniec (voir [St-Sz2], théorème 5, équivalence (i) à (iv)). La solution dans [St-Sz2], valable pour un opérateur, ne nécessite aucune condition du type (∗∗). On a imposé cette condition pour obtenir une assertion valide pour un nombre arbitraire d’opérateurs. La question de savoir si on peut supprimer cette condition (∗∗) en général, est ouverte.

A partir de maintenant et jusque la fin de cette section, nous allons nous employer à donner des résultats sur la sous-normalité de shifts à poids formés à partir de shifts unilatéraux sous-normaux et de leurs adjoints. Ceci nous permettra en particulier de donner un nombre considérable d’exemples d’opérateurs sous-normaux. On achèvera cette partie en reprenant l’exemple multi-dimensionnel d’un opérateur classique qui apparaît souvent en Physique : L’opérateur de Création. Pour des résultats sur cet opérateur dans le cas d’une seule variable, on peut se référer à [St-Sz], [St-Sz2], [St-Sz4] et [Ot].

3.4.14 Définition : Soit α un multi-indice strictement positif, T est dit un α-multi-shift à poids défini sur D(T) = V ect(ξ_{I})_{I≥0} ⊂ H (où H est un espace de Hilbert séparable et (ξ_{I})_{I≥0} une base orthonormée de cet espace) si on a :

(3.4.13)  T_{j}(ξ_{I}) = λ_{I}^{(j)}ξ_{I+α_{j}}, ∀I ≥ 0, j = 1, ⋯, m.

En particulier un (1, ⋯, 1)-multi-shift à poids est un multi-shift unilatéral classique. On dira qu’un α-multi-shift est commutatif si on a T_{i}T_{j} = T_{j}T_{i} sur D(T) = V ect(ξ_{I})_{I≥0} qui est un espace stable. Soit β < α (β ∈ ℤ_{+}^{m}), on définit le multi-opérateur T^{[β]} = (T_{1}^{[β_{1}]}, ⋯, T_{m}^{[β_{m}]}) par la formule (j = 1, ⋯, m) :

(3.4.14)  T_{j}^{[β_{j}]}(ξ_{β+(a_{1},···,a_{m})α}) = λ_{β+(a_{1},···,a_{m})α}^{(j)}ξ_{β+[(a_{1},···,a_{m})+e_{j}]α},

sur l’espace de Hilbert séparable H_{β} qui est engendré par V ect(ξ_{β+cα})_{c_{1},···,c_{m}≥0}. On rappelle que si l’on a deux multi-indices A = (a_{1}, ⋯, a_{m}) et B = (b_{1}, ⋯, b_{m}), on note par le produit AB le multi-indice (a_{1}b_{1}, ⋯, a_{m}b_{m}). On peut remarquer que chaque multi-opérateur T^{[β]} est un multi-shift à poids unilatéral sur l’espace de Hilbert H_{β}. Alors tout α-multi-shift à poids est somme orthogonale des multi-shifts T^{[β]}, 0 ≤ β < α. En fait, un α-multi-shift à poids permet de faire des sauts dans les indices de la base orthonormale de plus de 1.

Si (λ_{i_{1},i_{2},···,i_{m}}^{(j)})_{i_{1},···,i_{m}≥0;j=1,···,m} est une multi-suite. Pour chaque couple de multiindices positifs (α, β) fixé, on lui associe la multi-suite (λ_{p_{1},p_{2},···,p_{m}}^{β,α})_{p_{1},p_{2},···,p_{m}≥0} donnée par les produits suivants (voir la remarque 3.4.4 (1) pour une définition similaire) : (3.4.15)

1 si  p_{1} = ⋯ = p_{m} = 0
|λ_{0,···,0,β_{m}}^{(m)}|^{2}×  |λ_{0,···,0,β_{m}+α_{m}}^{(m)}|^{2}×  ⋯  ×|λ_{0,···,0,β_{m}+(p_{m}−1)α_{m}}^{(m)}|^{2}
⋮  ⋮  ⋮
×  ×  ×
⋮  ⋮  ⋮
|λ_{β_{1},(p_{2}−1)α_{2}+β_{2},..}^{(1)}|^{2}× |λ_{α_{1}+β_{1},(p_{2}−1)α_{2}+β_{2},···}^{(1)}|^{2}× ⋯ ×|λ_{(p_{1}−1)α_{1}+β_{1},···,(p_{m}−1)α_{m}+β_{m}}^{(1)}|^{2},

si chaque composante de P est non nulle. Et si P a des zéros dans sa décomposition, on ne fait apparaître que les termes où il n’y a pas de zéros comme ci-dessus (comme dans la remarque 3.4.4 (1)). En particulier, si la multi-suite (λ_{i_{1},i_{2},···,i_{m}}^{(j)})_{i_{1},···,i_{m}≥0;j=1,···,m} est la suite des poids d’un multi-shift commutatif unilatéral, la sous-normalité revient à savoir si (λ_{p_{1},p_{2},···,p_{m}}^{0,1})_{p_{1},p_{2},···,p_{m}≥0} est une suite de moments de Stieltjes (où 1 est le multi-indice (1, ⋯, 1)).

3.4.15 Proposition : Soit T un α-multi-shift commutatif à poids sur un espace de Hilbert H munie d’une base orthonormale (ξ_{I})_{I≥0}. Soient (λ_{I}^{(j)})_{I≥0;j=1,···,m} les poids de T. Les assertions suivantes sont équivalentes :

(i) T est un α-multi-shift sous-normal.

(ii) T^{[β]} est sous-normal pour tout β vérifiant 0 ≤ β < α.

(iii) Pour tout β vérifiant 0 ≤ β < α, (λ_{I}^{β,α})_{I≥0} est une suite de moments de Stieltjes.

Démonstration.

(i) ⇒ (ii) Pour tout β vérifiant 0 ≤ β < α, on a T^{[β]} = T |_{H_{β}}. Donc T est sousnormal implique que chaque T^{[β]} l’est également.

(ii) ⇔ (iii) Chaque T^{[β]} est un multi-shift à poids sur l’espace de Hilbert H_{β}. La commutativité des T^{[β]} provient de celle de T. Il suffit d’utiliser le théorème 3.3.2 et la remarque 3.4.4 (1) du début de la section.

(ii) ⇒ (i) Comme D(T) = V ect(ξ_{i_{1},i_{2},···,i_{m}})_{i_{1},···,i_{m}≥0}, on a :

(3.4.16)  H = ⨁_{0≤β<α} H_{β}, et T = ⨁_{0≤β<α} T^{[β]}.

Et on a également D(T) = ⨁_{0≤β<α} D(T^{[β]}). Si N^{[β]} sont les extensions normales des T^{[β]}, alors N = ⨁_{0≤β<α} N^{[β]} est une extension normale T.

3.4.16 Théorème : Soit T un α-multi-shift à poids, commutatif et sous-normal, sur un espace de Hilbert séparable H munie d’une base orthonormale (ξ_{I})_{I≥0}. Soit (δ_{I}^{(j)})_{I≥0;j=1,···,m} une famille de nombres complexes. Si on note par (λ_{I}^{(j)})_{I≥0;j=1,···,m} les poids de T, soit W le multi-opérateur défini par :

(3.4.17)  W_{j}ξ_{I} = λ_{I}^{(j)}δ_{I}^{(j)}ξ_{I+e_{j}}; j = 1, ⋯, m.

Alors W est sous-normal si (δ_{I}^{(j)})_{I≥0;j=1,···,m} vérifie les conditions suivantes :

(i) δ_{I}^{(j)}δ_{I+e_{j}}^{(k)} = δ_{I}^{(k)}δ_{I+e_{k}}^{(j)} pour tout I ≥ 0 et pour tout j, k = 1, ⋯, m.

(ii) Il existe un multi-indice A ≥ 0 tel que δ_{I}^{(j)} ≠ 0 pour I ≥ A et δ_{I}^{(j)} = 0 si non. (iii) δ_{I}^{A,1} est une suite de moments de Stieltjes.

Démonstration. Soit K l’espace de Hilbert séparable engendré par les vecteurs ξ_{I} qui vérifient i_{j} < a_{j} pour au moins un indice j ∈ {1, ⋯, m}. Alors, on a W_{j} = 0_{K} ⊕ W′_{j} où W′ = (W′_{1}, ⋯, W′_{m}) est un multi-shift à poids (commutatif grâce à l’hypothèse (i)) et ces derniers sont :

δ_{I+A}^{(j)}λ_{I+A}^{(j)}, I ≥ 0 et j = 1, ⋯, m.

le multi-opérateur W′ est sous-normal si et seulement si (δ_{I}^{A,1}λ_{I}^{A,1})_{I≥0} est une suite de moments de Stieltjes. Comme T est sous-normal, (λ_{I}^{0,1})_{I≥0} est une suite de moments de Stieltjes. Il en est donc de même pour (λ_{I}^{A,1})_{I≥0}. Par hypothèse, (δ_{I}^{A,1})_{I≥0} en est une aussi. Donc, par une propriété du produit de Schur, (δ_{I}^{A,1}λ_{I}^{A,1})_{I≥0} est aussi une multi-suite de moments de Stieltjes, ce qui achève la démonstration. En effet, si N = (N_{1}, ⋯, N_{m}) est une extension normale de W′, les opérateurs 0_{K} ⊕ N_{j} sont normaux, commutent et prolongent W.

3.4.17 Définition : Soit R un multi-shift à poids, on dira que R vérifie la condition (⋄) si on a pour tout multi-indice positif I :

(⋄)  R_{j}(ξ_{I}) = r_{i_{j}}^{(j)}ξ_{I+e_{j}}, I = (i_{1}, ⋯, i_{m}); j = 1, ⋯, m.

On peut noter que tout multi-shift à poids vérifiant (⋄) est forcément commutatif. En effet pour k ≠ j, on a :

R_{k}R_{j}(ξ_{I}) = r_{i_{j}}^{(j)}R_{k}(ξ_{I+e_{j}}) = r_{i_{j}}^{(j)}r_{i_{k}}^{(k)}ξ_{I+e_{j}+e_{k}} = R_{j}R_{k}(ξ_{I}).

Afin de simplifier les formules des multi-opérateurs, on posera pour T = (T_{1}, ⋯ T_{m}) et pour tout couple (α, β) de multi-indices positifs :

(3.4.18)  \{ \begin{matrix}T^{(∗α,β)} = (T_{1}^{∗α_{1}}T_{1}^{β_{1}}, ⋯, T_{m}^{∗α_{m}}T_{m}^{β_{m}}). \\ T^{(α,∗β)} = (T_{1}^{α_{1}}T_{1}^{∗β_{1}}, ⋯, T_{m}^{α_{m}}T_{m}^{∗β_{m}}). \end{matrix}

Bien évidemment, on a l’égalité T^{(∗α,0)} = T^{(0,∗α)}, donc on peut noter ce multi-opérateur sans ambiguïté simplement T^{(∗α)}. De même, on pose T^{(α)} = T^{(α,0)} = T^{(0,α)} (en particulier T^{(1)} = T). On se donne alors une opération sur les multi-opérateurs : pour T et R deux multi-opérateurs et pour des multi-indices positifs α, β, δ et ε, on pose :

T^{(∗α,β)}R^{(∗δ,ε)} = (T_{1}^{∗α_{1}}T_{1}^{β_{1}}R_{1}^{∗δ_{1}}R_{1}^{ε_{1}}, ⋯, T_{m}^{∗α_{m}}T_{m}^{β_{m}}R_{m}^{∗δ_{m}}R_{m}^{ε_{m}}).

De la même manière, on peut définir T^{(∗α,β)}R^{(δ,∗ε)}, T^{(α,∗β)}R^{(∗δ,ε)} et T^{(α,∗β)}R^{(δ,∗ε)}.

3.4.18 Théorème : Soient R et S deux multi-shifts à poids sous-normaux vérifiant la condition (⋄). Soit T un multi-shift à poids commutatif et sous-normal. Alors pour tout multi-indice β ≥ 0, les multi-opérateurs R^{(∗β)}S^{(β)}T et T R^{(∗β)}S^{(β)} sont sous-normaux.

Démonstration.

cas 1) Soit W = (R_{1}^{∗β_{1}}S_{1}^{β_{1}}T_{1}, ⋯, R_{m}^{∗β_{m}}S_{m}^{β_{m}}T_{m}), W est un multi-shift à poids :

W_{j}(ξ_{I}) = w_{I}^{(j)}ξ_{I+e_{j}},

où w_{I}^{(j)} = t_{I}^{(j)}s_{i_{j}+1}^{(j)} ⋯ s_{i_{j}+β_{j}}^{(j)} \overline{r_{i_{j}+1}^{(j)}} ⋯ \overline{r_{i_{j}+β_{j}}^{(j)}} (bien entendu les lettres désignant les poids écrits correspondent aux opérateurs R, S et T). De plus, la commutativité de R, S et T implique clairement celle de W. Enfin, on notera pour tout multi-indice positif I et pour j = 1, ⋯, m :

(3.4.19)  q_{I}^{(j)} = s_{i_{j}+1}^{(j)} × ⋯ × s_{i_{j}+β_{j}}^{(j)} × \overline{r_{i_{j}+1}^{(j)}} × ⋯ × \overline{r_{i_{j}+β_{j}}^{(j)}}.

Alors q_{I}^{0,1} est donné par la formule suivante : (toujours si I > 0, sinon il ne faut prendre que les produits où l’on a i_{j} > 0)

|q_{0,···,0}^{(m)}|^{2} × ⋯ × |q_{0,···,i_{m}−1}^{(m)}|^{2} × ⋯ × |q_{0,i_{2}−1,···,i_{m}−1}^{(1)}|^{2} × ⋯ × |q_{i_{1}−1,···,i_{m}−1}^{(1)}|^{2}

= |s_{1}^{(m)}|^{2} ⋯ |s_{β_{m}}^{(m)}|^{2} |r_{1}^{(m)}|^{2} ⋯ |r_{β_{m}}^{(m)}|^{2}
|s_{2}^{(m)}|^{2} ⋯ |s_{β_{m}+1}^{(m)}|^{2} |r_{2}^{(m)}|^{2} ⋯ |r_{β_{m}+1}^{(m)}|^{2}
⋮  ⋮  ⋮  ⋮
|s_{i_{m}}^{(m)}|^{2} ⋯ |s_{β_{m}+i_{m}−1}^{(m)}|^{2} |r_{i_{m}}^{(m)}|^{2} ⋯ |r_{β_{m}+i_{m}−1}^{(m)}|^{2}
⋮  ⋮  ⋮  ⋮
|s_{1}^{(1)}|^{2} ⋯  |s_{β_{1}}^{(1)}|^{2}  |r_{1}^{(1)}|^{2} ⋯  |r_{β_{1}}^{(1)}|^{2}
⋮  ⋮  ⋮  ⋮
|s_{i_{1}}^{(1)}|^{2} ⋯ |s_{β_{1}+i_{1}−1}^{(1)}|^{2} |r_{i_{1}}^{(1)}|^{2} ⋯ |r_{β_{1}+i_{1}−1}^{(1)}|^{2}

Si on fait le produit colonnes par colonnes, on obtient les produits suivants : (3.4.20)

\begin{matrix}\frac{s_{(i_{1}+1)e_{1}}^{0,e_{1}} ⋯ s_{(i_{m}+1)e_{m}}^{0,e_{m}}}{s_{1}^{0,1}} × ⋯ × \frac{s_{(i_{1}+β_{1})e_{1}}^{0,e_{1}} ⋯ s_{(i_{m}+β_{m})e_{m}}^{0,e_{m}}}{s_{β_{1}}^{0,e_{1}} ⋯ s_{β_{m}}^{0,e_{m}}} × \frac{r_{(i_{1}+1)e_{1}}^{0,e_{1}} ⋯ r_{(i_{m}+1)e_{m}}^{0,e_{m}}}{r_{1}^{0,1}} × ⋯ \\ ×\frac{r_{(i_{1}+β_{1})e_{1}}^{0,e_{1}} ⋯ r_{(i_{m}+β_{m})e_{m}}^{0,e_{m}}}{r_{β_{1}}^{0,e_{1}} ⋯ r_{β_{m}}^{0,e_{m}}} \end{matrix}

Ceci n’est rien d’autre que :

(3.4.21)  \frac{s_{I+1}^{0,1}}{s_{1}^{0,1}} × ⋯ × \frac{s_{I+β}^{0,1}}{s_{β_{1}}^{0,e_{1}} ⋯ s_{β_{m}}^{0,e_{m}}} × \frac{r_{I+1}^{0,1}}{r_{1}^{0,1}} × ⋯ × \frac{r_{I+β}^{0,1}}{r_{β_{1}}^{0,e_{1}} ⋯ r_{β_{m}}^{0,e_{m}}} .

Comme R et S sont tous les deux des multi-shifts sous-normaux, les multi-suites

(\frac{s_{I+1}^{0,1}}{s_{1}^{0,1}} )_{I≥0}, ⋯, (\frac{s_{I+β}^{0,1}}{s_{β_{1}}^{0,e_{1}} ⋯ s_{β_{m}}^{0,e_{m}}} )_{I≥0}, (\frac{r_{I+1}^{0,1}}{r_{1}^{0,1}} )_{I≥0}, ⋯, (\frac{r_{I+β}^{0,1}}{r_{β_{1}}^{0,e_{1}} ⋯ r_{β_{m}}^{0,e_{m}}} )_{I≥0} sont toutes des

multi-suites de moments de Stieltjes (voir le théorème 3.3.2 et la remarque 3.4.4 (1)). On applique alors la propriété du produit de Schur sur les suites de moments de Stieltjes pour conclure que (q_{I}^{0,1})_{I≥0} est une suite de moments de Stieltjes. Toujours par un procédé identique, on obtient qu’il en est de même pour (w_{I}^{0,1})_{I≥0} et donc le multi-opérateur W = (R_{1}^{∗β_{1}}S_{1}^{β_{1}}T_{1}, ⋯, R_{m}^{∗β_{m}}S_{m}^{β_{m}}T_{m}) est un multi-shift sousnormal.

cas 2) Supposons maintenant que W = (T_{1}R_{1}^{∗β_{1}}S_{1}^{β_{1}}, ⋯, T_{m}R_{m}^{∗β_{m}}S_{m}^{β_{m}}), W est un multi-shift à poids commutatif. Dans ce cas-ci, ces derniers valent :

(3.4.22)  w_{I}^{(j)} = s_{i_{j}}^{(j)} ⋯ s_{i_{j}+β_{j}−1}^{(j)}\overline{r_{i_{j}+β_{j}−1}^{(j)}} ⋯ \overline{r_{i_{j}}^{(j)}}t_{I}^{(j)}.

Quite à translater d’un indice, on est dans le premier cas.

3.4.19 Corollaire : Soient R et S deux multi-shifts à poids sous-normaux (sur un espace de Hilbert H) vérifiant la condition (⋄). Soit T un α-multi-shift à poids commutatif et sous-normal sur le même espace H. Alors pour tout multi-indice positif β, les multi-opérateurs R^{(∗αβ)}S^{(αβ)}T et T R^{(∗αβ)}S^{(αβ)} sont sous-normaux.

Démonstration. Soit H_{δ} l’espace de Hilbert engendré par les vecteurs (ξ_{δ+Mα})_{M≥0} (δ < α). On note par R_{δ}, S_{δ} et T_{δ} les restrictions de R^{(αβ)}, S^{(αβ)} et T^{(αβ)} respectivement à H_{δ}. On a :

(3.4.23)  R^{(αβ)} = ⨁_{0≤δ<α} R^{δ}, S^{(αβ)} = ⨁_{0≤δ<α} S^{δ}, T^{(αβ)} = ⨁_{0≤δ<α} T^{δ}.

R^{(α)} et S^{(α)} sont des α-multi-shifts, on utilise la même décomposition :

R^{(α)} = ⨁_{0≤δ<α} R̃_{δ} et S^{(α)} = ⨁_{0≤δ<α} S̃_{δ}.

De plus, les (R̃_{δ})_{δ} et les (S̃_{δ})_{δ} sont des 1-multi-shifts. On a également :

R̃_{δ}^{(β)} = R_{δ} et S̃_{δ}^{(β)} = S_{δ}.

Donc, on obtient l’égalité suivante :

(3.4.24)  R^{(∗αβ)}S^{(αβ)}T = ⨁_{0≤δ<α} R̃_{δ}^{(∗β)}S̃_{δ}^{(β)}T_{δ}.

Puis, on applique le théorème précédent 3.4.18 à chaque R̃_{δ}^{(∗β)}S̃_{δ}^{(β)}T_{δ} pour obtenir la sous-normalité de ces multi-opérateurs (le fait que R et S vérifient la condition (⋄) implique qu’il en est de même pour leurs restrictions aux espaces H_{δ}). Enfin, on conclut sur la sous-normalité de R^{(∗αβ)}S^{(αβ)}T en utilisant la proposition 3.4.15. C’est la même méthode pour les multi-opérateurs de la forme T R^{(∗αβ)}S^{(αβ)}.

Ce corollaire 3.4.19 peut, en fait, être vu comme une version multi-opératorielle du théorème 1 de [St-Sz4]. Il n’est pas possible d’obtenir les quatre types d’opérateurs (de l’énoncé du théorème 1 de [St-Sz4]) dans le cas multi-dimensionnel à cause de problèmes de commutativité.

3.4.20 Corollaire : Soient α, β et et δ des multi-indices plus grand que 1 tels que chaque δ_{i} divise β_{i} (i = 1, ⋯, m). Si R et S sont des α-multi-shifts à poids sousnormaux vérifiant (⋄), et si T est un α-multi-shift à poids commutatif et sous-normal, les multi-opérateurs R^{(∗β)}S^{(β)}T^{(δ)} et T^{(δ)}R^{(∗β)}S^{(β)} sont sous-normaux également.

Démonstration. On raisonne comme dans le corollaire précédent, soient H_{ε} les espaces de Hilbert engendrés par les vecteurs (ξ_{ε+Mα})_{M≥0} respectivement (0 ≤ ε < α). On note par R_{ε}, S_{ε} et T_{ε} les restrictions de R, S et T respectivement à H_{ε}. Ces restrictions sont des multi-shifts à poids. A nouveau, on a une représentation de la forme :

(3.4.25)  R = ⨁_{0≤ε<α} R^{ε}, S = ⨁_{0≤ε<α} S^{ε}, T = ⨁_{0≤ε<α} T^{ε}.

Dans ces conditions, sur H_{ε}, R_{ε} et S_{ε} sont des multi-shifts à poids et T_{ε}^{(δ)} est un δ-multi-shift à poids. Et on a les décompositions suivantes :

(3.4.26)  \{ \begin{matrix}R^{(∗β)}S^{(β)}T^{(δ)} = ⨁_{0≤ε<α} R_{ε}^{(∗β)}S_{ε}^{(β)}T_{ε}^{(δ)} \\ T^{(δ)}R^{(∗β)}S^{(β)} = ⨁_{0≤ε<α} T_{ε}^{(δ)}R_{ε}^{(∗β)}S_{ε}^{(β)} \end{matrix}

La condition (⋄) demandée dans l’hypothèse nous permet alors d’appliquer le corollaire précédent 3.4.19, d’autant plus que l’on a supposé que chaque δ_{i} divisait β_{i} (i = 1, ⋯, m). Enfin, on applique la proposition 3.4.15.

Ce résultat peut être vu comme une version multi-opératorielle du corollaire 1 de [St-Sz4].

Nous allons maintenant donner un exemple concret sur lequel tous ces résultats s’appliquent, c’est à dire un exemple de multi-shift à poids unilatéral qui vérifie la condition (⋄).

3.4.21 Exemple : On reprend l’exemple (le multi-shift de Création) 3.3.13. On a déjà remarqué que ce multi-opérateur était sous-normal. On peut en donner une autre démonstration. on commence par rappeler que cet opérateur est en fait un multi-shift à poids. Par les égalités 3.3.30, on obtient :

(3.4.27)  ||A^{N}f_{0}||^{2} = ||(\frac{−1}{\sqrt{2}})^{|N|}f_{N}||^{2} = p_{1}! ⋯ p_{m}!\sqrt{π}^{m}.

Or nous avons déjà remarqué que la multi-suite (p_{1}! ⋯ p_{m}!\sqrt{π}^{m})_{p_{1},···,p_{m}≥0} était une multi-suite de moments de Stieltjes grâce à la représentation 3.3.32. Et donc le multi-opérateur A est sous-normal par le théorème 3.4.3. De plus, comme

A_{j}(f_{P}) = (−1/\sqrt{2})f_{P +e_{j}},

le multi-opérateur A vérifie bien la condition (⋄) et donc on peut lui appliquer le théorème 3.4.18. Ceci implique que les multi-opérateurs A^{(∗β,β+1)} et AA^{(∗β,β)} sont sous-normaux (où les notations sont celles donnés par les formules (3.4.18) de la définition 3.4.17), pour tout multi-indice positif β. Enfin, le corollaire 3.4.19 nous permet d’affirmer que les multi-opérateurs A^{(∗αβ,αβ)}A^{(α)} et A^{(α)}A^{(∗αβ,αβ)} sont sousnormaux également, pour tout multi-indice positif β.

Partie III.5 Notions de minimalité d’extensions normales et relations spectrales

Dans la partie III-3, nous avons donné plusieurs critères de sous-normalité pour des multi-opérateurs non bornés. Après avoir utilisé ces critères pour les multi-shifts à poids, on va donner deux notions de minimalité (qui coïncident dans le cas borné mais pas dans le cas non borné, voir [St-Sz3] pour des exemples prouvant la différence). On montre, en particulier, que l’extension créée pour donner un critère de sous-normalité jointe au théorème 3.3.2 (ainsi qu’au corollaire 3.3.4) peut être vue comme minimale dans un certain sens. Dans toute cette partie, S = (S_{1}, ..., S_{m}) sera un multi-opérateur permutable sur un espace de Hilbert H (pour la définition de permutable, on peut se référer à l’article [Io-Vas]).

Soit K un espace de Hilbert et soit N un opérateur normal de mesure spectrale E. Soit M est un sous-espace vectoriel fermé de K. Alors on a l’équivalence (voir le théorème 13.33 de [Ru] ou l’exercice 3 p.1257 de [Du-Schw]) entre le fait que la projection orthogonale P_{M} de K sur M vérifie :

(3.5.1)  P_{M}N ⊂ NP_{M},

et le fait que la mesure spectrale commute avec cette projection orthogonale, ce qui revient à dire que l’on a :

(3.5.2)  P_{M}E(τ) = E(τ)P_{M}, ∀τ ∈ Bor(ℂ).

Si M vérifie l’une de ces conditions, il sera appelé � espace réduisant � l’opérateur N.

3.5.1 Définitions : Soit S = (S_{1}, ⋯, S_{m}) un multi-opérateur sous-normal dans H et soit N = (N_{1}, ⋯, N_{m}) une extension normale de S (définie dans l’espace de Hilbert K_{N}) ; N sera dite minimale de type spectral si le seul sous-espace fermé (contenant H) de K_{N} réduisant chaque N_{i} est K_{N} lui-même.

Si T est une autre extension normale de S, on dira que N et T sont deux extensions équivalentes modulo H et on notera N ≈ T mod(H) s’il existe une famille (U_{1}, ⋯, U_{m}) commutative d’opérateurs unitaires de K_{T} dans K_{N} telle que l’on ait :

(3.5.3)  \{ \begin{matrix}U_{i}x = x, & ∀x ∈ H. \\ U_{i}T_{i} = N_{i}U_{i}. \end{matrix}

Si on a U_{1} = ⋯ = U_{m} = U, on dira que les multi-opérateurs N et T sont égaux modulo H (on notera N = T mod(H)).

3.5.2 Remarque : Soit E la mesure spectrale jointe de l’extension normale N = (N_{1}, ⋯, N_{m}) de S. Posons :

(3.5.4)  H[N] = \overline{V ect\{E(σ)f, f ∈ H, σ ∈ Bor(ℂ^{m})\}}.

Alors, on a bien évidemment E(∗)H[N] ⊂ H[N]. De plus, si g ⊥ H[N], et si τ et σ sont des ensembles boréliens, on obtient pour tout vecteur f de H :

(3.5.5)  ⟨E(σ)f, E(τ)g⟩ = ⟨E(τ)E(σ)f, g⟩ = ⟨E(τ ∩ σ)f, g⟩ = 0.

Grâce à l’égalité précédente, on peut montrer que H[N] réduit le multi-opérateur normal N. En effet, si E_{i} est la mesure spectrale de l’opérateur N_{i} (i = 1, ⋯, m) et si f = f_{1} + f_{2} ∈ H[N] ⊕ H[N]^{⊥} on a pour tout borélien τ de ℂ :

P_{H[N]}E_{i}(τ)f = P_{H[N]}E(⋯ ℂ × τ × ℂ × ⋯)f

= P_{H[N]}E(⋯ ℂ × τ × ℂ × ⋯)f_{1} + P_{H[N]}E(⋯ ℂ × τ × ℂ × ⋯)f_{2}

= P_{H[N]}E(⋯ ℂ × τ × ℂ × ⋯)f_{1}
= E(⋯ ℂ × τ × ℂ × ⋯)f_{1} = E_{i}(τ)P_{H[N]}f,

où bien sûr P_{H[N]} est la projection orthogonale de K_{N} sur H[N]. Par conséquent, on en conclut que H[N] réduit le multi-opérateur N. On définit alors le multi-opérateur N_{S} = (N_{S,1}, ⋯, N_{S,m}) par :

(3.5.6)  N_{S,i}f = N_{i}f, ∀f ∈ D(N_{S,i}) = D(N_{i}) ∩ H[N].

On remarque que N_{S} est une extension de S.

3.5.3 Proposition : Soit S un multi-opérateur sous-normal dans un espace de Hilbert H. Soit N une extension normale de S dans K_{N} ⊃ H. Le multi-opérateur N_{S} est normal. En particulier, toute extension normale N est minimale de type spectral si et seulement si elle vérifie :

N_{S} = N.

Ceci implique que l’on ait : (N_{S})_{S} = N_{S}.

Démonstration. Soit P_{N} la projection orthogonale de K_{N} sur H[N]. On vient de remarquer que :

(3.5.7),  P_{N}E_{i}(∗) = E_{i}(∗)P_{N}, i = 1, ⋯, m

où les E_{1}, ⋯, E_{m} sont les mesures spectrales associées aux opérateurs normaux N_{1}, ⋯, N_{m}. On pose alors F (∗) = P_{N}E(∗)|_{H[N]} qui est une mesure spectrale. De plus, on a :

P_{N} ∫ z_{i}dE_{i}(z, \overline{z})x = N_{i}x = N_{S,i}x, ∀x ∈ D(N_{i}) ∩ H[N].

Donc, on obtient :

N_{S,i} = ∫ z_{i}dF (z, \overline{z}),

ce qui entraine que le multi-opérateur N_{S} est normal (et on a N_{S,i} ⊂ N_{i} pour i = 1, ⋯, m). Si N est minimal de type spectral, on a par (3.5.7) P_{N} = P_{K_{N}} . On en conclut que K_{N} = H[N], c’est-à-dire que N = N_{S}.

Si M est un espace fermé réduisant N, on a P_{M}E_{i} = E_{i}P_{M} (i = 1, ⋯, m). En particulier, pour tout vecteur f de H, on a P_{M}E_{i}(∗)f = E_{i}(∗)f. Donc pour tout borélien σ de ℂ^{m}, et pour tout f de H, on a P_{M}E(σ)f = E(σ)f, ce qui entraine que H[N] ⊂ M.

3.5.4 Lemme : Si N = T mod(H), alors pour tout borélien σ de ℂ^{m}, on a :

E_{T} (σ) = U^{−1}E_{N}(σ)U,

où U = U_{1} = ⋯ = U_{m} est donné par (3.5.3).

3.5.5 Proposition : Soit S un multi-opérateur sous-normal dans H. Supposons que N et T soient deux extensions normales de S, égales modulo H. Alors N est minimale de type spectral si et seulement si T l’est aussi.

Démonstration. Il faut et il suffit de montrer, grâce à la proposition 3.5.3, que N = N_{S} si et seulement si T = T_{S}. Si l’extension N est minimale, on a par (3.5.4) :

(3.5.8)  H[N] = \overline{V ect\{E_{N}(σ)f, f ∈ H, σ ∈ Bor(ℂ^{m})\}}

et D(N_{i}) = D(N_{i}) ∩ H[N]. Mais, on a :

(3.5.9)  \begin{aligned}H[T] & = \overline{V ect\{E_{T} (σ)f, f ∈ H, σ ∈ Bor(ℂ^{m})\}} \\ & = \overline{V ect\{U^{−1}E_{N}(σ)Uf, f ∈ H, σ ∈ Bor(ℂ^{m})\}} \\ & = \overline{V ect\{U^{−1}E_{N}(σ)f, f ∈ H, σ ∈ Bor(ℂ^{m})\}} = U^{−1}H[N], \end{aligned}

car l’opérateur U^{−1} est borné inversible. De plus, comme UT_{i} = N_{i}U, on en déduit D(T_{i}) = U^{−1}(D(N_{i})). On obtient alors :

(3.5.10) \begin{aligned}D(T_{i}) ∩ H[T] & = U^{−1}(D(N_{i})) ∩ U^{−1}(H[N]) = U^{−1}(D(N_{i}) ∩ H[N]) \\ & = U^{−1}(D(N_{i})) = D(T_{i}). \end{aligned}

Et donc, on obtient que T = T_{S}.

On vient de donner une première définition de minimalité grâce aux projections spectrales. Il existe une autre méthode (dans le cas borné) pour définir la minimalité des extensions normales : on prend les itérés de l’adjoint d’une extension normale. Dans le cas non borné, ces deux notions ne coïncident pas, comme le prouvent Stochel et Szafraniec pour le cas d’un seul multi-opérateur (voir dans [St-Sz3] l’exemple 1 et la remarque en bas de la page 114).

3.5.6 Définition : Soit S un multi-opérateur de H. Soit D un sous-espace dense d’un espace de Hilbert H tel que D ⊂ D(S_{1}) ∩ ⋯ ∩ D(S_{m}) et tel que D soit invariant par chaque S_{j} (j = 1, ⋯, m) et tel que S|_{D} soit sous-normal. Soit N une extension normale de S|_{D}. On pose :

(3.5.11)  H_{▲}(N) = \overline{V ect\{N^{∗α}x, x ∈ D, α ≥ 0\}}.

On notera par V_{N} l’espace vectoriel V ect{N^{∗α}x, x ∈ D, α ≥ 0}. On peut noter que les propriétés supposées pour D impliquent que D ⊂ D^{∞}(N). En particulier, on peut bien faire agir les itérés des adjoints (N_{1}^{∗}, ⋯, N_{m}^{∗}) sur l’espace vectoriel D puisque :

D(N^{∗α}) = \{x tel que ∫ |\overline{z}^{α}|^{2}⟨dE(z, \overline{z})x, x⟩ < ∞\} = D(N^{α}) ⊃ D.

En accord avec la définition donnée par Stochel et Szafraniec pour un seul opérateur, on définit le multi-opérateur N_{▲} = (N_{▲,1}, ⋯, N_{▲,m}) en posant :

(3.5.12)  N_{▲,j} = (N_{j}|_{V_{N}} )^{−}, j = 1, ⋯, m.

En accord avec la dénomination donnée par Stochel et Szafraniec, le multiopérateur N_{▲} = (N_{▲,1}, ⋯, N_{▲,m}) sera appelé extension Minimale de Type Cyclique associée à l’extension normale N, ou plus simplement MT C-extension.

3.5.7 Propriété : Soit S|_{D} = (S_{1}|_{D}, ⋯, S_{m}|_{D}) un multi-opérateur sous-normal, où D est un sous-espace dense invariant par les S_{i} (i = 1, ⋯, m). Supposons que S|_{D} admette une MT C-extension normale N_{▲} associée à une extension normale N de S. Alors, on a :

H_{▲}(N) = H_{▲}(N_{▲}).

Ceci entraîne en particulier l’égalité (N_{▲})_{▲} = N_{▲}.

Démonstration. On sait que si T est un opérateur normal dans H et si R est une extension normale de T, on a T^{∗} = R^{∗}|_{D(T)} (voir le lemme 4.2 de [Vas3]). Donc, pour tout x ∈ D ⊂ D(N_{▲,j}), on a N_{▲}^{∗α}x = N^{∗α}x; ce qui implique le résultat demandé.

3.5.8 Proposition : Soit S|_{D} = (S_{1}|_{D}, ⋯, S_{m}|_{D}) un multi-opérateur sous-normal, où D est un sous-espace dense invariant par les S_{i} (i = 1, ⋯, m). Alors S admet une MTC-extension sous-normale.

Démonstration. Soit N une extension normale de S et soit N_{▲} = (N_{▲,1}, ⋯, N_{▲,m}) sa MT C-extension associée. On a N_{▲,j} ⊂ N_{j} (j = 1, ⋯, m) donc N_{▲} est également sous-normal.

3.5.9 Remarque : Soient N_{▲}^{(a)} et N_{▲}^{(b)} deux MT C-extensions associées aux extensions normales N_{a} et N_{b} de S|_{D}, respectivement (où D vérifie les conditions de la définition 3.5.6). Alors, on peut relier N_{▲}^{(a)} et N_{▲}^{(b)}. Pour ce faire, on définit l’opérateur U par :

U : \{ \begin{matrix}H_{▲}(N_{a}) & → & H_{▲}(N_{b}) \\ N_{a}^{∗α}x & → & N_{b}^{∗α}x \end{matrix}

On peut vérifier que U est une isométrie. En effet, si (x_{α})_{α} est une multi-suite finie d’éléments de D, on a :

(3.5.13)  || ∑_{α≥0} N_{a}^{∗α}x_{α}||^{2} = ∑_{α,β≥0}⟨N_{a}^{∗α}x_{α}, N_{a}^{∗β}x_{β}⟩ = ∑_{α,β≥0}⟨N_{a}^{β}x_{α}, N_{a}^{α}x_{β}⟩.

On en déduit que cette expression n’est autre que :

(3.5.14)  ∑_{α,β≥0}⟨S^{β}x_{α}, S^{α}x_{β}⟩ = || ∑_{α≥0} N_{b}^{∗α}x_{α}||^{2},

par un calcul similaire. On prolonge alors U à H_{▲}(N_{a}) tout entier par continuité. On en déduit que U est un opérateur unitaire de H_{▲}(N_{a}) sur H_{▲}(N_{b}). Nous allons maintenant prouver que les deux multi-opérateurs N_{▲}^{(a)} et N_{▲}^{(b)} sont égaux modulo H. On commence par remarquer que U|_{H} est l’identité sur H grâce à la densité de D. Soit maintenant un vecteur x ∈ D(N_{a,i}) ∩ V ect{N_{a}^{∗α}x_{α}), α ≥ 0, x_{α} ∈ D}. On a alors :

\begin{aligned}UN_{a,i}x & = UN_{a,i} ∑_{α≥0} N_{a}^{∗α}x_{α} = U ∑_{α≥0} N_{a}^{∗α}S_{i}x_{α} \\ & = U ∑_{α≥0} N_{a}^{∗α}N_{b,i}x_{α} = ∑_{α≥0} N_{b}^{∗α}N_{b,i}x_{α} = N_{b,i}Ux. \end{aligned}

Maintenant si x ∈ D(N_{a,i})∩H_{▲}(N_{a}), il existe une suite (x_{n})_{n} dans D(N_{a,i})∩V ect{N_{a}^{∗α}x_{α}), α ≥ 0, x_{α} ∈ D} telle que x_{n} → x et N_{a,i}x_{n} → N_{a,i}x. Par continuité, on a UN_{a,i}x_{n} → UN_{a,i}x. Or on vient de prouver que UN_{a,i}x_{n} = N_{b,i}Ux_{n}. Donc les couples (Ux_{n}, N_{b,i}Ux_{n})_{n} sont dans le graphe de l’opérateur N_{b,i} et convergent vers (Ux, UN_{a,i}x). Comme cet opérateur est fermé, il en découle que Ux ∈ D(N_{b,i}) et UN_{a,i}x = N_{b,i}Ux, ce qui n’est autre que l’inclusion UN_{a,i} ⊂ N_{b,i}U. Pour l’inclusion inverse, c’est exactement la même technique qui s’applique.

On en déduit que deux MT C-extensions (sous-normales) d’un multi-opérateur S|_{D} sont égales modulo H.

3.5.10 Théorème : Soit S|_{D} = (S_{1}|_{D}, ⋯, S_{m}|_{D}) un multi-opérateur sous-normal, où D est un sous-espace dense invariant par les S_{i} (i = 1, ⋯, m). Supposons que S|_{D} admette une MT C-extension normale. Alors toute extension normale de S|_{D} est minimale de type spectral si et seulement si elle l’est de type cyclique.

Démonstration. Soit N_{▲} une MT C-extension de S|_{D} dans H_{▲}(N) associée à l’extension normale N. Montrons que cette extension est minimale de type cyclique. Par la remarque 3.5.9, on sait que deux MT C-extensions sont égales modulo H. Donc si l’une est normale l’autre l’est également. Il s’en suit que N_{▲} est un multi-opérateur normal. Soit E la mesure spectrale de ce multi-opérateur et soit (N_{▲})_{S} son extension minimale de type spectral associée. Grâce à la proposition 3.5.7, on sait que H_{▲}(N) = H_{▲}(N_{▲}). On a l’inclusion :

H[N_{▲}] ⊂ \overline{D(N_{▲})} ⊂ H_{▲}(N).

En effet, H[N_{▲}] est engendré par les vecteurs de la forme E(∗)f avec f ∈ H et comme D est dense dans H et que E(∗) sont des projections, on peut trouver une suite de D(N_{▲}) qui converge vers E(∗)f. La seconde inclusion découle directement de la proposition 3.5.7. Soit g ∈ H_{▲}(N_{▲}) ∩ H[N_{▲}]^{⊥} et soit f ∈ D, on a pour tout ensemble borélien σ de ℂ^{m} E(σ)f ∈ H[N_{▲}]. Donc, on a ⟨E(σ)f, g⟩ = 0. Ceci entraîne :

(3.5.15)  ⟨N_{▲}^{∗α}f, g⟩ = lim_{M→∞} ∫_{∩\{|z_{j}|<M\}} \overline{z}^{α}d⟨E(z)f, g⟩ = 0.

(on peut approximer la fontion z → \overline{z}^{α} par des fonctions en escalier). Donc g est orthogonal à l’espace H_{▲}(N_{▲}) et donc g = 0 par la proposition 3.5.7. Par conséquent, on a H_{▲}(N_{▲}) = H[N_{▲}], d’où l’égalité N_{▲} = (N_{▲})_{S}. Ceci signifie que N_{▲} est un multiopérateur minimal de type spectral.

Inversement, si T est une extension normale minimale de type spectral, soit T_{▲} la MT C-extension sous-normale associée à T. Alors, par la remarque précédente 3.5.9, on sait que T_{▲} est normal (toutes les MT C-extensions sont égales modulo H et l’une d’elle est normale par hypothèse). Bien évidemment H ⊂ H_{▲}(T), montrons que H_{▲}(T) réduit T. Soit F la mesure spectrale de T. Alors, on a :

F (τ) ∑_{α≥0} T^{∗α}x_{α} = ∑_{α≥0} ∫_{τ} \overline{z}^{α}dF (z, \overline{z})x_{α} = ∑_{α≥0} T^{∗α}F (τ)x_{α} ∈ H_{▲}(T),

voir [Du-Schw] page 1199, corollaire 7(d). Or on a F (τ)x_{α} ∈ H car H ⊂ H_{▲}(T) et F (τ) est une projection orthogonale. Si g ⊥ H_{▲}(T), on obtient :

⟨∑_{α≥0} T^{∗α}x_{α}, F (τ)g⟩ = ⟨∑_{α≥0} T^{∗α}F (τ)x_{α}, g⟩ = 0.

Comme pour la proposition 3.5.3, on en conclut que H_{▲}(T) réduit T. Par minimalité (de type spectral), on en conclut que H_{▲}(T) = H[T_{▲}] et donc T est minimal de type cyclique.

3.5.11 Corollaire : Soit S|_{D} = (S_{1}|_{D}, ⋯, S_{m}|_{D}) un multi-opérateur sous-normal, où D est un sous-espace dense invariant par les S_{i} (i = 1, ⋯, m). Si S|_{D} a au moins une MT C-extension normale, toutes les extensions minimales de type spectrales sont égales modulo H.

Démonstration. En effet, dans ces conditions, minimalité de type cyclique et de type spectral coïncident. Or nous savons que deux extensions minimales de type cyclique sont égales modulo H, ce qui prouve le corollaire.

Toujours en supposant que S|_{D} admette une MT C-extension normale (qui est, d’après le théorème 3.5.10, minimale de type spectrale) associée à l’opérateur normal N, on peut donner explicitement l’extension minimale en fonction de la mesure spectrale jointe de N. En fait, on montre que cette extension n’est rien d’autre que celle construite pour donner les conditions de sous-normalité dans la section III-3 (voir le théorème 3.3.2 et le corollaire 3.3.4).

3.5.12 Proposition : Soit S|_{D} = (S_{1}|_{D}, ⋯, S_{m}|_{D}) un multi-opérateur sous-normal, où D est un sous-espace dense invariant par les S_{i} (i = 1, ⋯, m). Supposons que S|_{D} admette une MT C-extension normale associée à un multi-opérateur normal. Alors l’extension minimale est formée par les fermetures canoniques des multiplications par z_{1}, ⋯, z_{m} dans F ⊗ D.

Démonstration. Si S|_{D} = (S_{1}|_{D}, ⋯, S_{m}|_{D}) est sous-normal, Soit N une extension normale de S. On note par H_{A} l’adhérence de l’espace vectoriel engendré par les éléments de la forme :

(3.5.16)  ∫_{ℂ^{m}} \frac{\overline{z}^{α}z^{β}}{(1 + |z|^{2})^{δ}} dE(\overline{z}, z)x, ∀x ∈ D.

Bien évidemment H_{▲}(N) est inclus dans H_{A}. De plus, les fonctions (1+|z|^{2})^{−δ} sont des fonctions continues bornées donc elles sont limites uniformes de fonctions en escalier. Donc les éléments de la forme ∫_{ℂ^{m}} \frac{1}{(1+|z|^{2})^{δ}} dE(\overline{z}, z)x (avec x ∈ D) sont dans H_{▲}(N) = H[N]. On en déduit que :

(3.5.17) ∫_{ℂ^{m}} \frac{\overline{z}^{α}z^{β}}{(1 + |z|^{2})^{δ}} dE(\overline{z}, z)x = ∫_{ℂ^{m}} \overline{z}^{α}z^{β}dE(\overline{z}, z) ∫_{ℂ^{m}}(1 + |z|^{2})^{−δ}dE(\overline{z}, z)x,

est dans H_{▲}(N) = H[N] ; ceci revient à dire que H_{A} ⊂ H_{▲}(N) = H[N]. On identifie enfin ∫ f(z)dE(\overline{z}, z)x avec f ⊗ x et N_{j}(1 ⊗ x) = S_{j}x pour obtenir le résultat désiré (voir la démonstration du théorème 3.3.2).

Toute la fin de cette partie sera dédiée aux liens qui existent entre le spectre joint de S et d’une extension minimale de type spectrale (ou de type cyclique). Certaines affirmations sont évidentes mais afin d’être complet, on les rappellera tout de même. Pour ce faire, on commence par rappeler quelques définitions.

Spectre ponctuel σ_{p} : On rappelle que λ = (λ_{1}, ⋯, λ_{m}) ∈ ℂ^{m} est dite valeur propre de S = (S_{1}, ⋯, S_{m}) s’il existe un vecteur f (non nul) de H tel que S_{i}f = λ_{i}f pour tout i dans {1, ⋯, m}. Notons par σ_{p}(S) l’ensemble de toutes les valeurs propres de S (i.e., le spectre ponctuel de S). Alors, avec les notations précédentes, nous avons de façon triviale :

(3.5.18)  σ_{p}(S) ⊂ σ_{p}(N_{S}) ⊂ σ_{p}(N).

Bien sûr, on a également les inclusions σ_{p}(S) ⊂ σ_{p}(N_{▲}) ⊂ σ_{p}(N).

3.5.13 Proposition : Soit S un multi-opérateur sous-normal tel que ∩_{i=1}^{m}D(S_{i}) soit dense dans H. Soit N une extension normale de S. Si N_{S} est l’extension minimale de type spectral associée à N, nous avons :

λ ∈ σ_{p}(N_{S}) ⟹ \overline{λ} ∈ σ_{p}(S^{∗}).

Démonstration. Supposons que λ ∉ σ_{p}(S^{∗}), on a alors ∩_{i=1}^{m}Ker(S_{i}^{∗} − λ_{i}) = {0}. Soit g ∈ ∩_{i=1}^{n}D(S_{i}). Si E est la mesure spectrale de N_{S} et P est la projection orthogonale de H[N] sur H, bien évidemment, on a :

(3.5.19)  \begin{aligned}(N_{S,i}^{∗} − λ_{i})E(\{\overline{λ}\}) & = ∫_{ℂ^{m}}(\overline{z_{i}} − λ_{i})dE(\overline{z}, z) ∫_{\{z=\overline{λ}\}} 1dE(\overline{z}, z) \\ & = ∫_{\{z=\overline{λ}\}}(\overline{z_{i}} − λ_{i})dE(\overline{z}, z) = 0. \end{aligned}

Donc, pour tout f ∈ H[N] et pour tout g ∈ D(S_{i}) (i = 1, ⋯, m), on obtient :

0 = ⟨(N_{S,i}^{∗} − λ_{i})E(\{\overline{λ}\})f, g⟩ = ⟨P E(\{\overline{λ}\})f, (N_{S,i} − \overline{λ_{i}})g⟩ = ⟨P E(\{\overline{λ}\})f, (S_{i} − \overline{λ_{i}})g⟩.

Donc la forme ϕ(g) = ⟨P E(\{\overline{λ}\})f, (S_{i} − \overline{λ_{i}})g⟩ est continue sur D(S_{i}), ce qui entraine que P E(\{\overline{λ}\})f ∈ D(S_{i}^{∗}) et on a de plus :

⟨(S_{i}^{∗} − λ_{i})P E(\{\overline{λ}\})f, g⟩ = 0.

Par densité, on obtient que (S_{i}^{∗} − λ_{i})P E(\{\overline{λ}\})f est nul. Comme nous avons supposé que ∩_{i=1}^{m}Ker(S_{i}^{∗}−λ_{i}) = \{0\}, on en déduit que P E(\{\overline{λ}\})f = 0, pour tout f ∈ H[N]. En conclusion, la projection P E(\{\overline{λ}\}) est nulle. Comme P et E(\{\overline{λ}\}) sont deux projections orthogonales, il en découle que E(\{\overline{λ}\})P = 0. Par conséquent, pour tout f ∈ H, on a :

f = E(ℂ^{m})f = E(\{\overline{λ}\})f + E(ℂ^{m} − \{\overline{λ}\})f = E(\{\overline{λ}\})P f + E(ℂ^{m} − \{\overline{λ}\})f,

car H est inclus dans H[N]. On en déduit que :

(3.5.20)  f = E(ℂ^{m} − \{\overline{λ}\})f, ∀f ∈ H,

en particulier H ⊂ E(ℂ^{m} − \{\overline{λ}\})H[N]. De plus cet espace réduit N_{S} (c’est le même calcul qu’au (3.5.5)). Par minimalité, on en déduit que E(ℂ^{m} − \{\overline{λ}\})H[N] = H[N]. Ceci entraîne que E(\{\overline{λ}\}) = 0. Si \overline{λ} était valeur propre associé au vecteur f ≠ 0, on aurait, pour tout i = 1, ⋯, m, E_{i}(\overline{λ_{i}})f = f et donc :

0 = E(\{\overline{λ}\})f = E_{1}(\{\overline{λ_{1}}\}) ⋯ E_{m}(\{\overline{λ_{m}}\})f = f.

Ceci est impossible, ce qui revient à dire que \overline{λ} ∉ σ_{p}(N_{S}).

Spectre joint d’approximation σ_{π} : On dira que λ = (λ_{1}, ⋯, λ_{m}) est dans le spectre joint d’approximation de S (noté σ_{π}(S)) s’il existe une suite de vecteurs (f_{p}) dans D(S_{1}) ∩ ⋯ ∩ D(S_{m}) de normes 1 telle que :

(3.5.21)  ||(S_{i} − λ_{i})f_{p}|| → 0, i = 1, ⋯, m.

Si N est une extension normale de S, on a ||(S_{i} − λ_{i})f_{p}|| = ||(N_{i} − λ_{i})f_{p}|| pour tout entier i = 1, ⋯, m. Donc on a l’inclusion suivante :

(3.5.22)  σ_{π}(S) ⊂ σ_{π}(N_{S}) ⊂ σ_{π}(N).

Spectre joint de compression σ_{ρ} : On dira que λ = (λ_{1}, ⋯, λ_{m}) est dans le spectre joint de compression de S (noté σ_{ρ}(S)) s’il existe une suite de vecteurs (f_{p}) dans D(S_{1}^{∗}) ∩ ⋯ ∩ D(S_{m}^{∗}) de normes 1 telle que :

(3.5.23)  ||(S_{i} − λ_{i})^{∗}f_{p}|| → 0, i = 1, ⋯, m.

En fait, nous avons σ_{ρ}(S) qui est le conjugué de σ_{π}(S^{∗}). Si N est une extension normale de S, on a :

(3.5.24)  ||(N_{i} − λ_{i})f_{p}|| = ||(N_{i} − λ_{i})^{∗}f_{p}||,

pour tout entier i = 1, ⋯, m. De plus, l’égalité S_{i}^{∗} ⊃ P_{H}N_{i}^{∗}|_{H} implique :

(3.5.25)  ||(N_{i} − λ_{i})^{∗}f_{p}|| ≥ ||(S_{i} − λ_{i})^{∗}f_{p}||, ∀f_{p} ∈ H ∩ D(N_{i}^{∗}).

Pour les opérateurs normaux, on a :

(3.5.26)  σ_{ρ}(N_{S}) = σ_{π}(N_{S}) et σ_{ρ}(N) = σ_{π}(N).

Spectre joint de Taylor et de Dash : Notre but est de donner des relations entre un multi-opérateur sous-normal et son extension normale. Or, on sait que tout multi-opérateur sous-normal est permutable (voir [Io-Vas]). Nous utiliserons donc la définition du spectre joint donné dans [Io-Vas] pour de tels opérateurs (définition qui étend la notion de Taylor, voir [Tay]). Nous nous limiterons au cas de deux opérateurs. On commence par quelques rappels. On a la suite :

(3.5.27)  \begin{aligned}& δ_{s,λ}^{0} & & δ_{s,λ}^{1} \\ 0 ⟶ X_{s}^{0} & ⟶ & X_{s}^{1} & ⟶ & X_{s}^{2} ⟶ 0. \end{aligned}

où X_{s}^{0} = D(S_{1}S_{2}) ∩ D(S_{2}S_{1}), X_{s}^{1} = D(S_{2}) ⊕ D(S_{1}) et X_{s}^{2} = H; et on définit les opérateurs δ_{s,λ}^{0} et δ_{s,λ}^{1} par :

(3.5.28)  δ_{s,λ}^{0} \{ \begin{matrix}X_{s}^{0} & → & X_{s}^{1} \\ x & ↦ & (S_{1} − λ_{1})x ⊕ (S_{2} − λ_{2})x \end{matrix}

(3.5.29)  δ_{s,λ}^{1} \{ \begin{matrix}X_{s}^{1} & → & H \\ x_{2} ⊕ x_{1} & ↦ & (S_{1} − λ_{1})x_{1} − (S_{2} − λ_{2})x_{2} \end{matrix}

On définit alors le spectre de Taylor de S (noté σ_{T} (S)) par l’ensemble des couples (λ_{1}, λ_{2}) dans la sphère de Riemann ℂ̂ = ℂ ∪ {∞} tels que la suite (3.5.27) ne soit pas exacte (voir les notations dans [Io-Vas], en particulier on pose S_{j} − ∞ = I). On dira, dans ce cas, que l’opérateur (S − λ) est singulier. On rappelle que σ_{T} (S) est un compact dans ℂ̂×ℂ̂. Enfin, on notera par σ_{ℂ}(S) l’ensemble σ_{T} (S)∩ℂ^{2}. On definit ρ(S) comme l’ensemble des couples (λ_{1}, λ_{2}) tels qu’il existe des éléments B_{1} et B_{2} bornés vérifiant B_{i}S_{j} ⊂ S_{j}B_{i}, B_{i}B_{j} = B_{j}B_{i} et :

(3.5.30)  B_{1}(S_{1} − λ_{1}) + B_{2}(S_{2} − λ_{2}) = I sur D(S_{1}) ∩ D(S_{2}).

Alors, le spectre joint de Dash sera l’ensemble Sp_{D}(S) = ℂ × ℂ \ ρ(S) (voir [D], en fait dans le cas borné, on définit le spectre de Dash comme étant les λ vérifiant (3.5.30) où les (B_{i})_{i} sont dans le bi-commutant de S). Nous avons donné la définition de Sp_{D}(S) dans le cas de bi-opérateurs car plusieurs propriétés seront données pour des couples d’opérateurs. Mais, bien sûr, on peut donner cette même définition dans le cas de m-uplet. Une première remarque est que, dans ce cas, Sp_{D}(S) ⊂ ℂ^{m}. Nous utiliserons une méthode bien connue dans le théorème suivant (voir [Hal2] et [Con] pour le cas borné ainsi que [MDS] et [St-Sz3] pour l’utilisation de cette méthode dans le cas non borné) :

3.5.14 Théorème : Soit S|_{D} un multi-opérateur sous-normal tel que D ⊂ ∩_{i=1}^{m}D(S_{i}) soit dense dans H et invariant par les S_{i} (i = 1, ⋯, m). Soit N une extension normale de S. Si N_{S} est l’extension minimale de type spectrale associée à N, nous avons :

Sp_{D}(N_{S}) ⊂ Sp_{D}(S).

Démonstration. Montrons que ρ(S) ⊂ ρ(N_{S}). Il suffit de montrer que si 0 ∈ ρ(S) alors 0 ∈ ρ(N_{S}). Soit E_{N_{S}} la mesure spectrale associée à l’opérateur normal N_{S}. Il existe des opérateurs bornés (vérifiant la condition de commutativité) tels que ∑_{i=1}^{m} B_{i}S_{i} = I sur ∩_{i=1}^{m}D(S_{i}). Pour tout couple (h, f) dans K_{N_{S}} × D, on a : (3.5.31)

|⟨h, f⟩| = |⟨h, (∑_{i=1}^{m} B_{i}S_{i})^{p}f⟩| = |⟨h, ∑_{i_{1},···,i_{p}} B_{i_{1}}S_{i_{1}} ⋯ B_{i_{p}}S_{i_{p}}f⟩|

= | ∑_{i_{1},···,i_{p}}⟨h, S_{i_{1}} ⋯ S_{i_{p}}B_{i_{1}} ⋯ B_{i_{p}}f⟩| = | ∑_{i_{1},···,i_{p}}⟨N_{S,i_{p}}^{∗} ⋯ N_{S,i_{1}}^{∗}h, B_{i_{1}} ⋯ B_{i_{p}}f⟩|

≤ ∑_{k_{1}+···+k_{m}=p} \frac{p!}{k_{1}! ⋯ k_{m}!}||N_{S,i_{p}}^{∗} ⋯ N_{S,i_{1}}^{∗}h||.||B_{1}||^{k_{1}} ⋯ ||B_{m}||^{k_{m}}||f||.

Soit ε_{i} > 0 et soit Δ_{ε} le polydisque de centre 0 et de multi-rayon (ε_{1}, ⋯, ε_{m}). Si h ∈ E_{N_{S}}(Δ_{ε})K_{N_{S}}, on a :

\begin{aligned}|⟨h, f⟩| & ≤ ∑_{k_{1}+···+k_{m}=p} \frac{p!}{k_{1}! ⋯ k_{m}!}[ ∫ |z_{1}^{2k_{1}} ⋯ z_{m}^{2k_{m}}|d⟨E_{N_{S}}(λ)h, h⟩]^{1/2} \\ & ||B_{1}||^{k_{1}} ⋯ ||B_{m}||^{k_{m}}||f||. \end{aligned}

Donc, on obtient :

(3.5.32) \begin{aligned}|⟨h, f⟩| & ≤ ∑_{k_{1}+···+k_{m}=p} \frac{p!}{k_{1}! ⋯ k_{m}!}ε_{1}^{k_{1}} ⋯ ε_{m}^{k_{m}}||B_{1}||^{k_{1}} ⋯ ||B_{m}||^{k_{m}}||f|| ||h|| \\ & ≤ ||f||(ε_{1}||B_{1}|| + ⋯ + ε_{m}||B_{m}||)^{p} ||h||. \end{aligned}

Il suffit de prendre (ε_{1}, ⋯, ε_{m}) tel que ε_{1}||B_{1}|| + ⋯ + ε_{m}||B_{m}|| < 1 et on obtient par passage à la limite sur p que ⟨h, f⟩ = 0 pour tout h dans E_{N_{S}}(Δ_{ε})K_{N_{S}}. Donc, par densité, on a l’inclusion H ⊂ E_{N_{S}}(ℂ^{m}\Δ_{ε})K_{N_{S}}. De plus, il est clair que E_{N_{S}}(ℂ^{m}\Δ_{ε})K_{N_{S}} réduit E_{N_{S}}. Par minimalité, nous obtenons que E_{N_{S}}(ℂ^{m}\Δ_{ε})K_{N_{S}} = K_{N_{S}}. Enfin pour prouver que 0 ∉ Sp_{D}(N_{S}), il suffit de construire les opérateurs bornés de l’égalité (3.5.30). Dans ces conditions, on pose les opérateurs pour tout i = 1, ⋯, m :

(3.5.33)  C_{i} = ∫_{ℂ^{m}\Δ_{ε}} \frac{\overline{z_{i}}}{|z_{1}|^{2} + ⋯ + |z_{m}|^{2}} dE_{N_{S}}(\overline{z}, z).

On vérifie alors que l’on a :

(3.5.34) ∑_{i=1}^{m} C_{i}N_{S,i} = ∑_{i=1}^{m} ∫_{ℂ^{m}\Δ_{ε}} \frac{\overline{z_{i}}z_{i}}{|z_{1}|^{2} + ⋯ + |z_{m}|^{2}} dE_{N_{S}}(\overline{z}, z) = E_{N_{S}}(ℂ^{m}\Δ_{ε}),

qui est l’identité sur K_{N_{S}} et donc sur H. De plus, on vérifie pour tout couple (i, j) ∈ {1, ⋯, m}^{2} :

(3.5.35)  C_{i}N_{S,j} = N_{S,j}C_{i} = ∫_{ℂ^{m}\Δ_{ε}} \frac{\overline{z_{i}}z_{j}}{|z_{1}|^{2} + ⋯ + |z_{m}|^{2}} dE_{N_{S}}(\overline{z}, z).

Enfin pour la continuité des opérateurs (C_{i})_{i=1,···,m} : (3.5.36)

||C_{i}|| = || ∫_{ℂ^{m}\Δ_{ε}} \frac{\overline{z_{i}}}{|z_{1}|^{2} + ⋯ + |z_{m}|^{2}} dE_{N_{S}}(\overline{z}, z)|| ≤ || ∫_{ℂ^{m}\Δ_{ε}} \frac{1}{z_{i}} dE_{N_{S}}(\overline{z}, z)|| ≤ \frac{1}{ε_{i}} .

Enfin la commutativité des opérateurs (C_{i})_{i} provient directement des propriétes du calcul fonctionnel.

De la suite exacte (3.5.27), on peut donner les adjoints des opérateurs (3.5.28) et (3.5.29) :

δ_{s,λ}^{0∗} \{ \begin{matrix}D(S_{1}^{∗}) ⊕ D(S_{2}^{∗}) & → & H \\ x_{1} ⊕ x_{2} & ↦ & (S_{1} − λ_{1})^{∗}x_{1} + (S_{2} − λ_{2})^{∗}x_{2} \end{matrix}

et

δ_{s,λ}^{1∗} \{ \begin{matrix}D(S_{1}^{∗}) ∩ D(S_{2}^{∗}) & → & H ⊕ H \\ x & ↦ & −(S_{2} − λ_{2})^{∗}x ⊕ (S_{1} − λ_{1})^{∗}x \end{matrix}

Nous appliquons maintenant une méthode due à F.-H. Vasilescu (dans [Vas]) pour le cas des opérateurs bornés pour obtenir le lemme suivant :

3.5.15 Lemme : Soit (S_{1}, S_{2}) un bi-opérateur permutable tel que (S − λ) = (S_{1} − λ_{1}, S_{2} − λ_{2}) est non singulier sur H. Alors les opérateurs C = (S_{1} − λ_{1})(S_{1} − λ_{1})^{∗} + (S_{2} − λ_{2})(S_{2} − λ_{2})^{∗} et D = (S_{1} − λ_{1})^{∗}(S_{1} − λ_{1}) + (S_{2} − λ_{2})^{∗}(S_{2} − λ_{2}) sont des bijections fermées de D(S_{1}S_{1}^{∗}) ∩ D(S_{2}S_{2}^{∗}) sur H (respectivement de D(S_{1}^{∗}S_{1}) ∩ D(S_{2}^{∗}S_{2}) sur H).

Démonstration. Il suffit de prouver le lemme pour C. Supposons qu’il existe un x ∈ D(S_{1}S_{1}^{∗})∩D(S_{2}S_{2}^{∗}) tel que Cx = 0. Alors, on obtient :

−(S_{2} − λ_{2})^{∗}x ⊕ (S_{1} − λ_{1})^{∗}x ∈ Ker(δ_{s,λ}^{1}) = Im(δ_{s,λ}^{1∗})^{⊥}.

Mais on a également −(S_{2} − λ_{2})^{∗}x ⊕ (S_{1} − λ_{1})^{∗}x ∈ Im(δ_{s,λ}^{1∗}). On en déduit que −(S_{2} − λ_{2})^{∗}x ⊕ (S_{1} − λ_{1})^{∗}x = 0. Donc, on a :

(3.5.37)  (S_{2} − λ_{2})^{∗}x = (S_{1} − λ_{1})^{∗}x = 0.

Ceci implique que x ∈ Ker(δ_{s,λ}^{1∗}) = Im(δ_{s,λ}^{1})^{⊥} = {0}, d’où l’injectivité de l’opérateur C. Supposons maintenant que y ∈ H; comme

(3.5.38)  δ_{s,λ}^{1} : [D(S_{2}) ⊕ D(S_{1})] ∩ Ker(δ_{s,λ}^{1})^{⊥} → H

est un isomorphisme puisque la suite (3.5.27) est exacte, il existe y_{2} ⊕ y_{1} tel que y = δ_{s,λ}^{1}(y_{2} ⊕ y_{1}). Comme y_{2} ⊕ y_{1} est dans Ker(δ_{s,λ}^{1})^{⊥} = Im(δ_{s,λ}^{1∗}), il existe x dans D(S_{1}S_{1}^{∗}) ∩ D(S_{2}S_{2}^{∗}) tel que l’on ait :

(3.5.39)  y = (S_{1} − λ_{1})(S_{1} − λ_{1})^{∗}x + (S_{2} − λ_{2})(S_{2} − λ_{2})^{∗}x = Cx.

Enfin C est fermé car il admet un inverse borné.

3.5.16 Remarque : C et D sont donc deux opérateurs fermés, injectifs et à images fermées (H tout entier) ; donc C^{−1} et D^{−1} existent en tant qu’opérateurs continus sur H.

3.5.17 Proposition : Si (S_{1}, S_{2}) un bi-opérateur permutable tel que S_{i}(D(S_{i})) ⊂ D(S_{i}^{∗}), (i = 1, 2) nous avons l’inclusion suivante :

σ_{π}(S) ∪ σ_{ρ}(S) ⊂ σ_{ℂ}(S).

Démonstration. Si (λ_{1}, λ_{2}) ∉ σ_{ℂ}(S) est un couple de ℂ^{2}. La suite (3.5.27) est exacte. Supposons qu’il existe une suite (x_{k})_{k} d’éléments de D(S_{1})∩D(S_{2}) de normes 1 telle que ||(S_{i}−λ_{i})x_{k}|| → 0 (i = 1, 2). On sait que D est une bijection de D(S_{1}^{∗}S_{1}) ∩ D(S_{2}^{∗}S_{2}) dans H :

(3.5.40)  \begin{aligned}||(S_{i} − λ_{i})x_{k}||^{2} & = ⟨(S_{i} − λ_{i})x_{k}, (S_{i} − λ_{i})x_{k}⟩ \\ & = ⟨(S_{i} − λ_{i})^{∗}(S_{i} − λ_{i})x_{k}, x_{k}⟩. \end{aligned}

Donc, ||(S_{1} − λ_{1})x_{k}||^{2} + ||(S_{2} − λ_{2})x_{k}||^{2} = ⟨Dx_{k}, x_{k}⟩. Ceci implique que ⟨Dx_{k}, x_{k}⟩ tend vers 0. Si on pose x_{k} = D^{−1}y_{k}, on obtient que ⟨y_{k}, D^{−1}y_{k}⟩ où D^{−1} est un opérateur borné positif. En notant D′ sa racine carrée positive, ||D′y_{k}|| tend vers 0 et donc x_{k} = D′(D′y_{k}) tend aussi vers 0 car D′ est continue. Ce qui contredit l’hypothèse (car ||x_{k}|| = 1) et donc (λ_{1}, λ_{2}) ∉ σ_{π}(S).

On utilise le même procédé avec C pour montrer que (λ_{1}, λ_{2}) ∉ σ_{ρ}(S).

Dans la proposition 3.5.17, on fait l’hypothèse que S_{i}(D(S_{i})) ⊂ D(S_{i}^{∗}) (i = 1, 2), ceci est en particulier vérifié si on prend des opérateurs formellement normaux ayant un domaine invariant.

De la même manière que l’on définit le spectre joint d’approximation de S, on définit σ′_{π}(S) s’il existe une suite de vecteurs (f_{p}) dans D(S_{1}^{∗}S_{1}) ∩ D(S_{2}^{∗}S_{2}) de normes 1 telle que :

(3.5.41)  ||(S_{i} − λ_{i})f_{p}|| → 0, i = 1, 2.

Bien évidemment, nous avons σ′_{π}(S) ⊂ σ_{π}(S).

3.5.18 Proposition : Si (S_{1}, S_{2}) un bi-opérateur permutable, nous avons l’inclusion :

σ_{π}(S) ⊂ Sp_{D}(S).

Si de plus le couple (S_{1}, S_{2}) est normal, nous avons également :

Sp_{D}(S) ⊂ σ′_{π}(S) ∪ σ_{ℂ}(S).

Démonstration. Soit λ = (λ_{1}, λ_{2}) dans σ_{π}(S) et supposons que λ ∉ Sp_{D}(S), soit (x_{k})_{k} une suite dans D(S_{1}) ∩ D(S_{2}) telle que chaque vecteur soit de norme 1. Alors, on a :

(3.5.42)  || ∑_{i=1}^{2} B_{i}(S_{i} − λ_{i})x_{k}|| = ||x_{k}|| = 1.

Donc, on obtient la contradiction suivante :

(3.5.43) 1 = || ∑_{i=1}^{2} B_{i}(S_{i} − λ_{i})x_{k}|| ≤ ||B_{1}||.||(S_{1} − λ_{1})x_{k}|| + ||B_{2}||.||(S_{2} − λ_{2})x_{k}|| → 0.

Supposons maintenant que le couple (S_{1}, S_{2}) soit normal et que λ = (λ_{1}, λ_{2}) ne soit ni dans σ′_{π}(S) ni dans σ_{ℂ}(S) et montrons que, dans ces conditions, λ ne peut être dans Sp_{D}(S). Si x ∈ D(S_{1}^{∗}S_{1}) ∩ D(S_{2}^{∗}S_{2}) et s’il vérifie l’égalité ∑_{i=1}^{2}(S_{i} − λ_{i})^{∗}(S_{i} − λ_{i})x = 0, cela implique que ||(S_{1} − λ_{1})x||^{2} + ||(S_{2} − λ_{2})x||^{2} = 0. Donc, on obtient que x ∈ Ker(S_{1} − λ_{1}) ∩ Ker(S_{2} − λ_{2}). Ceci implique que x = 0, car si ce n’était pas le cas, on pourrait poser comme suite x_{k} = x/||x|| et donc λ ∈ σ′_{π}(S) (d’où la contradiction). Donc l’opérateur D est un opérateur injectif, d’inverse borné par le lemme 3.5.15. Ceci entraîne : (3.5.44)

\begin{matrix}∫ \frac{\overline{z_{1} − λ_{1}}}{|z_{1} − λ_{1}|^{2} + |z_{2} − λ_{2}|^{2}} dE(z)(S_{1} − λ_{1}) + ∫ \frac{\overline{z_{2} − λ_{2}}}{|z_{1} − λ_{1}|^{2} + |z_{2} − λ_{2}|^{2}} dE(z)(S_{2} − λ_{2}) \\ ⊂ ∫ 1dE(z) = I. \end{matrix}

Les opérateurs ainsi définis sont bornés et commutent clairement avec (S_{1}, S_{2}). Pour la continuité des opérateurs, pour i = 1, 2 :

\begin{aligned}|| ∫ \frac{\overline{z_{i} − λ_{i}}}{|z_{1} − λ_{1}|^{2} + |z_{2} − λ_{2}|^{2}} dE(z)|| & ≤ & || ∫_{A_{M}} \frac{\overline{z_{i} − λ_{i}}}{|z_{1} − λ_{1}|^{2} + |z_{2} − λ_{2}|^{2}} dE(z)|| \\ & & + || ∫_{B_{M}} \frac{\overline{z_{i} − λ_{i}}}{|z_{1} − λ_{1}|^{2} + |z_{2} − λ_{2}|^{2}} dE(z)||, \end{aligned}

où les ensembles A_{M} et B_{M} sont respectivement {|z_{1} − λ_{1}|^{2} + |z_{2} − λ_{2}|^{2} ≤ M} et {|z_{1} − λ_{1}|^{2} + |z_{2} − λ_{2}|^{2} ≥ M}. Par conséquent, on obtient :

(3.5.45)  || ∫ \frac{\overline{z_{i} − λ_{i}}}{|z_{1} − λ_{1}|^{2} + |z_{2} − λ_{2}|^{2}} dE(z)|| ≤ \sqrt{M}||C^{−1}|| + M′,

où M′ est une constante provenant du fait que la fonction est bornée sur l’ensemble d’intégration de la seconde intégrale (C^{−1} existe en tant qu’opérateur continu d’après le lemme 3.5.15). Enfin, la commutativité de ces deux opérateurs bornés est une conséquence directe des propriétés du calcul fonctionnel.

3.5.19 Théorème : Soit N = (N_{1}, N_{2}) un bi-opérateur normal tel que D(N_{1})∩D(N_{2}) soit invariant par les N_{i} (i = 1, 2). Alors, on a l’inclusion suivante :

σ_{ℂ}(N) ⊂ σ′_{π}(N).

Démonstration. Supposons que λ = (λ_{1}, λ_{2}) ne soit pas dans l’ensemble σ′_{π}(N) et montrons que la suite (3.5.27) est exacte. Pour tout x ∈ D(N_{1}N_{2}) ∩ D(N_{2}N_{1}), on a :

(3.5.46)  \begin{aligned}δ_{N,λ}^{1} ∘ δ_{N,λ}^{0}(x) & = δ_{N,λ}^{1}((N_{1} − λ_{1})x ⊕ (N_{2} − λ_{2})x) \\ & = (N_{1} − λ_{1})(N_{2} − λ_{2})x − (N_{2} − λ_{2})(N_{1} − λ_{1})x = 0. \end{aligned}

De plus, si δ_{N,λ}^{0} n’est pas injectif, il existe un x dans D(N_{1}N_{2}) ∩ D(N_{2}N_{1})\{0} tel que (N_{1} − λ_{1})x = (N_{2} − λ_{2})x = 0. Alors, en utilisant la suite normée et constante (x_{k} = x/||x||)_{k} qui est dans D(N_{1}) ∩ D(N_{2}) ⊂ D(N_{1}N_{1}^{∗}) ∩ D(N_{2}N_{2}^{∗}) par hypothèse d’invariance, on obtient que λ ∈ σ′_{π}(N).

Maintenant, comme λ ∉ σ′_{π}(N), il n’existe pas de suite (x_{k}) de norme 1 telle ||(N_{1} − λ_{1})x_{k}|| → 0 et ||(N_{2} − λ_{2})x_{k}|| → 0. Pour alléger les notations, on prendra λ = 0. Dans ces conditions, pour tout x ∈ D(N_{1}^{∗}N_{1}) ∩ D(N_{2}^{∗}N_{2}) de norme 1,

(3.5.47)  ||N_{1}x||^{2} + ||N_{2}x||^{2} ≥ ε > 0,

(sinon on pourrait construire une suite qui impliquerait que λ ∈ σ′_{π}(N)). Donc pour tout x ∈ D(N_{1}^{∗}N_{1}) ∩ D(N_{2}^{∗}N_{2}), on a :

(3.5.48)  ||N_{1}x||^{2} + ||N_{2}x||^{2} ≥ ε||x||^{2} ≥ 0.

Soit M = N_{1}^{∗}N_{1}+N_{2}^{∗}N_{2}, cet opérateur est auto-adjoint, positif et injectif (par (3.5.48)). Pour vérifier qu’il est auto-adjoint, on utilise le fait qu’il s’écrive comme somme de deux opérateurs positifs pour obtenir la représentation :

M = ∫ |z_{1}|^{2} + |z_{2}|^{2}dE(z, \overline{z}),

où E est la mesure spectrale du bi-opérateur normal (N_{1}, N_{2}). Comme la fonction intégrée est réelle, l’opérateur est bien auto-adjoint. Il admet donc un inverse M^{−1} de Im(M) sur D(M). Pour tout y ∈ Im(M), on a :

(3.5.49)  ||M^{−1}y|| ≤ \frac{1}{ε}||y||,

cela provient de l’égalité suivante :

||M^{−1}y|| ||y|| ≥ ⟨M^{−1}y, y⟩ = ||N_{1}M^{−1}y||^{2} + ||N_{2}M^{−1}y||^{2} ≥ ε||M^{−1}y||^{2}.

Donc, l’opérateur M^{−1} est continu sur Im(M), ceci implique que Im(M) est fermé : en effet, si y_{k} ∈ Im(M) converge vers y, on écrit y_{k} = Mx_{k} avec x_{k} ∈ D(M). on a x_{k} = M^{−1}y_{k} → M^{−1}y (on note M^{−1} et son extension par continuité à l’adhérence de Im(M)). Donc les couples du graphe (x_{k}, y_{k}) convergent vers (M^{−1}y, y) qui est dans le graphe de M car l’opérateur est fermé (auto-adjoint). En particulier, on a bien y ∈ Im(M). Soit maintenant x ∈ Ker(M^{∗}) = Ker(M),

(3.5.50)  0 = ⟨N_{1}^{∗}N_{1} + N_{2}^{∗}N_{2}x, x⟩ = ||N_{1}x||^{2} + ||N_{2}x||^{2}.

Donc on a N_{1}x = N_{2}x = 0. On en conclut que x = 0 (en effet si x ≠ 0, avec une suite (x_{k} = x/||x||)_{k}, on aurait 0 ∈ σ′_{π}(N) ; ce qui contredit l’hypothèse faite). Mais alors, on obtient :

(3.5.51)  {0} = Ker(M^{∗}) = (Im(M))^{⊥}.

Donc Im(M) est fermé et dense dans H. Dans ces conditions, pour tout f ∈ H, il existe un élément x dans D(N_{1}^{∗}N_{1}) ∩ D(N_{2}^{∗}N_{2}), tel que :

(3.5.52)  f = Mx = N_{1}^{∗}N_{1}x + N_{2}^{∗}N_{2}x = N_{1}(N_{1}^{∗}x) − N_{2}(−N_{2}^{∗}x).

En conclusion, f ∈ Im(δ_{N,0}^{1}). Et par conséquent Im(δ_{N,0}^{1}) = H. On en conclut que 0 ∉ σ_{ℂ}(N), ce qui achève la preuve.

3.5.20 Corollaire : Soit N = (N_{1}, N_{2}) un bi-opérateur normal tel que D(N_{1})∩D(N_{2}) soit invariant par les N_{i} (i = 1, 2). Alors, on a les égalités suivantes :

σ′_{π}(N) = σ_{π}(N) = Sp_{D}(N) = σ_{ℂ}(N).

Démonstration. Il suffit d’utiliser toutes les inclusions démontrées précédemment.

Ce corollaire est une extension du théorème 2 de M. Cho et M. Takaguchi (voir [C-T], voir également [S-Z]) où l’on montre dans le cas de multi-opérateurs normaux bornés que le spectre joint de Dash et le spectre joint de Taylor sont les mêmes. Nous utilisons des méthodes différentes puisqu’ici nous traitons le cas non-borné. En particulier si N est une extension normale de S, on a les relations suivantes :

(3.5.53)  σ_{ℂ}(N_{S}) = σ′_{π}(N_{S}) = σ_{π}(N_{S}) = Sp_{D}(N_{S}) ⊂ Sp_{D}(S).

On peut noter que l’égalité entre plusieurs spectres classiques avec le spectre de Taylor pour des multi-opérateurs bornés avait déjà été obtenu par E. Albrecht dans [Al1] et [Al-Fru]. L’égalité entre le spectre de Taylor et le spectre joint d’approximation a également été prouvée dans [Al2] pour une situation plus générale (mais toujours pour des familles d’opérateurs bornés).

Spectre continu et spectre résiduel pour des bi-opérateurs permutables. Notre but de cette partie est de donner une définition et quelques propriétés du spectre continu et spectre résiduel pour des bi-opérateurs permutables.

3.5.21 Définition : Soit T = (T_{1}, T_{2}) un bi-opérateur permutable. Le spectre continu (noté σ_{c}(T)) sera l’ensemble des λ tels que δ_{N,λ}^{0} est injectif et Im(δ_{N,λ}^{1}) est un sous espace propre et dense dans H. Enfin, on définit le spectre résiduel (noté σ_{r}(T)) comme étant l’ensemble des λ tels que δ_{N,λ}^{0} est injectif et Im(δ_{N,λ}^{1}) est un sous-espace non dense dans H. Dans ces conditions, on vérifie que :

(3.5.54)  σ(T) = σ_{p}(T) ∪ σ_{c}(T) ∪ σ_{r}(T).

3.5.22 Remarque : Si on a un seul opérateur N, Ker(δ_{N,λ}^{0}) est non nul si λ est valeur propre de N. Dans ce même cas, δ_{N,λ}^{1} = N − λ, donc la définition du spectre continu et du spectre résiduel correspond à la définition bien connue. Notre définition étend donc les définitions classiques des différents spectres au cas des bi-opérateurs permutables.

3.5.23 Lemme : Soit T = (T_{1}, T_{2}) un bi-opérateur tel que chaque composante T_{i} (i = 1, 2) soit hyponormale (fermée) à domaine dense. Alors on a

(3.5.55)  \begin{aligned}& \{ & \begin{matrix}D(δ_{T^{∗},λ}^{1∗}) × D(δ_{T^{∗},λ}^{1∗}) ⊂ D(δ_{T^{∗},λ}^{1}) \\ ∀x ∈ D(δ_{T^{∗},λ}^{1∗}), ||δ_{T^{∗},λ}^{1}(x, x)|| ≤ ||δ_{T^{∗},λ}^{1∗}(x)||, \end{matrix} \\ et \\ & \{ & \begin{matrix}D(δ_{T,λ}^{0}) × D(δ_{T,λ}^{0}) ⊂ D(δ_{T,λ}^{0∗}) \\ ∀x ∈ D(δ_{T,λ}^{0}), ||δ_{T,λ}^{0∗}(x ⊕ x)|| ≤ ||δ_{T,λ}^{0}(x)||. \end{matrix} \end{aligned}

Démonstration. On a :

(3.5.56) D(δ_{T^{∗},λ}^{1∗})^{2} = D(T_{2}^{∗∗})⊕D(T_{1}^{∗∗}) = D(T_{2})⊕D(T_{1}) ⊂ D(T_{2}^{∗})⊕D(T_{1}^{∗}) = D(δ_{T^{∗},λ}^{1}).

De plus, pour tout x ∈ D(δ_{T^{∗},λ}^{1∗}), on a : (3.5.57)

\begin{aligned}||δ_{T^{∗},λ}^{1}(x, x)|| & ≤ ||(T_{1}^{∗} − λ_{1})x − (T_{2}^{∗} − λ_{2})x|| ≤ ||(T_{1} − \overline{λ_{1}})^{∗}x|| + ||(T_{2} − \overline{λ_{2}})^{∗}x|| \\ & ≤ ||(T_{1} − \overline{λ_{1}})x|| + ||(T_{2} − \overline{λ_{2}})x|| = ||δ_{T^{∗},λ}^{1∗}(x)||. \end{aligned}

On a également : (3.5.58)

D(δ_{T,λ}^{0})^{2} ⊂ [D(T_{1}T_{2}) ∩ D(T_{2}T_{1})]^{2} ⊂ D(T_{1}) ⊕ D(T_{2}) ⊂ D(T_{1}^{∗}) ⊕ D(T_{2}^{∗}) = D(δ_{T,λ}^{0∗}).

De plus, pour tout x ∈ D(δ_{T^{∗},λ}^{0}) :

(3.5.59)  \begin{aligned}||δ_{T,λ}^{0∗}(x ⊕ x)|| & ≤ ||(T_{1} − λ_{1})^{∗}x + (T_{2} − λ_{2})^{∗}x|| \\ & ≤ ||(T_{1} − λ_{1})^{∗}x|| + ||(T_{2} − λ_{2})^{∗}x|| \\ & ≤ ||(T_{1} − λ_{1})x|| + ||(T_{2} − λ_{2})x|| = ||δ_{T,λ}^{0}(x)||. \end{aligned}

3.5.24 Propriété : Soit T = (T_{1}, T_{2}) un bi-opérateur tel que chaque opérateur T_{i} (i = 1, 2) soit hyponormal (et fermé) et tel que D(T_{1}) ∩ D(T_{2}) soit dense dans H et invariant par chaque T_{i}. Alors, on a :

σ_{r}(T^{∗}) = ∅.

Démonstration. Si on a λ ∈ σ_{r}(T^{∗}), on a Ker(δ_{T^{∗},λ}^{1∗}) = Im(δ_{T^{∗},λ}^{1})^{⊥} ≠ {0}. Soit x un vecteur non nul de Ker(δ_{T^{∗},λ}^{1∗}), alors on a x ∈ Ker(δ_{T,\overline{λ}}^{0}) car :

0 = −(T_{2}^{∗} − λ_{2})^{∗}x ⊕ (T_{1}^{∗} − λ_{1})^{∗}x = −(T_{2}^{∗∗} − \overline{λ_{2}})x ⊕ (T_{1}^{∗∗} − \overline{λ_{1}})x.

Grâce au lemme précédent, on obtient que (x, x) ∈ Ker(δ_{T,\overline{λ}}^{0∗}). D’où, on obtient l’égalité suivante :

(3.5.60)  (T_{1} − \overline{λ_{1}})^{∗}x + (T_{2} − \overline{λ_{2}})^{∗}x = 0,

ce qui implique également :

(3.5.61)  (T_{1}^{∗} − λ_{1})x + (T_{2}^{∗} − λ_{2})x = 0.

Mais si x ∈ Ker(δ_{T^{∗},λ}^{1∗}), par le lemme précédent on a (x, x) ∈ Ker(δ_{T^{∗},λ}^{1}), et donc on obtient :

(3.5.62)  (T_{1}^{∗} − λ_{1})x − (T_{2}^{∗} − λ_{2})x = 0.

Grâce aux égalités (3.5.61) et (3.5.62), on obtient que (T_{1}^{∗} − λ_{1})x = (T_{2}^{∗} − λ_{2})x = 0. Ceci entraine que λ ∈ σ_{p}(T^{∗}), ce qui est impossible puisque nous avions supposé que λ ∈ σ_{r}(T^{∗}) ; et donc on a bien que :

(3.5.63)  σ_{r}(T^{∗}) = ∅.

3.5.25 Remarques

(1) Ceci est valable, en particulier, pour tout opérateur normal (pour leurs adjoints s’ils commutent entre eux) et pour tout opérateur sous-normal commutatif.

(2) On obtient un résultat de [St-Sz3] sur le spectre résiduel dans le cas d’un seul opérateur.

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Problème des moments multi-dimensionnel et sous-normalité jointe.

\underline{Résumé :} On s’intéresse au problème multi-dimensionnel des moments sur des ensembles compacts arbitraires ou juste fermés (non bornés) par le biais de méthodes d’extensions d’opérateurs symétriques. Les résultats obtenus permettent, en autres, de donner des représentations de polynômes positifs sur des sous-ensembles de ℝ^{n}. On donne également des réponses aux versions opératorielles de ces problèmes des moments. Celles-ci permettent d’obtenir plusieurs critères de sous-normalité jointe (en particulier pour des multi-opérateurs non bornés à domaine dense invariant) et d’hyponormalité. Ces critères sont alors appliqués à certains opérateurs particuliers comme les multi-shifts à poids unilatéraux et bilatéraux. Enfin, on donne deux notions différentes de minimalité d’extension normale ainsi que des relations spectrales entre ces extensions et le multi-opérateur sous-normal.

Multi-dimensional moment problem and joint subnormality.

\underline{Abstract :} We are interested in multi-dimensional moment problem on arbitrary compact sets and unbounded sets via extension methods of symmetric operators. The results allow us, for example, to obtain representations of polynomials which are nonnegative on subsets of ℝ^{n}. Moreover, we give solutions of the so-called operator moment problems. These solutions allow us to give several criterions of joint subnormality (particularily for unbounded multi-operators) and joint hyponormality. These criterions are applied to certain classes of operators, as for example unbounded weighted unilateral and bilateral multi-shifts. At last, we give two notions of minimality of normal extension for unbounded subnormal multi-operators and some spectral relations between these kinds of extensions and the subnormal multi-operator.

\underline{Mots clés :} Moment problem ; unbounded multi-operator ; subnormality ; hyponormality ; weighted shifts ; polynomial representations ; functionnal calculus ; joint spectrum.

\underline{Classification A.M.S. :} 44A60 ; 47A13 ; 47B20 ; 47B25 ; 47A57 ; 47B37 ; 26Cxx.